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1、经济数学基础积分学一、单项选择题1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ） Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy = 2x + 2 Dy = 4x 2. 若= 2，则k =（ A ） A1 B-1 C0 D 3下列等式不成立的是（ D ） A B C D 4若，则=（D ）.A. B. C. D. 5. （ B ） A B C D 6. 若，则f (x) =（ C ） A B- C D- 7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 8下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 9下列无穷积分中收敛的是（ C ） A
2、B C D10设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（ B ） A-550 B-350 C350 D以上都不对 11下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程 A B C D 12微分方程的阶是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 113在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ C ）A B C D 14下列函数中，（ C ）是的原函数A- B C D 15下列等式不成立的是（ D ） A B C D 16若，则=（D ）.A. B. C. D. 17. （ B ） AB C D 18. 若，则f (x) =（ C ）A B- C
3、 D- 19. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B ) A BC D 20下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 21下列无穷积分中收敛的是（ C ） A B C D 22下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程 A B C D 23微分方程的阶是（C ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 124.设函数，则该函数是（ A ）.A. 奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数25. 若，则( A )A. B. C. D. 26. 曲线在处的切线方程为( A ). A B C D 27. 若的一个原函数是, 则=（D） AB C D 28. 若, 则（ C ）
4、. A. B. C. D. 二、填空题1 2函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数) 3若，则.4若，则= .50. 607无穷积分是收敛的（判别其敛散性）8设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + 9. 是 2 阶微分方程. 10微分方程的通解是1112。答案：13函数f (x) = sin2x的原函数是14若，则. 答案：15若，则= . 答案：16. 答案：017答案：018无穷积分是答案：1 19. 是 阶微分方程. 答案：二阶20微分方程的通解是答案： 21. 函数的定义域是(-2,-1)U(-1,222. 若，则4 23.
5、 已知，则=27+27 ln324. 若函数在的邻域内有定义，且则1.25. 若, 则-1/2 (三) 判断题11. . ( )12. 若函数在点连续，则一定在点处可微. ( ) 13. 已知，则= （ ）14. . （ ）. 15. 无穷限积分是发散的. ( 三、计算题 解 2 2解 3 3解 4 4解 = =5 5解 = = 6 6解 7 7解 = 88解 =-=9 9解法一 = =1 解法二 令，则 =10求微分方程满足初始条件的特解10解 因为 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11求微分方程满足初始条件的特解11解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c =
6、所以，特解为： 12求微分方程满足 的特解. 12解：方程两端乘以，得 即 两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的特解为： 13求微分方程 的通解13解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14求微分方程的通解.14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15求微分方程的通解 15解 在微分方程中，由通解公式 16求微分方程的通解 16解：因为，由通解公式得 = = = 17 解 = = 18 解： 19解：= 20 解： =（答案： 21 解： 22 解 =23 24. 2526设，求 27. 设，
7、求. 28设是由方程确定的隐函数,求.29设是由方程确定的隐函数,求.30. 31.32. 33.34.35. 36. 37. 四、应用题 1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 1解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02
8、x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 2解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 3. 解 (x) =(x)
9、-(x) = (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 4已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 4解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5设生产某产品的总成
10、本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 5解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 6投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增
11、至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.7已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元
12、/百台) 8生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：已知(x)=8x(万元/百台)，(x)=100-2x，则令，解出唯一驻点 由该题实际意义可知，x = 10为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为（万元）即利润将减少20万元. 9设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量
13、；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 经济数学基础微分函数一、单项选择题1函数的定义域是（D ）D2若函数的定义域是0，1，则函数的定义域是(C) C 3下列各函数对中，（D）中的两个函数相等 D，4设，则=（A） A 5下列函数中为奇函数的是（C）C 6
14、下列函数中，（C）不是基本初等函数 C7下列结论中，（C）是正确的 C奇函数的图形关于坐标原点对称 8. 当时，下列变量中（B ）是无穷大量 B. 9. 已知，当（A ）时，为无穷小量.A. 10函数 在x = 0处连续，则k = (A)A-2 11. 函数 在x = 0处（B ）B. 右连续 12曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A 13. 曲线在点(0, 0)处的切线方程为（A ）A. y = x 14若函数，则=（ B ）B- 15若，则（ D ） D 16下列函数在指定区间上单调增加的是（ B ） Be x 17下列结论正确的有（ A ） Ax0是f (x)的极值点，且(x
15、0)存在，则必有(x0) = 018. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ B ）B 19函数的定义域是（D）D 且20函数的定义域是（ C ）。 C 21下列各函数对中，（D）中的两个函数相等D，22设，则=（C） C 23下列函数中为奇函数的是（C）C 24下列函数中为偶函数的是（D）D25. 已知，当（A ）时，为无穷小量.A. 26函数 在x = 0处连续，则k = (A)A-2 27. 函数 在x = 0处连续，则（A ）A. 1 28曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）A 29. 曲线在点(1, 2)处的切线方程为（B ） B. 30若函数，则=（ B ）B-
16、 31下列函数在指定区间上单调减少的是（ D ）D3 x 32下列结论正确的有（ A ） Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 33. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ B ） B 二、填空题1函数的定义域是 -5，2 2函数的定义域是 (-5, 2 ) 3若函数，则 4设函数，则5设，则函数的图形关于y轴 对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.67已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 28. 1.
