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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date三角形-讲义三角形三角形 讲义一、 基础知识（一）与三角形有关的线段1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。6三
2、角形具有稳定性。（二）与三角形有关的角1三角形的内角和等于（180）2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。3三角形的外角和（360）。4.直角三角形的两个锐角互余。（三）多边形及其内角和1多边形 ：一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的平面图形称为n边形，又叫多边形。2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正多边形。3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形的对角线，每个多边形有 条对角线。4多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）180）5四边
3、形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。 任意多边形的外角和等于 （360）。（四）三角形的分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）（五）镶嵌1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌（1） 围绕一点镶嵌在一起的n个多边形的内角恰好是一个周角，则这种正多边形可以做平面镶嵌。（2） 用相同的正多边形
4、镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他正多边形都不可以。3、利用多种正多边形进行镶嵌用两种不同的正多边形镶嵌：（1）3个正三角形和2个正方形 （2）2个正三角形和2个正六边形用三种不同的正多边形镶嵌：正三角形、正八边形和正二十四边形就可以进行镶嵌。 （二）经典例题例1：已知三条线段的比是:1:3:4;1:2:3;1:4:6;3:3:6;6:6:10;3:4:5.其中可构成三角形的有( )毛A.1个 B.2个 C.3个 C.4个考点透视本例主要是考查三角形的三边关系：三角形的任意两边和大于第三边，任意两边的差小于第三边参考答案B例2：如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是(
5、 ) A.6L15 B.6L16 C.11L13 D.10L（BD+CD）15已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？16已知：P为ABC内任意一点求证：PAPBPC (ABBCCA)17（综合题）已知a、b、c为ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+c-3=0，且a为方程x-4=2的解，求ABC的周长，判断ABC的形状答 案1解：图中共有8个三角形，分别是：BCA、BCD、BCE、BCO、BOD、COE、BEA、CDA 点拨：数三角形的个数，一定要按一定的次序去数如按图形的形成过程数，按三角形的大小顺序数等，切忌盲目，造成重复和遗
6、漏2B 点拨：说法（1）、（4）正确，故选B3. B 4. C5B 6C7C 点拨：由题设知，等腰三角形的三边长可能为3，3，6或6，6，3但3+3=6，说明以3，3，6为边长构不成三角形这个等腰三角形的周长为15，故选C8. C9. D10.C111cmx7cm；3cm，5cm；2；2cm，4cm，6cm；3点拨：（4-3）cmx（4+3）cm，1cmxBD，因AB=AC，故AC+AC-CDBD，即2ACBD+CD从而可知AC（BD+CD）15解：设第三条边长为c，其余两条边长分别为a和b，且ab，则有a+b+c为奇数，a-b=5，所以2b+5+c为奇数，故c为偶数又a-b5，c的最小值为6
7、16.证明：PAPBAB，PBPCBC，PCPAAC，2(PAPBPC)ABBCCA，PAPBPC (ABBCCA)17. 解：（b-2）20，c-30，且（b-2）2+c-3=0， b-2=0，c-3=0 即b=2，c=3 a为方程x-4=2的解， a=2或6 经检验，当a=6时，不满足三角形三边关系定理，故舍去 a=2，b=2，c=3 ABC的周长为7，ABC为等腰三角形三角形的高、中线与角平分线过关训练一、填空题1如下图，AD是ABC的角平分线，则_=_=_；E在AC上，且AE=CE，则BE是ABC的_；CF是ABC的高，则_=_=90，CF_AB。2如下图，ABC中，BC边上的高是_；
