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1、专业好文档经济数学基础第一部分 微分学一、单项选择题1函数的定义域是（ 且）2若函数的定义域是0，1，则函数的定义域是( )3下列各函数对中，（ ，）中的两个函数相等 4设，则=（） 5下列函数中为奇函数的是（） 6下列函数中，（不是基本初等函数 7下列结论中，（奇函数的图形关于坐标原点对称）是正确的 8. 当时，下列变量中（ ）是无穷大量 9. 已知，当（ ）时，为无穷小量.10函数 在x = 0处连续，则k = (1) 11. 函数 在x = 0处（右连续 ）12曲线在点（0, 1）处的切线斜率为（ ） 13. 曲线在点(0, 0)处的切线方程为（y = x ）14若函数，则=（ ）15若
2、，则（ ）16下列函数在指定区间上单调增加的是（e x）17下列结论正确的有（x0是f (x)的极值点） 18. 设需求量q对价格p的函数为，则需求弹性为Ep=（ ） 二、填空题1函数的定义域是-5，22函数的定义域是(-5, 2 )3若函数，则4设函数，则5设，则函数的图形关于y轴对称6已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.67已知某商品的需求函数为q = 180 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q 0.25q 28. 1.9已知，当 时，为无穷小量 10. 已知，若在内连续，则2 .11. 函
3、数的间断点是12函数的连续区间是，13曲线在点处的切线斜率是14函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +)15已知，则= 016函数的驻点是17需求量q对价格的函数为，则需求弹性为18已知需求函数为，其中p为价格，则需求弹性Ep = 三、极限与微分计算题1解 = = = 2解：= = 3解 = =22 = 4 4解 = = = 2 5解 6解 = =7解：(x)= =8解 9解 因为 所以 10解 因为 所以 11解 因为 所以 12解 因为 所以 13解 14解： 15解 在方程等号两边对x求导，得 故 16解 对方程两边同时求导，得 =.17解：方程两边对x求导，得 当时， 所
4、以，18解 在方程等号两边对x求导，得 故 四、应用题1设生产某种产品个单位时的成本函数为：（万元）,求：（1）当时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量为多少时，平均成本最小？1解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， 所以， ， （2）令 ，得（舍去）因为是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当20时，平均成本最小. 2某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为（为需求量，为价格）2解 （1）成本函数= 60+2000 因为 ，即， 所以 收入函数=()= （2）因为利润函数=- =-(60+2000) =
5、 40-2000 且 =(40-2000=40- 0.2令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定义域内的唯一驻点所以，= 200是利润函数的最大值点，即当产量为200吨时利润最大3设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元又已知需求函数，其中为价格，为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) =250000-400p R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 利润函数L(p) =
6、 R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 =2400 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. （2）最大利润 （元）4某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4解 （1）由已知利润函数 则，令，解出唯一驻点.因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， （2）最大利润为 （元）5某厂每天生产某种产品件的成本函数为（元）.为使平均成本最
7、低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5. 解 因为 = （） = 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.=140是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以=140是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 =176 （元/件）6已知某厂生产件产品的成本为（万元）问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？6解 （1） 因为 = = 令=0，即，得=50，=-50（舍去）， =50是在其定义域内的唯一驻点 所以，=50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品 第二部分 积分学一、单项选择题1在切线斜率为2
8、x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3 ）2. 若= 2，则k =（1） 3下列等式不成立的是（ ） 4若，则=（）.5. （ ） 6. 若，则f (x) =（ ）7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是() 8下列定积分中积分值为0的是（） 9下列无穷积分中收敛的是（）10设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（350 ）11下列微分方程中，（ ）是线性微分方程12微分方程的阶是（1）.二、填空题12函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数)3若，则4若，则=50 607无穷积分是收敛的（判别其敛散性）8设边际收
9、入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + 9. 是2 阶微分方程.10微分方程的通解是三、计算题 解 2解 3解 4解 = = 5解 = = 6解 7解 = 8解 =-=9解法一 = =1 解法二 令，则 = 10解 因为 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c = 所以，特解为： 12解：方程两端乘以，得 即 两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的特解为： 13解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14. 解 将
10、原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15解 在微分方程中，由通解公式 16解：因为，由通解公式得 = = = 四、应用题1投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.1解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 = 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量
11、为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？2解 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. 3生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) =
12、 (100 2x) 8x =100 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.4解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成
13、本为 (万元/百台) 5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？5解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 第三部分 线性代数一、单项选择题1设A为矩阵，B为矩阵，则下列
14、运算中（AB ）可以进行.2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（3设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（秩秩秩 ）4设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（）5设是可逆矩阵，且，则（ ）.6设，是单位矩阵，则（）7设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（AB = AC，A可逆，则B = C ）成立.8设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（） 9设，则r(A) =（ 2 ）10设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ 1 ）11线性方程组 解的情况是（无解）12若线性方程组的增广矩阵为，则当（）时线性方程组无解13 线性方程组只有零
15、解，则（可能无解）.14设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（无解）15设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（只有零解）二、填空题1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是与是同阶矩阵2计算矩阵乘积= 43若矩阵A = ，B = ，则ATB=4设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式5设，当0时，是对称矩阵.6当时，矩阵可逆7设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解8设为阶可逆矩阵，则(A)= 9若矩阵A =，则r(A) =210若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解11若线性方程组有非零解，则-11
16、2设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于n r13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量) 14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当时，方程组有无穷多解.15若线性方程组有唯一解，则只有0解 三、计算题 1设矩阵，求2设矩阵 ，计算 3设矩阵A =，求 4设矩阵A =，求逆矩阵 5设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1 6设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1 7解矩阵方程8解矩阵方程. 9设线性方程组 讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解
17、的情况. 11求下列线性方程组的一般解： 12求下列线性方程组的一般解： 13设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解. 14当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.15已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解. 三、计算题1解 因为 = =所以 = 2解：= = = 3解 因为 (A I )= 所以 A-1 = 4解 因为(A I ) = 所以 A-1= 5解 因为AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6解 因为BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 7解 因为 即 所以，X = 8解：因为 即 所
18、以，X = 9解 因为 所以当且时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 当且时，方程组有无穷多解. 10解 因为 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) r()，所以方程组无解. 11解 因为系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 12解 因为增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 13解 因为系数矩阵 A = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 14解 因为增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量 15解：当=3时，方程组有解. 当=3时， 一般解为， 其中, 为自由未知量. 四、证明题 四、证明题1试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA1证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2试证：设是n阶矩阵，若= 0，则2证 因为 = = 所以 3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求 3. 证 因为，且，即，得，所以是可逆矩阵，且.4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.4. 证 因为 =所以是对称矩阵.5设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵5证 因为 ，且 所以 ABBA是对称矩阵