第三章习题解答06139.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第三章习题解答06139.精品文档. 习 题 三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设试求：（1）的联合分布律；（2）解 （1） 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1)下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0.第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为.因此由乘法定理得第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为. 第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为.因

2、此由乘法定理得于是所求的分布律为 0 10 0 1 （2）=2. 将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出的联合分布律.解 由表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为，所以，的取值为，的取值为，且于是而均为不可能事件.所求的的联合分布律为 0 1 2 31 0 03 0 3. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求的联合分布律.解 的取值为，的取值为,其联合分布律为 0 1 2 30 0 0 1 0 2 0 4. 设二维随机变量概率密度为求:（1）常数；（2）

3、；（3）；（4）.解 （1）由概率密度的性质，得,故.于是 (4）. 5. 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中，试求关于的一元二次方程无实根的概率.解 二维随机变量在区域服从均匀分布，由的面积，所以的概率密度为 若关于的一元二次方程无实数根，则判别式的一元二次方程无实数根的概率为6. 设与的联合概率密度为 求与的联合分布函数 解 7. 设与的联合概率密度为 yO 图3-7其中区域如图3-7所示，试求与的边缘概率密度. 2解 8. 二维随机变量概率密度为 试求:（1）确定常数；（2）边缘概率密度.解 （1）由概率密度的性质 ，得,故.于是(2) 的边缘概率密度的边缘概率密度9. 设袋中有标

4、记为的四张卡片，从中不放回地抽取两张，表示首次抽到的卡片上的数字，表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值 .（1）求的概率分布；（2）给出与的边缘分布；（3）求在下的条件概率分布和在下的条件概率分布.解 (1) 的取值为，的取值为,的概率分布为 1 2 3 41 2 3 0 （2）给出与的边缘分布 1 2 3 4 1 2 3 （3）求在下的条件概率分布 1 2 3 在下的条件概率分布 1 410. 在第8题中，试求（1）已知事件发生时的条件概率密度；（2）.解 （1）由已知事件发生时的条件概率密度（2）.由当时11. 设服从区域上的均匀分布，设区域（1）写出的联合密度函数；（2）给出与的边缘密度

5、函数；(3）求在时的条件密度函数和在时的条件密度函数；.（4）求概率.解 （1）区域的面积.的联合密度函数为 （2）与的边缘密度函数；（3） ，在时的条件密度函数已知事件发生时的条件概率密度（4）概率 12. 二维随机变量概率密度为求解 从而 于是 从而13. 相互独立，的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表完成上述表格中的空格. 解. 相互独立，有的可能取值有的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表14. 已知随机变量与的分布律分别为 -1 0 1 0 1已知 .试求 （1）与的联合分布律；（2）与是否相互独立？为什么？解 （1）由 可知故 因而 与的联合分布律的联合分

6、布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表由以上结果 ， ，于是与不独立.15. 二维随机变量概率密度为试求（1）与是否相互独立？为什么？；(2） ， 与，其中 解 （1）的边缘概率密度的边缘概率密度对于任意的常数有所以与是否相互独立（2） 与，其中 16. 与是相互独立的随机变量,在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为（1） 试求与的联合概率密度；（2） 设含有的二次方程，试求有实根的概率.解（1）在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度（2）含有的二次方程，若 有实根，则判别式的二次方程，若 有实根的概率为17. 若在区间(0,1

7、)内任取两个数，求事件“两数之和小于”的概率. 解 在区间(0,1)内任取两个数分别为随机变量与在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度事件“两数之和小于”的概率. 18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止 ，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为 的指数分布，即的概率密度为现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率；(2)恰好用两根钻头的概率。解 （1） 设钻头的寿命为随机变量, 只需一根钻头的概率为设两根钻头的寿命分别为随机变量与，它们是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度(2)

8、 恰好用两根钻头的概率为 19. 设与相互独立且服从同一分布律 0 1 1/2 1/2求 （1）的分布律；（2）的分布律；（3）的分布律.解 由的分布律可得 （0，0）（0，1）（1，0）（1，1） 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1则（1）的分布律为 0 1 （2）的分布律为 0 1 （3）的分布律.0 1 20. 设与相互独立，服从（0,1）上的均匀分布,服从参数为1的指数分布，试求的概率密度.解 在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为服从参数为1的指数分布,的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度的概率密度.=.由 21. 设二维随机变量概率密度为(1)

9、问与相互独立？为什么？（2）试求的概率密度.解 （1）的边缘概率密度的边缘概率密度对于有与不独立（2）的概率密度其中 22. 设二维随机变量概率密度为(1) 试确定常数；（2） 求与的边缘概率密度；（3） 求函数的分布函数解 （1）由概率密度的性质，得,故.于是(2)的边缘概率密度的边缘概率密度对于任意有.与相互独立(3) 函数的分布函数，的分布函数的分布函数23. 与是相互独立的随机变量,其概率密度分别为其中是常数.又随机变量(1)求条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数.解（1）因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度当时,条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数若当时，则是不可能

10、事件，所以=0. 当时， 当时， 故随机变量的分布函数为 24. 设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2连接而成，连接方式分别为（i）串联，（ii）并联（iii）备用（如教材P105图），设分别为L1，L2的寿命，且它们的概率密度为其中且，试求以上三种连接形式的L的寿命Z的概率密度解（i）分别为L1，L2的寿命 系统L由两个相互独立的子系统L1，L2串联连接 L的寿命,随机变量的分布函数为 随机变量的分布函数为 L的寿命的分布函数为 Z的概率密度（ii）系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联连接 L的寿命的分布函数为Z的概率密度（iii）备用的情况（如图连接） L的寿命的概率密度其中25

11、.某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为设各周的需求量是相互独立的，试求（1）两周的需求量的概率密度；（2）三周的需求量的概率密度.解 设第周的需求量为，它们是独立同分布的个随机变量（1）两周的需求量为，其概率密度为(2）三周的需求量为，其概率密度为26. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似的服从分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.解 随机地选取4只，记其寿命分别为，它们是独立同分布的随机变量，且 记，事件“没有一只寿命小于180”就是，从而27. 对某种电子装置的输出测量了5次，得到观察值，设它们是相互独立的随机变量且都服从参数的瑞利分布。（密度参数的瑞

12、利分布的密度函数 ）（1）求的分布函数；（2）求.解 由题设知相互独立，且具有相同的密度函数由此得到分布函数为（1）的分布函数（2）28. 设是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明服从参数为的泊松分布.证明 由题设知故29 . 设随机变量与相互独立，都服从上的均匀分布。引进事件，已知，求常数. 解 设，因为与是相互独立同分布的随机变量，因此得从而 于是问题有两解， 或 。30. 设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为与的矩形面积的概率密度.解 与的联合概率密度设为的分布函数 则当时，当时，当时，于是31. 设二维随机变量的概率密度.求随机变量的分布函数解 ， 当时，当

13、时，随机变量的分布函数32.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=，i=0，1，2，.32.因X和Y所有可能值都是非负整数，所以于是 33.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.33.方法一：X+Y可能取值为0，1，2，2n.方法二：设1,2,n;1,2,，n均服从两点分布（参数为p），则X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.34.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1） 求PY0YX；（2） 设M=maxX，Y，求PM0.题20图34.因（X，Y）的联合概率密度为（1）(2) 35.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 35.设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立，可见由此，得U的概率密度为