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1、专题四 立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积考情研析1.从具体内容上，主要考查：(1)空间几何体的三视图并结合几何量(线段长度、表面积、体积等)的计算等(2)球与多面体的组合，并结合考查球的表面积和体积的计算等2.从高考特点上，题型为选择题或填空题，难度中等，分值约5分.核心知识回顾1.空间几何体的三视图(1)空间几何体三视图的画法规则长对正，即正(主)视图和俯视图的长相等；高平齐，即正(主)视图和侧(左)视图的高相等；宽相等，即侧(左)视图和俯视图的宽相等；看不见的轮廓线要用虚线表示(2)空间几何体三视图的摆放规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面2
2、空间几何体的表面积(1)多面体的表面积为各个面的面积的和(2)圆柱的表面积公式：S2r22rl2r(rl)(其中，r为底面半径，l为圆柱的高)(3)圆锥的表面积公式：Sr2rlr(rl)(其中圆锥的底面半径为r，母线长为l)(4)圆台的表面积公式：S(r2r2rlrl)(其中圆台的上、下底面半径分别为r和r，母线长为l)(5)球的表面积公式：S4R2(其中球的半径为R)3空间几何体的体积(1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)(2)V锥体Sh(S为底面面积，h为高)(3)V球R3(其中R为球的半径)热点考向探究考向1 空间几何体的三视图例1(1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，
3、则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为()A BC D答案A解析由已知可得正视图应当是，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是，排除C；俯视图应当是，排除B故选A(2)(2019湖南永州高三第三次模拟)正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图(由左往右看)是()答案A解析从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线故选A (1)根据空间几何体的三视图还原空间几何体时，要善于把空间几何体放置在长方体、正方体中，既容易得出空间几何体的实际形状，又容易进行计算(2)根据空间几何体得出其三视图时，要抓住其顶点在投影面上的正投影
4、，并注意几何体的轮廓线“眼见为实、不见为虚”，在数量关系上注意“高平齐、长对正、宽相等”的原则 1如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是()答案C解析若俯视图为C中的图形，则对应的几何体为如图所示的正方体(棱长为2)中的四棱锥PABCD，所以该四棱锥的体积VS正方形ABCDPA(22)2，显然符合题意经验证知其他选项不满足题意故选C2如图甲，将一个正三棱柱ABCDEF截去一个三棱锥ABCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()答案C解析由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB平面DEF，DEF
5、是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直故选C考向2 空间几何体的表面积与体积例2(1)(2019湖南永州高三第三次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A BC D答案D解析由三视图可知原几何体为半个圆柱中间去掉半个圆锥，则半个圆柱体积为V1122，半个圆锥体积为V2122，则该几何体的体积为VV1V2，故选D(2)(2019重庆南开中学高三第三次教学质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A42 B45 C46 D48答案C解析由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM
6、CDGF，所以该几何体的体积为434248246.故选C(3)(2019山东省济宁市高三第一次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A249B129C125D244答案B解析由三视图可知，几何体是一个高为3，底面半径为4的圆锥的，故该几何体的表面积S3434424129.故选B (1)由三视图求表面积和体积时，解题的关键是对所给三视图进行分析，得到几何体的直观图(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，求组合体的表面积时要注意重合部分的面积(3)求规则几何体的体积，只需确定底面积与相应的高，而一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形的方法，转化求解 1. (2019马鞍山高考
7、数学一模)如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是()A(2)B(22)C(4)D(42)答案D解析由三视图得到该几何体是上、下两个圆锥与中间圆柱体的组合体其中底面圆的半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以组合体的表面积为S2121224.故选D2某几何体的三视图如图所示(在如图的网格纸中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为()A48 B54 C60 D64答案C解析还原几何体如图所示，该几何体是底面为矩形的四棱锥所以该几何体的表面积S3664532651812151560.故选C3(2019毛坦厂中学高三4月联考)中国
