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1、电大微积分初步考试精品小抄一、填空题函数的定义域是（，5）50 5 1 ，已知，则= 若，则微分方程的阶数是三阶 6.函数的定义域是（-2，-1）U（-1，) 7.2 8.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0带入X）9.或10.微分方程的特解为 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函数的定义域是12.若函数,在处连续，则1 (在处连续) （无穷小量x有界函数）13.曲线在点处的切线方程是 ，
2、 14. sin x+c15.微分方程的阶数为 三阶 16.函数的定义域是（2,3）U（3，）17.1/218.已知，则=27+27ln3 19.=ex2+c 20.微分方程的阶数为 四阶 二、单项选择题设函数，则该函数是（偶函数）函数的间断点是（）分母无意义的点是间断点下列结论中（在处不连续，则一定在处不可导）正确可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 如果等式，则（ ）下列微分方程中，（）是线性微分方程 6.设函数，则该函数是（奇函数）7.当（2 ）时，函数在处连续.8.下列函数在指定区间上单调减少的是（） 9.以下等式正确的是（）10.下列微分方程中
3、为可分离变量方程的是（）11.设，则（）12.若函数f (x)在点x0处可导，则(，但)是错误的 13.函数在区间是（先减后增）14.(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）16.下列函数中为奇函数是（）17.当（）时，函数在处连续.18.函数在区间是（先单调下降再单调上升）19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3）20.微分方程的特解为（）三、计算题计算极限解:设，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx计算不定积分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2co
4、s计算定积分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x , u= -2 8.计算定积分解：u=x,=9.计算极限10.设，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 u=x , v=cosx , v=sinx12.计算定积分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.计算极限解：14.设，求解：() , , , )15.计算不定积
5、分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.计算定积分解： u=x , , 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料
6、最省？ 设长方形一边长为x，S=216 另一边长为216/x总材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一边长为18，一边长为12时，用料最省. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a 底面积为a2a2h=v=32 h=表面积为a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面边长为4， h=2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆
7、柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-xV=得：矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax三、计算题计算极限解:设，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx计算不定积分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2cos计算定积分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x , u= -2 8.计算定积分解：u=x,=9.计
8、算极限10.设，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 u=x , v=cosx , v=sinx12.计算定积分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.计算极限解：14.设，求解：() , , , )15.计算不定积分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.计算定积分解： u=x , , 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
9、解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，S=216 另一边长为216/x总材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一边长为18，一边长为12时，用料最省. 欲做一个底
10、为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a 底面积为a2a2h=v=32 h=表面积为a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面边长为4， h=2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-xV=得：矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数的定义域是 答案：
11、 2函数的定义域是 答案： 3.函数的定义域是 答案： 4.函数，则 答案： 5函数，则 答案： 6函数，则 答案： 7函数的间断点是 答案： 8. 答案： 1 9若，则 答案： 2 10若，则 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数，则该函数是（）答案：BA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数，则该函数是（）答案：AA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数的图形是关于（）对称答案：DA B轴C轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C ）A B C D 5函数的定义域为（）答案：DA B C且 D且 6函数的定义域是（）答案：DA B
12、C D 7设，则（ ）答案：CA B C D 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案：D A， B，C， D 9当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A B C D 10当（ ）时，函数，在处连续. 答案：BA0 B1 C D 11当（ ）时，函数在处连续 答案：DA0 B1 C D 12函数的间断点是（ ）答案：AA B C D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限 解 2计算极限 解 3. 解：原式4计算极限 解 5计算极限 解 6.计算极限 解 7计算极限 解 8计算极限解 一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线在点的斜率是 答案：2曲线在点的切线方程是 答案：
13、 3曲线在点处的切线方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 答案：6已知，则= 答案：7已知，则= 答案：8若，则 答案：9函数的单调增加区间是 答案：10函数在区间内单调增加，则a应满足 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数在区间是（ ）答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的（ ）答案：C.A极值点B最值点 C驻点D 间断点3若，则=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设，则（ ） 答案：B A B C D5设是可微函数，则（ ） 答案：D A B C D 6
14、曲线在处切线的斜率是（ ） 答案：C A B C D7若，则（ ）答案：C A B C D 8若，其中是常数，则（ ）答案C A B C D 9下列结论中（ A ）不正确 答案：C A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的 答案：B A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x1
15、2.下列结论正确的有（ ） 答案：A Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）1设，求 解 或 2设，求. 解 3设，求. 解 4设，求. 解 或5设是由方程确定的隐函数，求. 解 对方程两边同时对x求微分，得 6设是由方程确定的隐函数，求. 解原方程可化为， 7设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边同时对求微分，得 .8设，求解：方程两边同时对求微分，得 一、填空题（每小题2分
16、，共20分）1若的一个原函数为，则 。 答案： （c为任意常数）或 2若的一个原函数为，则 。 答案： 或 3若，则 答案：或4若，则 答案： 或 5若，则答案： 6若，则 答案： 7答案：8 答案： 9若，则答案： 10若，则 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AA B C D3若，则（ ）. 答案：AA. B. C. D. 4若，则（ ）. 答案：A A. B. C. D. 5以下计算正确的是（ ） 答案：AA B C D 6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：C A B C D 8如果等式，则（） 答案BA. B. C. D.
