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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流罗增儒教授_高考临场20招.精品文档.陕西师范大学基础教育研究院高考临场20招罗增儒高考的遗憾莫过于实有的水平未能充分发挥出来，致使十几年的辛劳毁于两小时的“经验”不足应该知道，数学高考不仅是数学知识的较量，而且也是心理素质和考试技术的较量当一个考生进入封闭考场之后，他（她）的数学知识和数学能力，可以看成一个常数，如何将所掌握的知识转化为阅卷得分点，这就取决于稳定的心态和答题的技术了根据数学高考解题和阅卷的特点（参见文1、2），我们来提供一些正常应试乃至超水平发挥的技术，从“进场前后、答题要领、全局意识、解题策略、分段得分”5个层面组织为考试
2、临场20招第一部分 进场前后进入考场的前后，主要是作好心理准备、物质准备、体力准备和发挥准备第1招：提前进入角色像运动员先做准备运动，像演员提前酝酿感情，考生也应提前进入“角色”，努力把最佳竞技状态带进考场（1）考前调整、休养生息考生在考前一二周应逐渐放松，进入静息状态，并进行生物钟的调整，让作息时间安排得与高考的时间同步，在这段时间内，要保持情绪稳定，降低学习强度，增加睡眠时间，进行轻微活动，熟悉考场细则，做好物质准备，在一种宁静的气氛中主要做识记性的复习工作（勿做难题、偏题、怪题），比如，回想学科的整体结构，舒展脉络，背诵其中的重点内容（如二项式定理、等差（比）数列求和公式、圆锥曲线标准方
3、程、两角和的余弦公式）发现有缺漏时不要焦急，应从容不迫地坐下来翻阅教材和笔记，保持内紧外松“静能生慧”，经过强化训练之后的静息，是记忆恢复的最佳选择，许多发明创造都是在“脑风暴”之后的冷却期出现的，临考前必要的静息，看似失去，实为获得相反，还做难题、还加班加点，会带来精神的过度紧张和体力的过度疲劳，会直接或间接（有形或无形）影响临场的发挥高考是很紧张、很繁重的脑力劳动，心理和体力都消耗很大，需要提前加以储备，入静改善了大脑和全身的生理机能，就为提高智力活动的效率准备了良好的心理氛围与充足的身体能量至于作息时间安排得与高考的时间同步，则能在正式考试时，思维自动进入工作状态并迅速达到高潮（2）熟悉
4、考场，备份清单考生一定要亲临考场（特别是考场未设在本校的考生），熟悉环境，记下来回的路线和行走的时间，认准卫生间和医疗室的位置，一方面可以消除考试时无谓的“新异刺激”，另一方面也能“以防万一”临考当天，应有充足的睡眠，并吃好清淡的早餐赴考离家前，要按预先列好的清单带齐一应用具，如准考证、钢笔（吸饱水）、圆珠笔（两支）、铅笔、橡皮、圆规、三角板、防晕止痛小药片、擦汗小毛巾等，特别不要忘记带准考证和2B铅笔同时要注意当年的规定，能带才带、不能带不带（3）提前活动，进入角色应提前半个多小时到达考场，一方面防止路上出现意外，另一方面可以稳定情绪，让脑细胞开始简单的数学活动，让大脑进入单一的数学情景下面
5、是一些可供选择的建议：陕西师范大学基础教育课程研究中心项目：新课程实施与数学高考命题改革的研究清点所需用具是否齐全把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影”，特别是一些你认为难记易忘的结论同学之间互问互答一些不太复杂的问题经验表明，“过电影”的成功顺利，互问互答的愉快轻松，不仅能转移临考前的焦虑，而且有利于把最佳竞技状态带进考场，至于背诵基本数据（开方数、平方数、立方数、对数、勾股数、特殊角的三角函数等）、再现重要定理、公式等则常有实惠第2招：迅速摸清“题情”刚拿到试卷，一般心情比较紧张，思考亦未进入高潮，此时不要匆忙作答，可先从头到尾、正面反面通览一遍试卷，弄清全卷共有几页、几题？看看页
6、码是否齐全？卷页是否配套？印刷是否完整、清晰？尤其要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语 （1）通览全卷的作用一份试卷，相当于一份学科复习提纲，有了试卷的全貌认识，可使我们有机会从整体结构上获得积极的暗示，便于从学科的知识体系上产生联想，激活回忆，提高分析问题的能力和解决问题的效率为实施正确的答题策略提供尽可能多的客观基础，如“三个循环”（见第3招）、“四先四后”（见第4招）、“一慢一快”（见第5招）等便于统筹安排时间，防止在个别小题上纠缠过久，也能有效克服“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”的毛病 可以提前防止缺页、残页、空白页，也能从根本上避免漏做题 （2）通览全卷的基本工作通览全卷既是摸