8、在ACD中，DC边上的高是_，在EBC中，BC边上的高是_，以CF为高的三角形是_。3如图10，BD是ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则ABD和BCD的周长差为_cm。4如图11，已知1=BAC，2=3，则BAC的角平分线为_，ABC的角平分线为_。二、选择题5下列说法中正确的是 （ ）（1）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线（2）三角形的中线、高和角平分线都是线段（3）一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线（4）三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线A（1）（2）（3）（4）B（2）（3）（4）C（1）（4）D（2）（3）6如图12，ABC90，ADBC，交BC的延长线于
9、D，BEAC，交AC的延长线于E，CFAB于点F，ABC中BC边上的高为（ ）AFCBBECADDAE7至少有两条高在三角形的内部的三角形是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上都有可能 三、解答题8如图13，AD是锐角ABC的高，AE是其中线，指出图中共有几个三个角形。若按角分类没，分别是什么三角形？9等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm和15cm的两部分，求此三角形的底边的长。10如下图所示，在ABC中，BD是AC边上的中线，AB=6cm，BC=5cm ，求ABD的周长与DBC的周长差。四、拓展创新11如图15，已知AD是ABC的高，AE是角平分线，AF是中线，写出
10、图中相等的角和相等的线段。五、中考热身12（2005长沙）请在作出ABC的角平分线BD（要求保留作图痕迹）。答 案1BAD， CAD， BAC，中线，CFA， CFB ， 2AD AD EB ABC ACF BCF324AD BE5D6C7A8图中共有6个三角形.其中ABC，AEC是锐角三角形；ACD，AED，ABD是直角三角形；ABE是钝角三角形。9在ABC中，AB=AC，BD是AC中线。设AB=AC=2x，则AD=CD=x，（1）当AB+AD=15时，BD+CD=6，即2x+x=15，x=5，得AB=AC=10，BC=1，满足两边之和大于等三边.（2）当AB+AD=6时，BC+CD=15，
11、即2x+x=6，x=2，BC=152=13，AB=AC=4，故不能组成三角形。三角形的腰长为10，底边长为1. 10.ABD的周长DBC的周长（AB+BD+AD）（BC+BD+CD）=AB+BD+ADBCBDCD=ABBC+（BDBD）+（ADCD）=ABBC=65=1cm11.相等的角：BAE=CAE， ADB=ADC；相等的线段：BF=CF.12.略 三角形的稳定性应用与了解1现在盖高楼时要用专门铁管搭起矩形脚手架，如图3，其主要作用是：使建筑厂人有地方立脚且能在上面施工，为什么矩形脚手架外，还要用较长的铁管斜着和遇见的每一根矩形的边都要加以固定?不加这些长的斜铁管行吗?不与每一根遇到的边
12、固定行吗?2矩形虽然不稳定，但它外形整齐，且容易向人们所需要的方向整齐地伸展；三角形稳定，但它有尖有棱，不易向人们所需的方向伸展，所以很多用钢条组合成的建筑（大桥、大型起重机、修建房屋的脚手架）都让这二者结合起来，用矩形作为外形，把矩形再加上条或几条线化分为几个三角形，使其结构稳定而结实你能再举出既达到美观实用，又能有很好的稳定性，且结实耐用的四边形（主要是矩形）与三角形相结合的例子吗?3四边形的不稳定性是它的缺点，但我们仍可利用其”缺点”为我们服务。课本中提到的菱形挂衣架、放缩尺是两个很好的例子民间艺人做成的工艺品仙鹤可以做不同动作，其中仙鹤的长脖子能伸能缩很逗人喜爱?其脖子是用些连结白勺平
13、行四边形构成的，除此之外，你见过其他利用四边形不稳定性来为我们服务的例子吗? 与三角形有关的角过关训练一、选择题:(每小题3分,共21分)1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛 A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 2.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60 3.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60,90,75 B.48,72,60 C.48,32,38 D.4
14、0,50,90 4.已知ABC中,A=2(B+C),则A的度数为( ) A.100 B.120 C.140 D.160 5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.设,是某三角形的三个内角,则+,+,+ 中 ( ) A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角 7.在ABC中,A=B=C,则此三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 二、填空题:(每小题3分,共15分)1三角形中最大的内角不能小于_度，最小的内角不能大于_度2.
