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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date(1).训练题(一)解答(1).训练题(一)解答一、空间个点，无四点共线，任意将其中个点染为红色，其余个点染为蓝色.证明：存在一个平面，同时平分红、蓝两色的点，使得在平面的两侧，各有个红点，个蓝点.证：先证平面上的如下命题：对于平面上无四点共线的个点，任意将其中个点染为红色，其余个点染为蓝色，则存在一条直线，同时平分红、蓝两色的点，使得在直线的两侧，各有个红点，个蓝点
2、.首先，暂不考虑点的颜色，可作一条有向直线，使在直线两侧各有个点，（因为这个点间两两的连线只有有限条，可作一条直线与它们都不平行，则任两个已知点到的有向距离皆不相等，当平移时，直线将逐个越过这些点，直至两侧各有个点）.将左侧的每一点与右侧的每一点分别连线，这些连线与有向直线正向的夹角只有有限个，其中必有最小角，设为连线达到，在连线与直线所夹的角形内不含任何给定的色点. 设.如果直线上只有两个已知色点，则让直线绕点逆时针旋转角，（略大于），使其恰好越过直线到达新位置（只要适当小，可使与所夹的角形内除了外，再无其它色点）.这时，直线的左右两侧仍各有个点，若点同色，则直线两侧的红点数不变；若点异色，
3、则直线左侧的红点数或者增加，或者减少.如果直线上三个已知色点，则必有两点在点的同侧，设为，（如图）将直线绕点逆时针旋转角，（略大于），使其恰好越过直线到达新位置，然后在之间任取点，过点作，只要适当小，可使平行线与之间除点外，再无其它色点，而由变为后，射线两侧的总点数未变，即两侧仍各有个点，再看射线两侧的色点数变化情况：由于点原先在左侧，现仍在左侧，因此只需考虑点. 若同色，则左侧的红点数与左侧的红点数相同； 若异色，则左侧的红点数与左侧的红点数相差个.综上可知，对于每种情况，我们总可通过适当旋转、平移射线，使得射线两侧的总点数始终不变，而左侧的红点数或者不变，或者增加，或者减少.假若开初射线的
4、左侧有个红点，则的右侧有个红点；当经过若干次这种操作，使得射线转过后，与的原位置重合但方向相反时，射线的左侧有个红点，而右侧有个红点，故必在其中某次操作后，使得值等于，即对于射线的这一位置，射线的两侧各有个红点，从而也各有个蓝点.因此对于平面情形结论成立.再考虑空间情况，过这个点的每一对点作直线，只有有限条，它们构成集合；过不共线的每三点作平面，只有有限个，它们构成集合. 则必可作一个平面，既不与集合中的任一直线垂直，也不与集合中的任一平面垂直，现将这个点一齐投影到平面上，则在平面上所得的投影点恰为个，且这些投影点也无四点共线，（否则空间的原来四点必在同一张垂直于的平面上；由于题设中，空间无四
5、点共线，则过的平面已在集合中，这又与平面的选择矛盾）.今将投影点分别染上与原给定点相同的颜色，据前面的讨论可知，在平面上存在一条直线，同时平分红、蓝两色的点，使得在直线的两侧，各有个红点，个蓝点.过直线作平面平面，则平面即为所求.二、设凸四边形的面积为，证明：在其周界或内部总存在四个点，使得以其中任意三点为顶点的四个三角形的面积均不小于并且这个值是最佳的，即不能将其改进为更大的数讲解：用表示相应的三角形面积，表示点到直线的距离；由于涉及四边形及三角形的面积，故需注意以下性质：、嵌入平行四边形的任何三角形面积不大于该平行四边形面积的一半；、嵌入三角形的任何平行的四边形面积不大于该三角形面积的一半