7、清“题情”，又是解题的第一个循环，一般可在不到10分钟的时间内完成4件事：填卷首、看说明、两写三涂即首先填好卷首各栏，如写姓名、写准考证号等项对答题卡则涂类型、涂准考证号、涂科目代号，同时，要要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语顺手解答即顺手解答那些一眼看得出结论的简单选择题、填空题，显然，看完全卷比只看开头二三道题更容易找到熟悉的内容，更容易找到会做的题目；而只要能很快解答出一二道题（每套试卷都会有难度系数08以上的热身题），情绪就会迅速稳定下来，并且“旗开得胜”的愉悦感还有一种增力作用，能鼓励自己去作更充分的发挥粗略分类对于不能立即作答的题目，可一面浏览一面按照难度估计，粗略分为A、B两类
8、，A类是指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题；B类是指题型比较陌生，自我感觉比较难的题目，以便于“先易后难”地答题 做到三个心中有数首先是对题量心中有数，弄清全卷一共几页、大小几道题，防止漏做题，发现漏印题其次是对题分心中有数，弄清每道题各占多少分，为后面实施“先高后低”作调查，并粗略分配一下各题的解答时间既注重每道题少丢分，更注重全卷多得分最后是对题目的内容分量心中有数，即大致区分一下哪些属于函数题、哪些属于不等式题、哪些属于数列题、哪些属于三角函数题、哪些属于立体几何题、哪些属于解析几何题、哪些属于概率统计题、哪些属于微积分题，为实施“先同后异”做好准备第二部分、答题要领通览全卷之后，思考
9、逐渐进入高潮，建议掌握好三个答题要领第3招：三轮答题就是说，完整解答一套试题可经过3个循环（三轮答题法）一头一尾是两个小循环，各用10分钟左右，中间是一个大循环，用将近100分钟（1）第一循环：通览全卷即在通览全卷的同时，先做简单题的第一遍解答，这是一个小循环按高考题的难度比例3：5：2计算，可以先从那30%的容易题入手，获二三十分；同时，把情绪稳定下来，将思考推向高潮 （2）第二循环：全面解答即用将近100分钟的时间，基本完成全卷，会做的都做了在这个大循环中，要有全局意识，能作整体把握，并执行“四先四后”（参见第4招）、“一慢一快”（参见第5招）的方针（3）第三循环：复查收尾即用大约10分钟
10、的时间来检查解答过程并实施“分段得分”（参见第1620招）对于绝大多数考生来说，都不可能在第二循环中答全答对所有的试题，因此要对那些答不全或答不对的题目进行技术性处理这一步的作用有点像足球守门，把住最后一关即使都做完了的题目，也要复查，防止“会而不对、对而不全”这一步是超水平发挥，争取多得分的不可缺少的步骤第4招：四先四后 考虑到满分卷是极少数，绝大多数考生，都只能答对部分题目或题目的部分，因此，执行“四先四后”的技术措施是明智的（1）先易后难就是说，先做简单题，再作复杂题，先做A类题，再攻B类题，容易和困难是因人而异的“难者不会，会者不难”，虽然试卷本身的编排已经原则上考虑到从易到难，但这仅
11、仅是命题组的主观认识，而且数学试卷常常被设计为“两个从易到难的三个小高潮”，（三类题型选择题、填空题、解答题从易到难；每类题型本身又从易到难），就是说，选择题的难题完全可能比填空题的易题困难，而解答题的易题又完全可能比选择、填空的难题容易，所以，进入第二遍答题时，就无须拘泥于从前到后的自然顺序，可根据自己的实际，跳过啃不动的题目，从易到难（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考），特别是不能在低分值的题目上耽误过长时间，防止“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”（2）先熟后生通览全卷，既可能看到较多的有利条件，也可能看到较多的不利因素，特别是对后者，不要惊慌失措，万一当年试题偏难首先要会自我暗示
12、：“我难别人也不易，水退船低没关系”，“要镇定，别哆嗦，办法总比困难多”，其次，可实行“先熟后生”的策略，就是说，先做哪些内容掌握比较到家，题型结构比较熟悉的题目，后攻那些题型、内容、甚至语言都比较陌生的题目先做在某些方面有熟悉感的题目，容易产生精神亢奋，会使人情不自禁地进入境界，展开联想，促进转化，拾级登高（3）先高后低这是说要优先处理高分题（解答题），特别是在考试的后半段时间，更要注意解题的时间效益，比如：两道都会做的题目，应先做高分题，后做低分题，以减少时间不足的失分；到了最后一二十分钟，也应对那些拿不下来的题目先就高分题实施“分段得分”（参见第五部分），以增加在时间不足的前提下的得分事
