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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date三角形外角的性质及应用-3三角形外角的性质及应用三角形外角的性质及应用蔡志武阮正法角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一. 三角形外角的概念及特征如图1，像ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如ACD的顶点C是ABC的一个顶点；（2）一
2、条边是三角形的一边，如ACD的一条边AC正好是ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如ACD的边CD是ABC的BC边的延长线。二. 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4. 三角形的外角和等于360。三. 应用1. 求角的度数例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55和65，这个三角形的外角不可能是（ ）A. 115B. 120C. 125D. 130解析：如图2，A的外角为：180=125。B的外角为：18065=115ACB的外角为：55+6
3、5=120所以选D。图2例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB/CD，B=23，D=42，则E=（ ）A. 23B. 42C. 65D. 19图3解析：延长BE交CD于F因为AB/CD所以1=B=23BED是EDF的外角则BED=1+D=23+42=65故选C。例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，BAD=，且AE=AD，则EDC=（ ）A. B. C. D. 图4解析：设EDC=x因为ADC是ABD的外角所以ADC=ABC+BAD即ADE+x=ABC+（1）因为AB=AC，AD=AE所以B=C，ADE=AED而AED是DEC的外角所以AED=EDC+C即AED=x+
4、C（2）将（2）代入（1）得：所以所以选A。2. 判定三角形的形状例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种情况都有可能解析：如图5，在三角形ABC中，BAC的外角CADBAC而CAD+BAC=180即：CAD=180BAC所以180BAC90故选C图53. 证明两角相等例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且ADE=B，AD=DE。求证：ADBDEC。图6分析：因为ADC是ADB的外角所以ADC=B+BAD而ADE=B，
5、ADC=ADE+CDE所以ADE+CDE=ADE+BAD因此BAD=CDE又AB=AC，可得B=C而AD=DE所以ADBDEC例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60，BP=1，则ABC的边长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6图7分析：因为ABC为等边三角形，所以B=C=60又因为APC是ABP的外角所以APC=B+BAP而B=APD=60所以BAP=CPD又B=C，所以ABPPCD所以。设ABC边长为x，则解得x=3故选A4. 证明角度不等关系例7. 已知，如图8，在ABC中，D是三角形内一点，求证：BDCBAC。图8证明：延长BD
6、交AC于E在ABE中，BECA在CDE中，BDCBEC所以BDCA例8. 已知：如图9，在ABC中，BAC=90，ADBC于D，E是AD上一点，求证：DECABC。图9证明：因为BAC=90所以BAD+DAC=90又因为ADBC所以ADB=90所以ABC+BAD=90所以ABC=DAC又因为DEC是AEC外角所以DECDAC所以DECABC5. 证明角度的和差关系例9. 如图10，已知：在ABC中，ABAC，AEF=AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：。图10证明：因为AEF=B+G又因为AEF=AFE，AFE=GFC所以AEF=GFC所以GFC=B+G又因为ACB=GFC+G+得：A
7、CB=B+2G所以例10. 如图11，求证：A+B+C+D+E=180。图11证明：如图11，1=C+D，2=A+E而1+2+B=180所以A+B+C+D+E=180练习：1. （1996年昆明市中考）如图12，、分别是ABC的外角，且，则ACB等于（ ）A. 20B. 30C. 40D. 80图122. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P。若A=50，则BPC的度数是（ ）A. 150B. 130C. 120D. 100图133. （2005年浙江省中考）如图14，直线a/b，则A=_度。图144. 如图15，求A+B+C+D+E的度数。（提示：利用如图1、2即可）。图15-