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1、电大工程数学期末考试小抄1设都是n阶方阵，则下列命题正确的是(A )A 2向量组的秩是（B ）B. 3 3元线性方程组有解的充分必要条件是（A）A. 4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）D. 9/255设是来自正态总体的样本，则（C ）是无偏估计 C. 6若是对称矩阵，则等式（B ）成立 B. 7（ D ）D. 8若（A）成立，则元线性方程组有唯一解A. 9. 若条件（C）成立，则随机事件，互为对立事件 C. 且10对来自正态总体（未知）的一个样本，记，则下列各式中（C）不是统计量 C. 11. 设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时
2、，乘积有意义B. 12. 向量组的极大线性无关组是（ A ）A13. 若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解 D1/2 14. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）.C.1/1215. 在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B ）B. 未知方差，检验均值16. 若都是n阶矩阵，则等式（B）成立 B. 17. 向量组的秩是（C ）C. 318. 设线性方程组有惟一解，则相应的齐次方程组（A ）A. 只有0解 19. 设为随机事件，下列等式成立的是（D）D. 1设为三阶可逆矩阵，且，则下式(B )成立 B 2下列命题正确的是（C ）C向量组,O的
3、秩至多是 3设，那么A的特征值是(D ) D-4，64矩阵A适合条件（ D ）时，它的秩为r DA中线性无关的列有且最多达r列 5下列命题中不正确的是（ D ）DA的特征向量的线性组合仍为A的特征向量6. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ B ） B1/18 7若事件与互斥，则下列等式中正确的是A 8. 若事件A，B满足，则A与B一定（A ） A不互斥 9设,是两个相互独立的事件，已知则（B ）B2/3 10设是来自正态总体的样本，则（B ）是统计量 B 1. 若，则（A）A.3 2. 已知2维向量组，则至多是（B）B 23. 设为阶矩阵，则下列等式成立的是（C） C. 4.
4、若满足（B），则与是相互独立 B. 5. 若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（D ）成立 D. 1设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A 2方程组相容的充分必要条件是()，其中， B3设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为 ( ) B0，6 4. 设A，B是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的 C. ，其中A，B互不相容5若随机变量X与Y相互独立，则方差=（ ）D 6设A是矩阵，是矩阵，且有意义，则是(B )矩阵 7若X1、X2是线性方程组AX=B的解，而是方程组AX = O的解，则（ ）是AX=B的解A 8设矩阵，则A的对应于特征值的一个特征向量=()C1，1,09. 下列事件
5、运算关系正确的是（ ）A10若随机变量，则随机变量（ N2.,3） ）D 11设是来自正态总体的样本，则（）是的无偏估计 C 12对给定的正态总体的一个样本，未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（ ）Bt分布 设，则（D）D. 6若，则（A） A. 1/2 乘积矩阵中元素C. 10 设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）B. 设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）D. 下列结论正确的是（A）A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵矩阵的伴随矩阵为（）C. 方阵可逆的充分必要条件是（B）B.设均为阶可逆矩阵，则（D）D. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A. 用消元法得的解为（C）
6、C. 线性方程组（B）B. 有唯一解 向量组的秩为（A）A. 3 设向量组为，则（B）是极大无关组B. 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）D. 秩秩若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）可能无解 以下结论正确的是（D）D. 齐次线性方程组一定有解若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 9设A，为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立是A+B的属于的特征向量10设，为阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似为两个事件，则（B）成立 B. 如果（C）成立，则事件与
7、互为对立事件 C. 且 10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D） D. 4. 对于事件，命题（C）是正确的 C. 如果对立，则对立某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D） D. 6.设随机变量，且，则参数与分别是（A） A. 6, 0.8 7.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A）A. 8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B） B. 9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（D）D. 10.设为随机变量，当（C）时，有 C. 设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量 A.
8、 设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1设均为3阶方阵，则-182设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得 ，则称l为的特征值 3设随机变量，则a =0.3 4设为随机变量，已知，此时27 5设是未知参数的一个无偏估计量，则有 6设均为3阶方阵，则87设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得，则称为相应于特征值l的特征向量 8若，则0.3 9如果随机变量的期望，那么2010不含未知参数的样本函数称为统计量11. 设均为3阶矩阵，且，则-812.设，213. 设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.14.
9、 设随机变量，则1515. 设是来自正态总体的一个样本，则16. 设是3阶矩阵，其中，则1217. 当=1 时，方程组有无穷多解18. 若，则0.219. 若连续型随机变量的密度函数的是，则2/320. 若参数的估计量满足，则称为的无偏估计 1行列式的元素的代数余子式的值为= -562已知矩阵满足，则与分别是 阶矩阵3设均为二阶可逆矩阵，则AS4线性方程组 一般解的自由未知量的个数为 25设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量 6 设A，B为两个事件，若P（AB）= P（A）P（B），则称A与B 相互独立 0 1 2a 0.2 0.