13、实证明，“大题拿小分”是一个好主意当然，“先高后低”要与“先易后难”结合起来，不能不分难易，专挑高分题做，否则会造成“高分难题做不出来，低分易题没时间做” （4）先同后异就是说，可考虑同学科、同类型的题目集中处理（如同为函数题、同为方程题、同为不等式题、同为数列题、同为三角函数题、同为立体几何题、同为解析几何题、同为概率统计题、同为微积分题等），这些题目常常用到同样的数学思想、类似的思考方法，甚至同一数学公式，把他们结合起来一齐处理，思考比较集中，方法或知识的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益，一般说来，数学高考解题必须进行“兴奋灶”的转移，思维活动必须进行代数学科与几何学科的相互换位，兴
14、奋中心必须从这一章节跳跃到另一章节，但“先同后异”可以避免兴奋中心转移得过急、过陡和过频这“四先四后”要结合自己的实际，相互配合，产生整体效果第5招：一慢一快就是说，审题要慢、书写要快（1）审题要慢 题目本身是“怎样解这道题”的钥匙只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意特别要抓好审题的“三个要点、四个步骤”（详见文3 问题19、问题20）三个要点要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学
15、含义如何要点3：弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构四个步骤步骤1：读题弄清字面含义步骤2：理解弄清数学含义步骤3：表征识别题目类型步骤4：深化接近深层结构经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”例1 过正方体的顶点作直线，使与棱，所成的角都相等，这样的直线可以作（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条（2010年高考数学江西理科第4题、5分）讲解 （1）条件是什么？正方体可以作出一个正方体图形（图1），正方体中的所有性质视为已知过点的直线与棱，所成的角都相等这里，涉及空间中线线夹角的知识，构
16、成解题的关键与难点正方体的“棱”本义均为线段，但当说夹角时是指棱所在的直线，因而，棱，是可以延长的；直线与棱，的夹角是指不大于的角学生普遍只认识到这两点，这就把选择题当解答题了，其实，四个选择支还提供第3条件，并且，可以作为沟通条件与结论的桥梁 图1 直线存在且不超过4条 （2）结论是什么：求直线的条数（3）沟通条件与结论联系 思路1 从条件出发第一件工作：题目说，至少有1条，你能找出1条来吗？（正方体内找）如图1，正方体内，过点与棱，所成的角都为的体对角线为所求，这样的直线有1条 第二件工作：你还能再找出第2条来吗？ 要突破仅在正方体内找的思维定势，关键是思考棱的延长线：以点为顶点，三条棱落
17、在直线，上的正方体不只1个（参见图2），每一个都有过点的体对角线与三条棱，所成的角都相等，这就又将问题还原为在大正方体内找体对角线 解法1 以点为顶点，三条棱落在直线，上的正方体有8个（参见图2），每一个都有过点的体对角线与三条棱，所成的角都相等，去掉重合的得4条直线，即图2中大正方体的4条体对角线选（D） 领悟 本思路先从小正方体中找1条体对角线，然后再从大正方体中找4条体对角线，在这个过程中可以考查线线夹角的知识和空间想象能力，有分类（正方体内1条、正方体外3条）及转换化归的思想方法思路2 因为与两相交直线夹角相等的直线在两个垂直平分面上，我们可以通过轨迹相交法找出直线解法2 如图2，与棱
18、，所成的角都相等的直线在两个垂直平分面，上；与棱，所成的角都相等的直线在两个垂直平分面上；两类垂直平分面间的交线与棱，所成的角都相等，有4条：选（D） 图2例2 已知为互不相等的实数，且，求（1951年高考数学第4题）讲解 通常认为题目有两个已知条件：（1）显性条件1：，（2）显性条件2：记，试想由及能推出吗？所以，题目还有（3）隐含条件：本例正是由这三个条件推出一个等式这时的思路探求可以这样想：（1）题目是从等式到等式，途经应是恒等变形；（2）题目是从两个等式，到一个等式，途经应是两个等式的合并；（如何合并？）（3）题目是从到，途经应是消元，消去； （4）题目是从分式到整式，途经可以去分母，
