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1、寒假作业（26）空间向量与立体几何综合测试1、在正方体中，若分别是棱的中点，则直线与平面所成角正弦值等于( )A.B.C.D.2、在正方体中，二面角的大小为( )A.B.C.D.3、已知在正四面体中，所有棱长都为1，的重心为，则的长为( )A.B.C.D.4、把正方形沿对角线折起成直二面角，点分别是的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为( )A.B.C.D.5、如图，平面,四边形为正方形，是的中点，是上一点，当时，的值为( )A.B.C.D.6、已知，且，则向量与的夹角是( )A.B.C.D.7、已知,设在直线上，且,设，若,则的值为( )A.B.C.D.8、如图所示，在空间直角坐标系中，原
2、点是的中点，点在平面上，且,则向量的坐标为( )A.B.C.D.9、对于任意空间向量,给出下列三个命题:；若，则为单位向量；.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.310、如图，在三棱柱中，侧棱底面,是棱的中点，是的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论正确的是( )A.当点为线段的中点时，平面B.当点为线段的三等分点时，平面C.在线段的延长线上，存在一点，使得平面D.不存在点，使与平面垂直11、如图，已知平面四边形.沿直线将翻折成,直线与所成角的余弦的最大值是_.12、已知点分别在正方体的棱上，且,则平面与平面所成的二面角的正切值等于_.13、如图，已知在的二面角中，于,于，并且,则
3、_.14、正方体中,面与面所夹角的大小为_.15、如图,在四棱锥中,平面平面,.1.求证:平面;2.求直线与平面所成角的正弦值;3.在棱上是否存在点M,使得平面若存在,求的值;若不存在,说明理由。 答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：如图，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则易知平面的一个法向量为.，,设直线与平面所成角为，则. 2答案及解析：答案：C解析：如图，以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，则.设平面的法向量为，则，令，则，同理可得平面的一个法向量为.，而二面角为钝角，故为. 3答案及解析
4、：答案：D解析：如图，连接并延长交于点，连接，是的重心，.又. 4答案及解析：答案：C解析：，.又,.,故选C 5答案及解析：答案：B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，则.设点的坐标为，则，,解得，即点的坐标为，为的中点，,故选B 6答案及解析：答案：A解析：，. 7答案及解析：答案：B解析：设，则，,，即，,，. 8答案及解析：答案：B解析：如图所示，过作,垂足为，在中，由,得.点坐标为，即向量的坐标为. 9答案及解析：答案：B解析：由可以推出，反之不一定成立，故不正确；显然错误；是正确的，故选B 10答案及解析：答案：D解析：以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，轴建立空
5、间直角坐标系.则由已知得，.设平面的法向量为，则取，则，所以平面的一个法向量为.假设平面，且，则，因为也是平面的法向量，所以与共线，于是有成立，但此方程关于无解.因此不存在点，使与平面垂直，故选D 11答案及解析：答案：解析：设，则，又,所以直线与所成角的余弦值为.当，即时，直线与所成角的余弦值最大，最大值是. 12答案及解析：答案：解析：如图，以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.平面的一个法向量为.设平面的法向量为.所以,所以,则即取，则.故.所以平面与平面所成的二面角的平面角满足，所以. 13答案及解析：答案：解析：为的二面角，.，. 14答案及解析：答案：60解析：建立空间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为1,则,设平面的法向量为,平面的法向量为,则由,可得,由,得,所求二面角的大小为60. 15答案及解析：答案：1.因为平面,平面,所以平面所以,又因为,所以平面;2.取的中点,连接,因为,所以。又因为平面,平面平面,所以平面。因为平面,所以。因为,所以。如图建立空间直角坐标系,由题意得。设平面的法向量,则,即,令,则。所以又,所以,。所以直线与平面所成角的正弦值为。3.设是棱上一点,则存在使得。因此点,。因为平面,所以平面当且仅当,即,解得。所以在棱上存在一点使得平面,此时。解析：