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1、7/3/2022南京中医药大学信息技术学院2第一节第一节 导数概念导数概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系7/3/2022南京中医药大学信息技术学院9例例1. 求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nan说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x7/3/2022南京中医药大学信息技术学院10
2、hxhxhsin)sin(lim0例例2. 求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh7/3/2022南京中医药大学信息技术学院11解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax 例例3)1, 0()( aaaxfx求函数求函数的导数的导数.ln)(aaaxx .)(xxee 即即例例4 求函数求函数 的导数的导数 )1, 0(log)( aaxxfa解解0()( )( )limhf
3、 xhf xfxh1(log)lnaxxa 01limlogahxhhx0log ()log ( )limaahxhxh01limlog (1)xhahhxx1.lnxa即即1(ln )xx 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院12xy xyo解解( )(0),xf xfxx因为00( )(0)limlimxhf xfxxx, 1 00( )(0)limlim1xhf xfxxx .0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy处的可导性.处的可导性.在在讨论函数讨论函数0)( xxxf例例5),0()0( ff即即7/3/2022南京中医药大学信息技术学院13单侧导数单侧导数1.左导数左
4、导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 2.右导数右导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院14三、导数的几何意义三、导数的几何意义oxy)(xfy 0 xM1.1.几何意义几何意义)( 为倾角为倾角即即切线的斜率
5、,切线的斜率,处的处的在点在点表示曲线表示曲线tanxfxfxf(x)y)(xf00)()(,M(00切线方程为切线方程为).)(000 xxxfyy 法线方程为法线方程为).()(1000 xxxfyy T7/3/2022南京中医药大学信息技术学院15 解 21xy 解 所求法线方程为 并写出在该点处的切线方程和法线方程 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121xxk 所求切线方程为 )21( 42xy 即4x+y-4=0 )21(412xy 即2x-8y+15=0 4)1(2121xxk 41112kk 例6.求等边双曲线 在点 处的切线的斜率1yx1( ,2)27/3/2022南京中
6、医药大学信息技术学院16例例7. 问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线7/3/2022南京中医药大学信息技术学院17处可导在点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxy
7、x存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即7/3/2022南京中医药大学信息技术学院18解解1sinx因为是是有有界界函函数数, ,01lim sin0 xxx所以处处有有但但在在0 x1sin0( )(0)xf xfxxx1sinx( )(0)0f xfxx当当时时, ,在在 1 1和和1 1之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在. .( )0.f xx 所以在在处处连连续续0(0)lim( )0 x
8、ff x1sin,0( ),0,0 xxf xxx例例8 讨论函数讨论函数( )f x所以在在x=0处不可导处不可导在x=0处的连续性和可导性7/3/2022南京中医药大学信息技术学院19内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;()xa lnxaa7/3/2022南京中医药大学信息
9、技术学院20思考与练习思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数2. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k7/3/2022南京中医药大学信息技术学院214. 设0,0,sin)(xxaxxxf, 问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)
10、0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0( f此时)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x = 0 连续 .7/3/2022南京中医药大学信息技术学院22解解: 因为5. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f7/3/2022南京中医药大学信息技术学院23解解: 因为6. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).