19、也可以抵消分母由此可以得“设比值”之外的更多解法如另解1 （消除分式与整式，6个字母与3个字母间的差异） （用显性条件2） （用隐性条件）另解2 由已知有相加得 另解3 对已知式的前两项用等比定理，有即 ， 得 ，得 另解4 已知表明，两条直线重合：由于直线通过点，所以直线也通过点，得（如图7） 因此，不管问题的原始来源如何，对高考解题来说，化归为课堂上已经解过的题是明智和可行的 图7例9 真分数不等式真分数不等式有生动的现实情景，有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造法等10多种证明方法，可以作为一个不等式证明的基本模型 题目 请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明（
20、1）糖水加糖变甜了（糖水未饱和）（2）某中学计划招收高一新生人，使学生总数达到人，这样高一新生所占比例为，现准备高一扩招人，则高一新生所占的比例变大了（3）盒中有白球和黑球共个，其中白球个，从中任取一个，取得白球的概率为，若再加入白球个，从中任取一个，则取得白球的概率增大了（）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积和地板面积之比应不小于10%，且这个比值越大，采光越好现将窗户面积和地板面积等积增加，则采光条件变好（）某城市有一矩形广场，该广场为黄金矩形(它的宽与长的比为5：12)，现在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道能否设计恰当的步行道的宽度，使矩形草坪
21、仍为黄金矩形？讲解 以“糖水加糖变甜了”为例这是一个尽人皆知的生活事实，这里有数学道理吗？该用什么样的数学关系式来表示呢？ 首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式变甜、变咸所表达的是大小关系，记为这里用到了字母表示数的知识其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表达出来呢？这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设克糖水里有克糖（），则而？这还没有把加糖反映出来，有待表示再设加入克糖（），得最后，“糖水加糖变甜了”就是于是得到一个真分数不等式：若，则“糖水加糖”的情境本身有很大的拓展空间比如（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同由这一情境可得等比定理：（2）
22、将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式：对，有（3）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较与的大小 真分数不等式可以有分析法、综合法、反证法、放缩法、构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利于沟通知识和方法之间的联系很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求解高考题时可以化归为课堂和课本已解决过的问题，或化归
23、为往届高考题这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）例9-1 如果那么（ ）（1989年高考数学广东题）例9-2 设是由正数组成的等比数列，是其前项和（）证明； （）是否存在常数，使得（1995年高考数学理科第25题）例9-3 已知数列为等比数列，（）求数列的通项公式；（）设是数列的前项和，证明（2004年高考数学文科第18题）讲解 例9-2（1）与例9-3（2）可以认为是真分数不等式的变形用，如果我们没有“化归为课本已经解决的问题”的思想准备，可能就想不到用真分数不等式，或在变形式与 之间犹豫，而一旦想到用真分数不等式，则已接近完成，因为为递增的正项数列，有得
24、例9-4 对一切大于1的自然数，求证：（1985年高考数学上海题）例9-5 已知数列是等差数列，（）求数列的通项；（）设数列的通项，（其中），记前项和试比较与的大小，并证明你的结论（1998年高考数学题理科第25题）例9-6 已知是正整数，且，（）证明；（）证明(1m) n(1n) m（2001年高考数学理科第20题）讲解 （）要证，只需而由真分数不等式，有 ，（由，有）相乘 ，即 例9-7 等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数（且均为常数)的图象上（1）求的值； （11）当时，记，证明：对任意的，不等式成立（2009年高考数学山东卷理科第20题）解 （1）因为对任意的，点均在函数（且