17、9已知，当时，为无穷小量10. 已知，若在内连续则2 .11. 函数的间断点是12函数的连续区间是，13曲线在点处的切线斜率是14函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +)15已知，则= 016函数的驻点是 17需求量q对价格的函数为，则需求弹性为 18已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性Ep = 19函数的定义域是答案：(-5, 2 )20若函数，则答案：21设，则函数的图形关于对称答案：y轴22已知，当 时，为无穷小量答案：23已知，若在内连续则 . 答案224函数的间断点是答案：25. 函数的连续区间是答案：26曲线在点处的切线斜率是答案： 27. 已知，则= 答案：02
18、8函数的单调增加区间为答案：（29. 函数的驻点是 答案：30需求量q对价格的函数为，则需求弹性为。答案：三、计算题1 1解 = = = 22解：= =3 3解 = =22 = 4 44解 = = = 2 5 5解 66解 = =7已知，求 7解：(x)= =8已知，求 8解 9已知，求；9解 因为 所以 10已知y =，求 10解 因为 所以 11设，求11解 因为 所以 12设，求12解 因为 所以 13已知，求 13解 14已知，求 14解： 15由方程确定是的隐函数，求15解 在方程等号两边对x求导，得 故 16由方程确定是的隐函数，求.16解 对方程两边同时求导，得 =.17设函数由
19、方程确定，求17解：方程两边对x求导，得 当时， 所以，18由方程确定是的隐函数，求18解 在方程等号两边对x求导，得 故 19已知，求 解： 20已知，求 解： 21已知，求；解：22已知，求dy 解： dy=23设 y，求dy解：24设，求 解：四、应用题 1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？ 1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去）因为 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在小值，所以当20时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为200
20、0元，每生产一吨产品的成为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？2解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场
21、上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. （2）最大利润 （元）4某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元
22、/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？ 4解 （1）由已知利润函数则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为 （元 5某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 5. 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件） 6已知某厂生
23、产件产品的成本为（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 6解 （1） 因为 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定义域内的唯一驻点 所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品7设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去） 因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 8某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01
24、q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.解 由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 且最大利润为 （元） 9某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （
25、元/件） 10某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) = 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点 所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大（一）填空题1.答案：02.设，在处连续，则.答案：13.曲线在的切线方程是
26、.答案：4.设函数，则.答案：5.设，则.答案：（二）单项选择题1. 函数的连续区间是（ D ）A B C D或 2. 下列极限计算正确的是（ B ）A. B.C. D.3. 设，则（B ） A B C D4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 5.当时，下列变量是无穷小量的是（ C ）. A B C D(三)解答题1计算极限（1） （2）原式=（3） 原式= = =（4）原式=（5） 原式= =（6）原式= = = 42设函数，问：（1）当为何值时，在处有极限存在？（
27、2）当为何值时，在处连续.解：(1)当 (2). 函数f(x)在x=0处连续.3计算下列函数的导数或微分：（1），求答案：（2），求答案：（3），求答案：（4），求答案：=（5），求答案： （6），求答案： （7），求答案： = （8），求答案：（9），求答案： = = =（10），求答案：4.下列各方程中是的隐函数，试求或(1) 方程两边对x求导： 所以 (2) 方程两边对x求导： 所以 5求下列函数的二阶导数：（1），求答案： (1) (2) 作业（二）（一）填空题1.若，则.答案：2. .答案：3. 若，则 .答案：4.设函数.答案：05. 若，则.答案：（二）单项选择题1. 下列函数中
28、，（ D ）是xsinx2的原函数 Acosx2 B2cosx2 C-2cosx2 D-cosx2 2. 下列等式成立的是（ C ） A B C D3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ） A， B C D4. 下列定积分计算正确的是（ D ） A B C D 5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ） A B C D (三)解答题1.计算下列不定积分（1）原式= = （2）答案：原式= =（3）答案：原式=（4）答案：原式=（5）答案：原式= =（6）答案：原式=（7）答案：(+) (-) 1 (+) 0 原式=（8）答案： (+) 1 (-) 原式= = =2.计算下列定积分（1）
29、答案：原式=（2）答案：原式=（3）答案：原式=（4）答案： (+) (-)1 (+)0 原式= =（5）答案： (+) (-) 原式= =（6）答案：原式=又 (+) (-)1 - (+)0 =故：原式=作业三（一）填空题1.设矩阵，则的元素.答案：32.设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .答案：4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：5. 设矩阵，则.答案：（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ C ） A若均为零矩阵，则有 B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵 D若，则2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ A ）矩阵 A B C D 3. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ） A， B C D 4. 下列矩阵可逆的是（ A ） A B C D 5. 矩阵的秩是（ B ） A0 B1 C2 D3 三、解答题1计算（1）=（2）（3）=2计算解 =3设矩阵，求。解 因为所以4设矩阵，确定的值，使最小。解： 所以当时，秩最小为2。5求矩阵的秩。答案：解：所以秩=2。6求下列矩阵的逆矩阵：（1）答案解：所以。 （2）A =答案解：所以。 7设矩阵，求解矩阵方程答案： 四、证明题1试证：若都与可交换，则，也与可交换。证明： ，