11、1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f7/3/2022南京中医药大学信息技术学院24二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 2.2 函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院25一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()(
12、) 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv则7/3/2022南京中医药大学信息技术学院26此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如,返回7/3/2022南京中医药大学信息技术学院27(2)vuvuvu )(证证: : 设,
13、 )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxu推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )0( ( )( ( )( ) ( )limhu xu v xvu x v xh0( )limhuv xh0( )limhu xvh0limhu vh 返回7/3/2022南京中医药大学信息技术学院28xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 解 例1 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 443)2 (2
14、f 例2 yex (sin xcos x) 求y 2excos x 解 yex)(sin xcos x)e x (sin xcos x) e x(sin xcos x)e x(cos x sin x) (uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求导法则xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 例4 ysec x 求y xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinxxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinsec x
15、tan x 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院29 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 yx所以yx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11则7/3/2022南京中医药大学信息技术学院30 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为yarctan x是xtan y的反函数 所以22
16、211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 类似地有 211)cotarc(xx 例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为yarcsin x是xsin y的反函数 所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2
17、211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 类似地有 211)(arccosxx )(1 )(1yfxf 反函数的求导法则:7/3/2022南京中医药大学信息技术学院31在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导.复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy则7/3/2022南京中医
18、药大学信息技术学院32例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.7/3/2022南京中医药大学信息技术学院33 解 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 10 212sinxxy 求dxdy 例7 解 函数212sinxxy是由 ysin u 212xxu复合而成的 因此 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212c
19、os)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy 例例8. 求下列导数:(1) () ;(2) () .xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)7/3/2022南京中医药大学信息技术学院34例 13ylncos(e x) 求dxdy 例9解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxx
20、eeeeexexx1cos11sin2 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 复合函数的求导法则:例 14xey1sin 求dxdy 例10 解 解 解 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院35四、基本求导法则与导数公
21、式四、基本求导法则与导数公式 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x7/3/2022南京中医药大学信息技术学院362. 导数的四则运算法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0
22、( v4. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd3.反函数求导法则 1( )fx1( )fy7/3/2022南京中医药大学信息技术学院37例例11. 求解解:由于由于,1111xxxxy.y22212xxy12xx1y 所以1212x)2( x112xx例例12.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln7/3/2022南京中医药大学信息技术学院38例例13. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212x
23、x2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx7/3/2022南京中医药大学信息技术学院39例例14. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx7/3/2022南京中医药大学信息技术学院40例例15. 若)(uf 存在 , 求(lncos )fx的导数.xfdd( lncos)fx(lncos ) x lncos( )uxf u这两个记号含义不同练习练习: 设,)(xfffy .,)(yx
24、f求可导其中( lncos)fx1(cos )cosxxtan(lncos )xfx解解: :)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院41思考与练习思考与练习1. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,7/3/2022南京中医药大学信息技术学院422. 求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbb
25、ayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln7/3/2022南京中医药大学信息技术学院433. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f7/3/2022南京中医药大学信息技术学院44二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念 2.3 高阶导数7/3/2022南京中医药大学信息技术学院45一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即
26、sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：变速直线运动7/3/2022南京中医药大学信息技术学院46定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称7/3/2022南京中医药大学信息技术学院47证明 因为22212222xxxxxxy所以y 3y10 y(y) f (x)f (x) )
27、(22dxdydxddxyd 22222222)1 (2xxxxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明 例1 22212222xxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 证明 函数22xxy满足关系式013 yy 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院48设( )fx存在，求下列函数的二阶导数22.d ydx解解:（1）dydx例例2.（1）();xyf e（2）( ).f xye()xxf
28、e e()()xxfee22d ydx()()()xxxxfeefee()()()xxxxxfeeef e e2()()xxxxfe efe e（2）dydx( )( )f xefx22d ydx( )2( )( )( )f xf xefxefx7/3/2022南京中医药大学信息技术学院49设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例3.思考思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得7/3/2022南京中医药大学信息技术学院50n
29、x)1 ( ,3xaeay 例例4. 设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例5. 设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,7/3/2022南京中医药大学信息技术学院51例例6. 设,sinxy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2
30、n7/3/2022南京中医药大学信息技术学院52例例7. 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数7/3/2022南京中医药大学信息技术学院53二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)
31、(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(7/3/2022南京中医药大学信息技术学院54vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证莱布尼兹莱布尼兹公式公式成立 .7/3/2022南京中医药大学信息技术学院55例例8. ,22xexy 求.)20(y解解: 设,22xveux则xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼兹公式 , 得
32、)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k7/3/2022南京中医药大学信息技术学院56(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼兹公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,7/3/2022南京中医药大学信息技术学院57xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 2