25、均为常数)的图象上所以得，当时，当时，又因为为等比数列，所以公比为（且)，从而，即 ，得（11）当时，则 ， 所以 由真分数不等式有从而 即 ，得 即成立这与例9-4 证明没有本质的区别这几道题目课本都没有出现过，但例9-1可以认为是真分数不等式的直接用（加上余弦函数的单调性）；例9-2（）与例9-3（）可以认为是真分数不等式的变形用，对例9-4例9-7可以认为是真分数不等式的整合用（多次连续或多个组合）第11招：差异分析（参见文6）（1）差异分析的基本含义目标差：我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差，解题的实质就在于设计一个使目标差不断减少的过程差异分析法：通过寻找目标差，不断减少目标
26、差而完成解题的思考方法，叫做差异分析法（2）差异分析法的使用步骤寻找目标差：通过分析题目的条件与结论中所出现的元素，元素间所进行的运算，以及元素间所存在的数量特征（如系数、指数、函数名称、自变量等）、关系特征（如运算方式、大于或等于、平行或垂直等）、位置特征等去寻找异同点作出消除反应：对于所找出的目标差，要运用基础理论与基本方法立即作出某种减少目标差的反应积累消除效果：减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得对目标差的减少能积累起来，渐次逼近，直至消除，最终完成解题（3）差异分析法的基本功能差异分析法是“综合分析法”的一种特殊形式，可同时具有综合法与分析法的双重优势运用差异分析法解题可以同
27、时回答“从何处下手”与“向何方前进”这两个基本问题：我们说，就从分析目标差入手，就向着减少目标差的方向前进经常看到一些同学，拿着题目一筹莫展，找不到解题的突破口，连下手的地方都没有，这在很大程度上是不会找目标差，或见到目标差却不能作出反应还有的同学常在成功的思路上受阻，其原因是不善于把目标差的逼近积累起来对于一类恒等式或不等式证明题，这一策略常能凑效特别地，三角题可以通过角、函数名称、运算方式等的差异分析来求解 例10 已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明： （2008年高考数学陕西卷理科第22题）（参见文7） 讲解 由第（）问易得，因此第（）问可以认为是一道数列不
28、等式的恒成立问题：已知数列，证明：对任意的，对比式左右两边可以看到，有3个明显的差异：（1）右边有正数，左边没有（恒成立问题）（2）左边有，右边没有明显表出（3）右边有或，左边没有明显表出但由知这就提供了沟通式左右联系的线索：思路1：把右边的统一为的不等式； 思路2：把左边的统一为的不等式； 思路3：把左右两边统一为的不等式； 事实证明这些思路全都是可行的，比如证明 把统一为，有 ，得右边= （关于的二次三项式）（二次三项式求极值）这个证明表现为一系列恒等变形，若将首尾两行独立出来就得到一个恒等式这个等式的外形影响我们对本质的直接揭示，将其改写为不等式左边减右边的形式，有这就清楚了，不等式通过
29、可以等价于实数的平方为非负数，并且的条件不是必要的（就够了），书写也立即可以改写为基本不等式证法例11-1 设，求（1985年高考数学理科第二（4）题）解法1 由二项式定理有与已知条件作比较，得则 可见，最终归结为的计算，这也可以由“差异分析”得出解法2 让我们将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析可见，已知式中的项有字母，结论中的每一项都没有字母“没有字母”是什么意思？可以理解为每一项的字母都等于1，消除差异的办法应同时取所以取代人已知式，得评析 可见，在差异分析观点之下，取值就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施并且，这一经验积累，又与“特殊化”和“整体处理”的策略思
30、想相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似而又有变通的高考题（化归为往年的高考题）：例11-2 已知，那么（1989年高考数学第16题）解 设，则 填说明 我们在阅卷中发现，相当一部分考生令得答案为，其实得到的是而所求的值，应再减去，从而 究其原因，是考生一见题型很熟悉（如例11-1及课本相关习题中见过），没有认真看清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对” 例11-3 若，则的值为（ ） （A）1 （B） （C）0 （D）2（1999年高考数学理科第8题）解 设，则选（A）说明 若把所求式展开为会由于求不出平方而导致思路中断，这叫做高考解题的“策略性错误” 例11-4 若，则(用数