15、如图（1），A+B+C+D+E+F=_；如图（2），A+B+C+D+E+F=_ 3.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20,则此三角形的最小内角的度数是_.4.在ABC中,若A+B=C,则此三角形为_三角形;若A+BB),试说明EAD=(C-B).2.在ABC中,已知B-A=5,C-B=20,求三角形各内角的度数.四、提高训练:(共15分)如图所示,已知1=2,3=4,C=32,D=28,求P的度数.五、探索发现:(共15分)如图所示,将ABC沿EF折叠,使点C落到点C处,试探求1,2与C的关系.六、中考题与竞赛题:(共4分) (2001天津)如图所示,在ABC中
16、,B=C,FDBC,DEAB,AFD=158, 则EDF=_度.答 案一、1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B二、1. 60，60 2. 360，360 3. 40 4.直角 钝角 5.36或90 6.84 7.80三、1.解:ADBC,BDA=90,BAD=90-B,又AE 平分BAC, BAE=BAC= (180-B-C),EAD=BAD-BAE=90-B- (180-B-C)=90-B-90+B+C=C-B= (C-B). 2.A=50,B=55,C=75.四、P=30五、解:1=180-2CEF,2=180-2CFE,1+2=360-2(CEF+ CFE)=360-2
17、(180-C)=360-360+2C=2C.六、68.毛多边形的内角和过关训练填空1，十边形的内角和为 度，正八边形的每个内角为 度.2，已知一个多边形的内角和为1080，则它的边数为 .3，若一个多边形 ，则它是十边形。4，如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将（ ）A增加90 B增加180 C 增加360 D不变1. 1440 ， 135 2. 8 4. B说明：第3题是一个条件开放型题，答案可填有十个顶点，有十个内角，内角和为1440。【设计意图】通过该组练习题的训练，既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性 .镶嵌一、填空题1、2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成
18、一个 时，就拼成一个平面图形。3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有 三种。二、选择题4、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是A 正方形 B 矩形 C 正八边形 D正六边形6、右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八
19、边形图案需要这样的地板砖至少A 8块 B 9块 C 11块 D 12块7、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是A、正三角形 B、正五边形 C、正六边形 D、正八边形8在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与图（1）拼接符合原来的图案模式？（ ）（图1）A B C D三、解答下列问题9、请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案。10、试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案，你能想出几种方法？答 案1、16、 4n+4 2、周角 3、正三角形、正四边
20、形、正六边形4、C 5、C 6、A 7、B，8、C9、 10、 12、方法如图所示：（还有很多）11、本章测试 （时间：90分钟 满分：100分 ）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A2cm，3cm，5cm B5cm，6cm，10cm C1cm，1cm，3cm D3cm，4cm，9cm2等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A17 B22 C17或22 D133适合条件A=B=C的ABC是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形4已知等
21、腰三角形的一个角为75，则其顶角为（ ） A30 B75 C105 D30或755一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180，这个多边形的边数是（ ） A5 B6 C7 D86三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定7下列命题正确的是（ ） A三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部 B三角形中至少有一个内角不小于60 C直角三角形仅有一条高 D直角三角形斜边上的高等于斜边的一半8能构成如图所示的基本图形是（ ） 第8题图 (A) (B) (C) (D)9已知等腰ABC的底边BC=8cm，AC-BC=2cm，则腰AC的长为（
22、） A10cm或6cm B10cm C6cm D8cm或6cm10如图1，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） AA=1+2 B2A=1+2 C3A=21+2 D3A=2（1+2） (10题) (13题) (14题)二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分把答案填在题中横线上）11三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是_12四条线段的长分别为5cm、6cm、8cm、13cm，以其中任意三条线段为边可以构成_个三角形13如果一个正多边形的内角和是900，则这个正多边形是
23、正_边形14n边形的每个外角都等于45，则n=_15乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么A、B两站之间需要安排_种不同的车票16将一个正六边形纸片对折，并完全重合，那么，得到的图形是_边形，它的内角和（按一层计算）是_度三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（6分）如图，BD平分ABC，DAAB，1=60，BDC=80，求C的度数18（8分）如图： （1）画ABC的外角BCD，再画BCD的平分线CE （2）若A=B，请完成下面的证明： 已知：ABC中，A=B，CE是外角BCD的平分线求证：CEAB19（8分）（1）如图4，有一块直角三