33、312xxy(3)1121xx1(2)(1)xx解:(1)(2)(2)(1)xxxx( )1111( 1) !(2)(1)nnnnynxx 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院58二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数2.4隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导三、相关变化率7/3/2022南京中医药大学信息技术学院59一、隐函数的导数一、隐函数的导数显函数与隐函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程xy310确定的隐函数
34、为 31 xy 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出. 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院60 例1 求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数 (ey)(xy)(e)(0) 即 eyyy+xy0 方程中每一项对x求导得 解 从而 yexyy(xe y0) 例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在 x0处的导数y|x0 因为当x0时 从原方程得y0 所以 5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得 解 由此得 2521146yxy 21|25211|0460 xxyxy 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院61
35、例例3. 求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx7/3/2022南京中医药大学信息技术学院62 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例4 例例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 方程两边对x求导 得 0cos211dxdyydxdy 于是 ydxdycos22 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd3222)cos2(s
36、in4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院63y f(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数 设yf(x) 两边取对数 得ln yln f(x) 两边对x 求导 得对数求导法 )(ln1xfyy 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院64 例5 求yx sin x (x0)的导数 xxxxyy1sinlncos1 于是 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 解法二 这种幂指函数的导
37、数也可按下面的方法求. 解法一 上式两边对x 求导 得 两边取对数 得 ln ysin xln x yx sin xe sin xln x )sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx)sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院65上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例6 例例 6 求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数 先在两边取对数 得 ln y21ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4) )41312111(2
38、11xxxxyy 于是 )41312111(2xxxxyy 解 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院66 设x(t)具有反函数t-1(x) 且t-1(x)与yy(t)构成复合函数yy-1(x) 若x(t)和y(t)都可导 则)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy即 )()(ttdxdy或dtdxdtdydxdy )()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 二、由参数方程所确定的函数的导数 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程)()(tytx确定的 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院67若 x(t)
39、和 y(t)都可导 则)()(ttdxdy 解解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin( 切点的坐标为224 cos0aax 切线方程为)22(22axabby 即 bxay2ab 0 224 cos0aax 224sin0bby 所求切线的斜率为abdxdyt4 例例7 7 求椭圆tbytaxsincos在相应于4 t点处的切线方程 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院68 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的
40、切线方向为于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 x (t)=v1 y(t)=v2-gt 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 22121gttvytvx 速度的水平分量与铅直分量分别为 先求速度的大小 解 22)()(tytxv2221)(gtvv 12)()(tanvgtvtxtydxdy 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院69讨论 已知x(t), y(t) 如何求y对x的二阶导数y? 例例9. 设,1221tytx求.dd22xyxydd;1t22ddxy21tt31t例例10. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(
41、tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty解解:7/3/2022南京中医药大学信息技术学院70的函数yf(x)的二阶导数 解解 )()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata 解 2cotcos1sintttdxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22(t2np n为整数) 22)cos1 (1)cos1 (12sin21tatat)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatatt
42、ata 2cotcos1sinttt(t2n n 为整数) dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(2222)cos1 (1)cos1 (12sin21tatat 例例11计算由摆线的参数方程)cos1 ()sin(tayttax所确定 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院71 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率7/3/2022南京中医药大学信息技术学院72例例12. 一气球从离
43、开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050012114. 0)minrad/(7/3/2022南京中医药大学信息技术学院73二、微分的几何意义一、微分的概念一、微分的概念 2.5函数的微分函数的微分三、微分的运算法则四、微分在近似计算中的应用7/3/2022南京中医药大学信息技术学院7
44、4一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx边长由其7/3/2022南京中医药大学信息技术学院75的微分微分,定义定义: 若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于x 的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记
45、作yd,df或即xAyd定理定理: 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在点0 x可微可微,7/3/2022南京中医药大学信息技术学院76定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微 ,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d07/3/2022南京中医药大学信息技术
46、学院77定理定理 : 函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则7/3/2022南京中医药大学信息技术学院78注注: :0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时, 有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故
47、当7/3/2022南京中医药大学信息技术学院79 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 dy(x2)|x1x2x 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3x6x 例2 求函数 yx3当x2 x 002时的微分 yf(x)在点x0可微yAxo(x) dy= f (x0)x 解 函数yx2在x1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x=2, x=0.02=3220.02=0.24=3x2| x=2, x=0.027/3/2022南京中医药大学信息技术学院80 当|x|很小时 |ydy|比|x|小得多 因此 在点M的邻近
48、 我们可以用切线段来近似代替曲线段 y是曲线上点的纵坐标的增量; dy是过点(x0 f(x0)的切线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+x时二、微分的几何意义则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记7/3/2022南京中医药大学信息技术学院81d(x) x1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)ex
49、dx (x) x1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 导数公式: 1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则7/3/2022南京中医药大学信息技术学院82axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd2
50、11)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式: 导数公式: 7/3/2022南京中医药大学信息技术学院832、 微分的四则运算法则微分的四则运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变微分形式不变3. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv7/3/2022南京中医药大学信息技术学院84 在求复合函数的导数时 可