31、字作答)（2004年高考数学天津卷理科第15题）解 设，则例11-5 已知，则的值等于（2007年高考数学安徽文科第12题）解 分别取，有 解得 ，所以 说明 若由已知求出，由结论化为不是不可以计算，而是犯有高考解题的“策略性错误”例11-6 若，则 (用数字作答) (2008年高考数学福建卷理科第13题)这与例11-2类似例11-7 若，则的值为（ ）（A）2 （B）0 （C） (D) （2009年高考数学陕西卷文、理科第6题）解 设，则相减 说明 （1）为什么7年都考此类题？看来不是为了考二项式定理，而是考“特殊与一般的基本数学思想”、“整体处理”的基本数学思想高考注重数学思想的考查（2）
32、由7年都考此类题，可感悟高考解题的一个基本思路：模式识别（化归为课堂上已经解决的问题、化归为往届高考题），差异分析第12招：层次解决（参见文8）（1）层次解决的基本含义人们在创造性解决问题的过程中，思维是按层次展开的，先粗后细，先宽后窄，先对问题作一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节或者说，先作大范围的搜索，然后再逐步收缩包围圈数学解题也是一个创造性活动，也可以层层深入地解决，我们叫做三层次解决一般性解决即在策略水平上的解决，以明确解题的总体方向这是对思考作定向调控在这一层次上，根据中学阶段课程体系的结构，我们认为自觉应用函数思想和方程思想是十分有益的功能性解决即在数学方法水平上的解决，以
33、确定具有解决功能的解题手段，这是对解决作方法选择特殊性解决即在数学技能水平上的解决，以进一步缩小功能解决的途径，明确运算程序或推理步骤，这是对技巧作实际完成在进行三层次解决时，每一层次又可能有三层次解决 （2）实例理解例12已知是实数，又函数，当时，证明（1996年高考数学第25题第（2）问）讲解第一层次：假若存在，使降为一次式，并等于，则命题便能得证这提供了一个方向，需要我们从方法上去落实第二层次：为了找出两个未知数，我们利用所提供的等量关系来建立方程即去找满足的，这时暂时看成已知数这就提供了一个方法，是从方程的观点上来思考的第三层次：一般说来，方程未必都有解，有解也未必都能求出来，具体到情
34、况如何呢？我们对上式作变形，有取 可得 这说明思路是通的这就从操作层面落实了当初的想法证明对，有又 ，得 第13招：数形结合（1）数形结合的基本含义在解题中，既用数的抽象性质来说明几何形象的事实，又用图形的直观性质来说明代数抽象的事实，在数与形的双向结合上寻找解题思路，叫做数形结合这是一个极富数学特色的信息转换，在选择题、填空题中我们已经见过很多数形结合解题的实例（2）数形结合的主要途径通过坐标系可以是直角坐标系，也可以是极坐标系，有时还考虑复平面 转化可以把数与形的转化关系列成对照表如把正数转化为距离，把正数（或）转化为面积，把正数（或）转化为体积，把整式转化为勾股定理，把整式转化为余弦定理
35、，把转化为三角形的三边关系等构造比如构造一个几何图形，构造一个函数关系等等 （3）数形结合的原则数形结合要防止失误，避免人为复杂化，需遵守三个原则：等价性原则是指代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则解题会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时的图形性质只是一种直观而显浅的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导双向性原则就是既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析都是一种天真的误解简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述，取决于哪种方法更加优美、更加简单、
36、或更便于达到教学目的，而不是像一种流行的模式那样代数问题用几何方法，几何问题用代数方法例13 （ ） （A） （B） （C） （D）不存在（2010江西理科第5题、5分）讲解 我们用数形结合的方式来处理，使没有学过极限的人也能接受（1）对于没有学过极限的同学，我们先来解释一下如图8，对3长的线段三等分，取一份；对取出的1长线段三等分，取一份；对取出的长线段三等分，取一份；如此类推，被取出的线段越来越短，无限接近于0 图8对应为数列：有当增大时，接近于0；当越来越大时，越来越接近于0；当很大很大时，很接近很接近于0；当很大很大很大时，很接近很接近很接近于0；当无限增大时，无限接近于0这一段板书，
