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1、压轴题(二)12已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，对称中心为O，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF，OAF的面积为3，则双曲线C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案D解析因为e，所以，所以tanAOF，所以AOF，又因为AOFOAF，所以|AF|OF|c，OAF，AFO.又因为SOAF3，所以ccsin3.所以c212，a2c29，b2a23.所以双曲线C的方程为1.16祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是两个等高的几
2、何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设某双曲线型冷却塔是曲线1(a0，b0)与直线x0，y0和yb所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为_答案a2b解析如题图，A点在双曲线上，B点在渐近线上，则图中圆环的面积为xx2a2，从而根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何体的体积等于底面半径为a、高为b的圆柱的体积，所以此冷却塔的体积为a2ba2ba2b.20(2019安徽蚌埠第三次质检)已知点M(2,0)是椭圆C：1(ab0)的左顶
3、点，且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)矩形ABCD的四个顶点均在椭圆C上，求矩形ABCD的面积的最大值解(1)依题意，M(2,0)是椭圆C的左顶点，所以a2.又e，所以c，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由对称性可知，设A(x0，y0)，其中x0y00，则B(x0，y0)，C(x0，y0)，D(x0，y0)，所以|AB|2|x0|，|AD|2|y0|，S矩形ABCD4|x0y0|，因为S16xy，又y1，所以S16xy4x16x4(x2)216，而x(0,4)，故当x2时，S取得最大值16，所以矩形ABCD的面积的最大值为4.21(2019河南开封三模)已知函数f(
4、x)exa，g(x)a(x1)(常数aR且a0)(1)当g(x)与f(x)的图象相切时，求a的值；(2)设h(x)f(x)g(x)，若h(x)存在极值，求a的取值范围解(1)设切点为A(x0，ex0a)，因为f(x)ex，所以过A点的切线方程为ye x0ae x0 (xx0)，即ye x0xx0e x0e x0a，由题意，得解得ae. (2)依题意，h(x)a(x1)(exa)，则h(x)a(xexa)，当a0时，令(x)xexa，则(x)(x1)ex，令(x)0，则x1，令(x)0，则x1，所以当x(，1)时，(x)单调递减；当x(1，)时，(x)单调递增若h(x)存在极值，则(x)min(1)a0，所以a(0，)，又a(0，)时，(a)a(ea1)0，所以，a(0，)时，(x)在(1，)存在零点x1，且在x1左侧(x)0，在x1右侧(x)0，即h(x)存在变号零点当a0时，h(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减若h(x)存在极值，则h(x)maxh(1)a(a)0，即a0，所以a时，(x)在(1，)存在零点x2，且在x2左侧(x)0，即h(x)存在变号零点所以，若h(x)存在极值，a(0，)