6、；、三角形的重心与三角形任一对顶点所组成的三角形三等分三角形面积若为平行四边形，因，则四点为所求；若四点中，有某三点组成的三角形的面积（或者等价地说，有某三点组成的三角形的面积），例如设，若其重心为，则据，四点组为所求；以下考虑不为平行四边形，且以其中任三点为顶点的三角形面积都满足的情况；不妨设，边与不平行，且，；如图，设，作，在上，记，则，（事实上，注意到，则，而与等高，其面积比等于底边长的比，即）、若，则在线段上分别有点，使得,且，由，得，则，据，则，；、若，如图，在上分别有点使得,且，设，则，在射线上取点，使，作，在上，则、皆构成平行四边形，则，所以，则；所以；，四点组为所求；、若，仍借
7、用上图，在上分别有点使得,且，设，在射线上取点，使，作，在上，则构成平行四边形，而，相似比为，则，所以，所以，因此，故得（这里用到）于是在梯形中，；，因此四点组为所求；再证为最佳值，作面积为的梯形，其中，则；今证明，该梯形周界或内部不存在这样的四个点，使得以其中任意三点为顶点的四个三角形的面积均大于设，则，即，所以，.设是其中的任意四点，若其中有三点共线时结论显然；今设其中无三点共线，考虑四点的凸包：、若凸包为四边形，并设四个三角形中，以的面积为最小；如图作平行四边形，则由，得；又由，得，故点含于中，因此平行四边形含于四边形中，故含于梯形中，因此含于三角形中，于是据，故；、若凸包为三角形，点在
8、其内部，又设三个三角形中，以的面积为最小，则，又在梯形中，以为邻边构作平行四边形，易知，由于三角形含于梯形中，故含于平行四边形中，所以据知，则因此本题得证三、在单位面积的凸图形内部或周界上任取五点，证明：以这五个点之中每三点为顶点的十个三角形中，必有一个三角形的面积不大于，并且这个常数是最好的讲解：设所取的五点为，若其中有三点共线时，结论显然；若其中无三点共线，考虑五点的凸包：、若凸包为三角形，设为，另两点在形内，连，则点必在其中一个三角形内，不妨设在内，连，共得五个不重叠的三角形，其中必有一个三角形的面积不大于；、若凸包为四边形，点在形内，连，如图，共得四个互不重叠的三角形，其中必有一个三角
9、形的面积不大于；、若凸包为五边形；、当五边形为正五边形时，如图，这时，记，则，所以、对于一般的凸五边形，仍参考上图，我们先证明，十个线段比中，必有一个比值；反证法，假若以上比值全大于，改记，则，且，即；由，得，所以，于是，即 由，得，即，相乘得，即，所以 由得， ，用记号表示点到直线的距离，则式表明，据关于直线的对称性，同理可以证得，矛盾！不妨设，用表示五点每三点为顶点的十个三角形面积的最小值，因共线，所以，而，即，于是，所以这个常数是最好的，因为当凸图形为正五边形且五点为其顶点时，相应的三角形面积的最小值恰等于四、为实数，证明：存在不全为零的整数，使讲解：这是一个整点问题，所考虑的区域是一个
10、由所围的关于原点对称的凸域，通常的第一想法是借助Minkowski定理，从证明的面积来解决问题，但是从竞赛试题的意义上评判，命题人一般不会让了解这一定理的人轻易成功，要么计算上存在困难，要么即使的面积算出也是小于，事实上也是如此，转而考虑其它方法；从的数字特征来看，它可能与正三角形会有某种关联先证引理：若非钝角三角形的面积等于，则证：设，则边上的高，因为的面积为定值，故顶点只能在平行于的直线或上移动，其中直线与到直线的距离皆为；作等边三角形，则顶点在的中垂线上，自分别作与的垂线，得到矩形，由于是非钝角三角形，则点只能在线段或上移动，当移到中垂线上时，由于，所以，即，故而，即；回到本题：因，而，故同号，若，由于的判别式，这时对于所有，有；若，由，令，则，考察点，取，得；取，得，取，得，因为的面积，故由引理，而，据对称性，不妨设，则，即，从而是非钝角三角形，且即三式之中必有一个要成立，故得证-