37、配上不断加重语气的解说，将有助于理解的本质“很接近”是一个特征但还不是本质，无限接近才是那么怎样来讲授无限呢？这里是用多次重复来暗示“无限”，是用语言夸张来提示“无限”；省略号的地方既是停顿更是联想（此时无声胜有声），让学生的思维按照上面步步加强的暗示和提示去相信并接受“无限” 数学上用两个不等式来反映两个无穷过程：无限增大的量化刻画，无限接近的量化刻画这样，无限变化就可以进行数学运算了（2）你能类比猜想：图7中，当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和都趋向于，应是（3）你能独立找出的一个几何解释吗如图9，的矩形中每个小矩形的面积为1，将其三等分，左右各放一等分，留下中间的小矩形（实现求和的第
38、1项）；将中间小矩形三等分，左右各放一等分，留下中间的小矩形（实现求和的第2项）；如此类推，则中间留下的部分面积趋于0，而左右两边小矩形面积之和趋于 图9（4）再找出一个几何解释（能找出来就真明白了，否则是假明白，见图10）这几个直观演示有两个特点： 特点能同时演示两个无穷过程：其一是通项趋向于0：， 其二是部分和趋向于即特点将无穷的过程始终置于我们视野之内的有限图形 图10之中，看得清楚，听得明白，直观、显浅 （5）变式推广：的直观演示讲解 取一条单位线段，将其等分，把等份分别给个同学（实现求和的第1项），留下1等份；将留下的小线段等分，把等份分别给个同学（实现求和的第2项），留下1等份；如
39、此类推，则留下的小线段越来越短、无限接近于0，而个同学的小线段之和越来越长、无限接近于1于是，每个同学的小线段之和趋于例14 设数列的前项和为若对于所有的正整数，都有证明是等差数列（1994年高考数学文科第25题）讲解 为了证明为等差数列，只需要证三点共线（把数化为形），写成表达式就是（把形化为数）对比、两式的差异最显著的就是含部分和，而只有通项这就导致我们寻找与之间的联系（寻找到目标差），想起公式（作出减少目标差的反应）当时，把已知条件代入（继续作出减少目标差的反应），可得变形 ，化成比例并且递推，可以得出得 于是，通过差异分析，我们找到了一个成功的解法，特点是数与形的结合思考下面的例15、
40、例17也有数形结合的思考第14招：选择题“小题小做”高考选择题承载着全面考查“双基”、广泛覆盖知识点的功能，具有“单、多、广、活”的特点（内容比较单一、数量比较多、覆盖面比较广、题型比较活泼），主要检查基础知识理解不理解、基本技能熟练不熟练、基本运算准确不准确、基本方法会用不会用、考虑问题严谨不严谨、解题速度快捷不快捷，要求学生“熟、准、快”（内容熟识、概念准确、推演快速），近年，其易、中、难的比例约为4：5：1，难度系数约为左右 在近年的高考中，选择题能占到试卷总分（150分）的40%（60分）和学生得分的50%左右，是学生得分的重要来源从高考临场的角度看来，为了给难度较大、分值较高的解答题
41、留下较多的思考时间，每道选择题应争取在1、2分钟内完成，3分钟还完不成的题就先跳过去，总计时间控制在2030分钟以内因此，把握选择题的解法，必须包括这样一个战略性的目标：快速求解，小题小做问题是，怎样才能“快”呢？我们认为，速解选择题的关键是充分利用选择题在结构形式和回答方式上提供的新信息 选择题的求解有6个基本方法又各有肯定形式与否定形式的12个技巧解法，列表表示如下：（参见文2第三章）基本形式基本方法肯定一支（策略1）否定三支（策略2）求解对照法顺推肯定法顺推否定法逆推代入法逆推肯定法逆推否定法特值检验法特值肯定法特值否定法逻辑分析法逻辑肯定法逻辑否定法直观选择法直观肯定法直观否定法特征分
42、析法特征肯定法特征否定法在具体使用这些方法时，应该认识到求解对照法是用得最多的通用方法，当其他方法都无能为力时，求解对照常能成功；但在使用求解对照前，我们应先考虑其他方法能否奏效，尽量避免“小题大做”同时，还应注意多种方法的交替使用例15 若满足，满足，则（ ） （A） （B） （C） （D） （2009 年高考数学辽宁卷理科第12题）解法1 （数形结合）由已知有即 ，作出，的图象（如图11）， 图11它们关于对称，它们与的交点的中点为与的交点的横坐标为得 +=选C解法2 （代数推理）由已知有这表明，单调函数在两处的函数值相等，由单调性得自变量相等代人得 +=选C 也可以认为单调函数在两处的函数值相等 解法3 （特征否定法）由满足，满足，得有 ，相加知 ，这就排除了（A）、（B）、（D），选（C）评析 如果考生的知识系统不完整，不知道方程与函数的联系，本题会无从下手如果考生的知识系统比较完整，用数形结合或代数推理的方法均可以完成，但有小题大做的浪费；若能洞察题目有单调函数的背景，并掌握选择题的