17、三、计算题（每小题7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形的一边厘米，则厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积令得当时，；当时，.是函数的极大值点，也是最大值点.此时答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：设成矩形有土地的宽为米，则长为米，于是
18、围墙的长度为令得易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）1函数在（是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定积分的几何意义知，= 。答案： 6 . 答案：07=答案： 8微分方程的特解为 . 答案：1或9微分方程的通解为 . 答案：或10微分方程的阶数为 答案：2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）答案
19、：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 2若= 2，则k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 3下列定积分中积分值为0的是（ ） 答案：A A B C D 4设是连续的奇函数，则定积分（ ）答案：D5（ ）答案：DA0 B C D6下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D 7下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D8下列微分方程中，（ ）是线性微分方程答案：D A B C D9微分方程的通解为（ ）答案：C A B C D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（） 答案：BA. ； B. ； C. ； D. 三、计算题（每小题7分，共56分）1 解 或2
20、 解 3 解 利用分部积分法 4 5 6求微分方程满足初始条件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解为.四、证明题（本题4分）证明等式。作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数的定义域是 答案： 2函数的定义域是 答案： 3.函数的定义域是 答案： 4.函数，则 答案： 5函数，则 答案： 6函数，则 答案： 7函数的间断点是 答案： 8. 答案： 1 9若，则 答案： 2 10若，则 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数，则该函数是（）答案：BA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数，则该函数是（）答案：AA奇函数
21、 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数的图形是关于（）对称答案：DA B轴C轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C ）A B C D 5函数的定义域为（）答案：DA B C且 D且 6函数的定义域是（）答案：DA BC D 7设，则（ ）答案：CA B C D 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案：D A， B，C， D 9当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A B C D 10当（ ）时，函数，在处连续. 答案：BA0 B1 C D 11当（ ）时，函数在处连续 答案：DA0 B1 C D 12函数的间断点是（ ）答案：AA B C D无间断点三、解答题（每小题7
22、分，共56分）计算极限 解 2计算极限 解 3. 解：原式4计算极限 解 5计算极限 解 6.计算极限 解 7计算极限 解 8计算极限解 一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线在点的斜率是 答案：2曲线在点的切线方程是 答案： 3曲线在点处的切线方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 答案：6已知，则= 答案：7已知，则= 答案：8若，则 答案：9函数的单调增加区间是 答案：10函数在区间内单调增加，则a应满足 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数在区间是（ ）答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程的
23、点一定是函数的（ ）答案：C.A极值点B最值点 C驻点D 间断点3若，则=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设，则（ ） 答案：B A B C D5设是可微函数，则（ ） 答案：D A B C D 6曲线在处切线的斜率是（ ） 答案：C A B C D7若，则（ ）答案：C A B C D 8若，其中是常数，则（ ）答案C A B C D 9下列结论中（ A ）不正确 答案：C A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数f (x)在点x0处可导
24、，则( )是错误的 答案：B A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x12.下列结论正确的有（ ） 答案：A Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）1设，求 解 或 2设，求. 解 3设，求. 解 4设，求. 解 或5设是由方
25、程确定的隐函数，求. 解 对方程两边同时对x求微分，得 6设是由方程确定的隐函数，求. 解原方程可化为， 7设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边同时对求微分，得 .8设，求解：方程两边同时对求微分，得 一、填空题（每小题2分，共20分）1若的一个原函数为，则 。 答案： （c为任意常数）或 2若的一个原函数为，则 。 答案： 或 3若，则 答案：或4若，则 答案： 或 5若，则答案： 6若，则 答案： 7答案：8 答案： 9若，则答案： 10若，则 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AA B C D3若，则（ ）. 答案：AA. B. C. D. 4
26、若，则（ ）. 答案：A A. B. C. D. 5以下计算正确的是（ ） 答案：AA B C D 6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：C A B C D 8如果等式，则（） 答案BA. B. C. D. 三、计算题（每小题7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形的一边厘米，则厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积令得当时，；当时，.是函数的极大值点，也是最大值点.此时答：当矩形的边长分别为20厘
27、米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：设成矩形有土地的宽为米，则长为米，于是围墙的长度为令得易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）1函数在（是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定积分的几何意义知，= 。答案： 6 .
28、答案：07=答案： 8微分方程的特解为 . 答案：1或9微分方程的通解为 . 答案：或10微分方程的阶数为 答案：2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 2若= 2，则k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 3下列定积分中积分值为0的是（ ） 答案：A A B C D 4设是连续的奇函数，则定积分（ ）答案：D5（ ）答案：DA0 B C D6下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D 7下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D8下列微分方程中
29、，（ ）是线性微分方程答案：D A B C D9微分方程的通解为（ ）答案：C A B C D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（） 答案：BA. ； B. ； C. ； D. 三、计算题（每小题7分，共56分）1 解 或2 解 3 解 利用分部积分法 4 5 6求微分方程满足初始条件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解为.四、证明题（本题4分）证明等式。微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对
30、于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。1函数及其图形本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已学过了，现在我们只是把它们联系起来复习一下。11函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，我们就称y是x的函数，并记作y=f（x）， （A1）其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系。有时把y=f（x）也记作y=y（x）。如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，我们也可以用其它字母作为函数记号，如j（x）、（x）等等。常见的函数可以用公式来表达，例如ex等等。