8、古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3,27立方寸1升，则商鞅铜方升的容积约为()A0.456升 B0.467升 C0.486升 D0.487升答案B解析由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成(如图所示)，故其体积V(5.41.6)31321.612.6(立方寸)，12.6270.467(升)故选B考向3 多面体与球例3(1)(2019河北省唐山市高三第二次模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A16 B14 C10 D8答案C解析将三视图还原为如图所示的几何体，该几何体为半个球挖去一个圆锥，
9、球半径为R，圆锥底面半径r1，由题知母线长为2，则该几何体的表面积S4R2R2r22r210，故选C(2)(2019安徽省马鞍山市高考一模)在三棱锥ABCD中，BCBD，ABADBD4，BC6，平面ABD平面BCD，则三棱锥ABCD的外接球体积为()A36 B C D288答案C解析平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BCBD，BC平面BCD，BC平面ABD，ABADBD4，所以ABD是边长为4的等边三角形，由正弦定理得ABD的外接圆的直径为2r8，所以该球的直径为2R10，则R5.因此，三棱锥ABCD的外接球体积为VR353.故选C 多面体与球切、接问题的求解方法(1)涉及球与棱
10、柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2a2b2c2求解(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解 1. (2018襄阳五中一模)如图，在ABC中，ABBC，AB
11、C90，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，连接PC，得到三棱锥PBCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A B3 C5 D7答案D解析由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD平面PCD，设三棱锥PBDC外接球的球心为O，PCD外接圆的圆心为O1，则OO1平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD，O1D1，及OBOD，得OB，所以外接球半径为R，所以该球的表面积S4R247.故选D2表面积为16的球面上有四个点P，A，B，C，且ABC是边长为2的等边三角形，若平面PAB平面ABC，则棱锥PABC体积的最大值为_答案3解析
12、设球半径为r，4r216，r2.又ABC是边长为2的等边三角形，ABC外接圆半径r122，rr1，外接球的球心，即为ABC外接圆圆心当P在AB上投影在AB中点时，棱锥高达到最大，体积最大设高为h，则h2413，h.V(2)23.真题押题真题模拟1(2019新疆维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A240 B220 C200 D260答案A解析根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四棱柱，侧棱与底面垂直，底面是等腰梯形，侧棱长为10，等腰梯形上底为2，下底为8，高为4，腰为5，所以表面积S2(28)42108102(510)240.故
13、选A2(2019东北三省四市高三第一次模拟)我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两壍堵斜解壍堵其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱长为2；四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为24.其中所有正确结论的编号为()A B C D答案D解析由三视图可知，该几何体为四棱锥PABCD，四边形ABCD为矩形，AB4，AD2，PD平面ABCD，PD2，对于易证AB平面PAD，BC平面PCD，故四个侧面都
14、是直角三角形；对于PB2，故正确；对于四个侧面中没有全等的三角形，故错误；对于外接球的直径为PB2，故外接球的表面积为24，正确，故选D3(2019江西八所重点中学高三4月联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是()A B C D答案D解析由三视图得该四面体的直观图如图，图中三角形ABC是等腰三角形，且三角形的中线AO是三棱锥ABCD的高，且AO2，底面BCD是直角边为2的等腰直角三角形，6条棱长分别是BCCD2，ABAC，BD2，AD3，该四面体最长的棱长与最短的棱长分别为3,2，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是，故选D4. (2019北京高考)某几何体
15、是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_答案40解析由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S(24)226，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6424.又正方体的体积为4364，所以该几何体的体积为642440.金版押题5如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A2 B2 C4 D4答案A解析该几何体由一个三棱柱和半个圆柱组成，其中三棱柱底面为等腰直角三角形，高为2，圆柱底面半径为1，高为1.VV三棱柱V圆柱21212.故选A6一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的