24、角形XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、CABC中，A=30，则ABC+ACB=_，XBC+XCB=_ (4) (5)（2）如图5，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么ABX+ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ACX的大小20（8分）引人入胜的火柴问题，成年人和少年儿童都很熟悉如图是由火柴搭成的图形，拿去其中的4根火柴，使之留下5个正方形，且留下的每根火柴都是正方形的边或边的一部分，请你给出两种方案，并将它们分别画在图（1）、（2）中21（8分）在平面内，分别用3根、5根、
25、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示： 问：（1）4根火柴能拾成三角形吗？（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图22（8分）如图，BCCD，1=2=3，4=60，5=6 （1）CO是BCD的高吗？为什么？ （2）5的度数是多少？ （3）求四边形ABCD各内角的度数 答案：1B2B 点拨：由题意知，三角形的三边长可能为4，4，9或4，9，9但4+49，说明以4，4，9为边长构不成三角形所以，这个等腰三角形的周长为22故选B3B 点拨：设A=x，则B=2x，C=3x，由三角形内角和定理，得x+2x+3x=180解得x=303x=330
26、=90故选B4D 点拨：分顶角为75和底角为75两种情况讨论5C 点拨：据题意，得（n-2）180=2360+180解得n=7故选C6B7B 点拨：若三角形中三个内角都小于60，则三个内角的和小于180，与内角和定理矛盾所以，三角形中至少有一个内角不小于608B9A 点拨：BC=8cm，AC-BC=2cm，AC=10cm或6cm经检验以10cm，10cm，8cm，或6cm，6cm，8cm为边长均能构成三角形故选A10B 点拨：可根据三角形、四边形内角和定理推证111x6 点拨：8-51+2x8+5，解得1x6122 点拨：以5cm、6cm、8cm或6cm、8cm、13cm为边长均可构成三角形1
27、3七148 点拨：n=8151016四；36017解：在ABD中，A=90，1=60， ABD=90-1=30 BD平分ABC，CBD=ABD=30 在BDC中，C=180-（BDC+CBD） =180-（80+30）=7018（1）如答图（2）证明：A=B，BCD是ABC的外角，BCD=A+B=2B，CE是外角BCD的平分线，BCE=BCD=2B=B，CEAB（内错角相等，两直线平行） 点拨：如答图所示，要证明两直线平行，只需证内错角B=BCE即可19（1）150；90 （2）不变化A=30，ABC+ACB=150，X=90，XBC+XCB=90，ABX+ACX=（ABC-XBC）+（ACB
28、-XCB）=（ABC+ACB）-（XBC+XCB）=150-90=60 点拨：此题注意运用整体法计算20如答图7-221解：（1）4根火柴不能搭成三角形； （2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）； 12根火柴能搭成三种不同的三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）图略22解：（1）CO是BCD的高 理由：在BDC中，BCD=90，1=2，1=2=902=45 又1=3，3=45 DOC=180-（1+3）=180-245=90， CODB CO是BCD的高 （2）5=90-4=90-60=30 （3）CDA=1+4=45+60=105，DCB=90， DAB=5+6=30+30=60
29、， ABC=105综合能力检测（答题时间：90分钟）一. 填空题（每小题4分，共24分） 1. 在ABC中，C60，A2B，则A_，B_。 2. 小时和小颖要分一块均匀的三角形饼干，怎样才能把它分成大小相等的两块？_。 3. 木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB、CD两个木条），这样做所依据的数学道理是_。 4. 已知三角形三个内角的度数之比为1：4：5，那么这个三角形的三个内角分别是_。 5. 如图，已知AB/CD，ABCD，要得到ABECDF，需要增设的一个条件是_。 6. 如图，将长方形纸片ABCD沿AC折叠，使B点落在点E处，其中EFA_，理
30、由是_。二. 选择题（每小题3分，共24分） 7. 一个三角形的三个内角中，至少有（ ） A. 一个锐角 B. 两个锐角 C. 一个钝角D. 一个直角 8. 如图，在ABC中，BC边上的高为（ ） A. BEB. ADC. BFD. CF 9. 在ABC中，ABC，那么ABC是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 不能确定 10. 如果一个三角形三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 不能确定 11. 如图，AD是ABC边BC上的高，AE是ABC的角平分线，BAC46，C74，则DAE等于
31、（ ） A. 16B. 23C. 44D. 7 12. 如图，ABFCDE，则AB/CD；BEDF；AEFCFE；AE/CF中必成立的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，ABDACE，点B和点C是一对对应顶点，AB8cm，BD7cm，AD6cm，则BE的长是（ ） A. 1cmB. 2cmC. 4cmD. 6cm 14. 在ABC中，BC，与ABC全等的三角形有一个角是130，那么ABC中与这个角对应的角是（ ） A. AB. B C. C D. B或C三. 解答题（1518题每小题10分，19题12分，共52分） 15. 有一种玩具纸片形状如图所示，其中已知12。小红说纸片中的A
32、BC和ADC是全等的，小明不相信，小红说：“只要给我一个量角器，我就能验证这两个三角形是否全等。”你知道小红是怎样做的吗？如果知道，请写出小红的验证过程。 16. 如图，点C在BD上，BD90，ACCE，ABCD，你发现AC与CE有怎样的位置关系？并加以说明。 17. 如图，DABCAE，要使ACBADE，需要再补充几个条件？应补充什么条件？把它们分别写出来，能写几种就写几种。 18. 如图，B12，CDAD，你发现AB与AD有什么数量关系？请说出你的理由。 19. 如图，A、B两点分别位于一池塘两侧，池塘左边有一水房D，在D、B中点C处有一棵百年古槐，小明从A点出发，沿AC一直向前走到点E（A、C、E三点在同一直线上），并使CECA，然后他测量出点E到水房D的距离，则DE的长度就是A、B两点间的距离。 （1）你能说出小明这样做的道理吗？ （2）如果小明恰好未带测量工具，但他知道水房和古槐到A点的距离分别是140m和100m，他能不能确定AB的长度范围？ （3）在（2）题的解题过程中，你找