16、外接球的体积为()A BC D答案B解析如图，该几何体的直观图是三棱锥PABC主视图是边长为2的正三角形PAC，平面PAC平面ABC，三棱锥的高是，其中DADBDC1，PD平面ABC，球心O在PD上，设球的半径为r，则r2(r)212，解得r，故V.故选B配套作业一、选择题1将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案C解析侧视图从图形的左面向右面看，看到一个矩形，在矩形上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C2如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A3 B3C9 D9答案A解析由题中的三视图，可得该几何
17、体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥，其底面面积S(24)13，高h3，故其体积VSh3，故选A3(2019成都市外国语学校高三一诊)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A16 B16C8 D8答案D解析由三视图可知，该几何体为一个半圆柱挖去一个倒立的四棱锥该几何体的体积V2244228.故选D4(2019安徽马鞍山高中毕业班第二次教学质量监测)已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A20 B22C24 D192答案B解析通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”所以表面积S(12)22(12)2243222.故选B5某几何体的三视图
18、如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于()A4(cm3) B4(cm3)C6(cm3) D6(cm3)答案D解析根据该几何体的三视图，可得该几何体是一个直三棱柱与一个半圆柱的组合体，该直三棱柱的底面是边长为2 cm的等腰直角三角形，高为3 cm，半圆柱的底面半圆的半径为1 cm，高为3 cm，因此该几何体的体积V2231236(cm3)故选D6如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A6 B44C86 D46答案C解析由三视图知该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱上下部各截去一个高为2的半圆柱，如图所示，则该几何体的表面积为21221222286，故选C7(2019广东
19、东莞市高三教学质量监测)如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为()A B C DR答案D解析如题图，设球的球心为O，体积为V，上面圆锥的高为h，体积为V1，下面圆锥的高为H，体积为V2；圆锥的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知，hH2R，|OO1|HR，由题意可知，V1V2Vr2hr2HR3r2(hH)R3，而hH2R，rR，由于OO1垂直于圆锥的底面，所以OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知，R2r2|OO1|2，R2r2(HR)2HR，可知hR，这两个圆锥高之差的绝对值为R，故选D8一个几何体的三视图如
20、图所示，则该几何体的体积为()A B C D答案D解析如图所示，三视图对应的几何体为ABCDEF，其体积为43422.故选D9(2019江西南昌外国语学校高三高考适应性测试)在三棱锥SABC中，ABBC，ABBC，SASC2，二面角SACB的余弦值是，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是()A4 B6 C8 D9答案B解析如图，取AC的中点D，连接SD，BD因为SASC，ABBC，所以SDAC，BDAC，可得SDB即为二面角SACB的平面角，故cosSDB，在RtSDC中，SD，同理可得BD1，由余弦定理得cosSDB，解得SB，在SCB中，SC2CB242()2SB2，所以SCB
21、为直角三角形，同理可得SAB为直角三角形，取SB的中点E，则SEEB，在RtSCB与RtSAB中，EA，EC，所以点E为该球的球心，半径为，所以该球的表面积为S426，故选B10(2019广州高中毕业班综合测试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为()A B7 C D8答案B解析由题意可知，几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为1，圆柱的高为2，可得该几何体的表面积为412212227.故选B11如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为()A27 B30 C32 D34答案D
22、解析根据三视图可知，此多面体为三棱锥ABCD，且侧面ABC底面BCD，ABC与BCD都为等腰三角形，如图所示根据题意可知，三棱锥ABCD的外接球的球心O位于过BCD的外心O，且垂直于底面BCD的垂线上，取BC的中点M，连接AM，DM，OO，OB，易知O在DM上，过O作OMAM于点M，连接OA，OB，根据三视图可知MD4，BDCD2，故sinBCD，设BCD的外接圆半径为r，根据正弦定理可知，2r5，故BOr，MO，设OOx，该多面体的外接球半径为R，在RtBOO中，R22x2，在RtAMO中，R22(4x)2，所以R，故该多面体的外接球的表面积S4R234.故选D12(2019大兴区高三4月一
23、模)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为()A B2 C3 D2答案B解析由三视图得该几何体的直观图是图中的三棱锥ABCD，所以CD3，BD，AB，AC3，BC2，AD2.所以AD是最长的棱，即三棱锥最长棱的棱长为2，故选B二、填空题13已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_答案50解析由题意知，该几何体是三棱锥SABC，将其放入长方体中，情形如图所示于是该长方体的对角线长为5.长方体的外接球也就是该三棱锥的外接球，于是其半径为，从而外接球的表面积是50.14(2019玉溪一中高三下学期第五次调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_答案解析画出三视图对应的直观图如图所示三棱锥ABCD故体积为122.