10、57设随机变量的概率分布为则a =0.3 8设随机变量，则0.99设为随机变量，已知，那么8 10矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为，（百分数），设铜含量服从N（，），未知，在下，检验，则取统计量 1. 设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则2. 向量组线性相关，则.3. 已知，则4. 已知随机变量，那么5. 设是来自正态总体的一个样本，则1设，则的根是 2设向量可由向量组线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是 线性无关3若事件A，B满足，则 P（A - B）= 4设随机变量的概率密度函数为，则常数k =5若样本来自总体，且，则7设三阶矩阵的行列式，则=28若向量组：，能构成R3一个基，则数k
11、 9设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量10设互不相容，且，则0 11若随机变量X ，则 1/312设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的无偏估计 7 是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 54 矩阵 二阶矩阵 设，则 设均为3阶矩阵，且，则 72 设均为3阶矩阵，且，则 3 若为正交矩阵，则 0 矩阵的秩为 2 设是两个可逆矩阵，则当1时，齐次线性方程组有非零解向量组线性 相关 向量组的秩 设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关
12、的向量组的极大线性无关组是向量组的秩与矩阵的秩 相同 设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为 9若是的特征值，则是方程的根10若矩阵满足，则称为正交矩阵从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/52.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ， 0.3 3.为两个事件，且，则4. 已知，则5. 若事件相互独立，且，则6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 7.设随机变量，则的分布函数8.若，则 6 9.若，则10.称为二维随机变量的 协方差
13、 1统计量就是不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和最大似然估 两种方法3比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性 4设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量5假设检验中的显著性水平为事件（u为临界值）发生的概率 三、（每小题16分，共64分）A1设矩阵，且有，求解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2.设矩阵，求解：利用初等行变换得 即由矩阵乘法得 3.已知，其中，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法运算得4.设矩阵，是3阶单位矩阵，且有，求1. 解：由矩阵减法运算得利用初等行变换得即由矩
14、阵乘法运算得5设矩阵，求（1）；（2） （1）= （2）因为 =所以 = 6设矩阵，解矩阵方程 解：因为 ，得 所以 7设矩阵，求（1），（2）解1） （2）利用初等行变换得即 8 、9设矩阵，求：（1）；（2）解：（1）因为 所以 （2）因为 所以 10已知矩阵方程，其中，求解：因为，且 即 所以 11设向量组，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组 解：因为（ ）= 所以，r() = 3 它的一个极大线性无关组是 （或） 1设，求解： 13写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值： 14求矩阵的秩解 15用消元法解线性方程组方程组解为A2求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化
15、为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） 2.当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。7分此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数） 16分3.求线性方程组的全部解解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个
16、特解. 方程组相应的齐次方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系. 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数） 4.求线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时相应齐次方程组的一般解为 是自由未知量令，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）5设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解 因为 得一般解： （其是自由元） 令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 方程组的通解为：，其中是任意常数 6设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，解：因为
17、 A = 时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数 求出通解 7. 当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。8分此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为8.k为何值时，线性方程组9求齐次线性方程组 的通解 解： A= 一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =； x2 = 0，
18、x4 = 3，得X2 =所以原方程组的一个基础解系为 X1，X2 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数 10设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：当且时，方程组有唯一解当时，方程组有无穷多解11判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式其中 解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里方程组无解不能由向量线性表出12计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 解：该向量组线性相关 13求齐次线性方程组的一个基础解系解：方程组的一般解为令，得基础解系14求下列线性方程组的全部解解：方程组一般解为令，这里，为任意常数，得方程组通解A3设
19、，试求: (1)；(2)（已知）解：1 (2 2.设，试求：(1)；(2)（已知）解：(1) (23.设，求和.（其中,）解：设 =4.设，试求；（已知）解：5某射手射击一次命中靶心的概率是0.8，该射手连续射击5次，求：（1）命中靶心的概率； （2）至少4次命中靶心的概率解：射手连续射击5次，命中靶心的次数（1）设：“命中靶心”，则 （2）设：“至少4次命中靶心”，则6设是两个随机事件，已知，求：（1） ； （2） 解（1）= （2 7设随机变量X的密度函数为，求：(1) k； (2) E(X )，D(X)解：（1）因为 1= 3 k， 所以 k = (2) E(X) = E() = D(X
20、) = E() - = 8设随机变量X N（8，4）求 和(，)解：因为 X N（8，4），则 N（0，1） 所以 =0.383 = = .9. 设，试求；（已知）解： 10.假设A,B为两件事件，己知P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|)=0.4, 求P(A+B)解：P()=P()P(B|)=0.50.4=0.2P(AB)=P(B)P(B)=0.60.2=0.4P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7。11设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）解：（1）1= 11（）= 2（1）0.045 （2）1 1即k4 = -1.5， k2.512罐中有12颗围棋子，其
21、中8颗白子，4颗黑子若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率 解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1） （2）13设随机变量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常数a (，) 解：（1）P（1 X 7）= = = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因为 P（X 1.96 ，所以拒绝 11某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位
22、：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）解：由已知条件可求得： | T | 2.62 接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化。 四、证明题（本题6分）1设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知已知是对称矩阵，故有，即由此可知也是对称矩阵，证毕2设随机事件,相互独立，试证：也相互独立证明： 所以也相互独立证毕 3、设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即 证毕4设是线性无关的，证明, 也线性无关.证明：设有一组数，使得 成立，即，
23、由已知线性无关，故有该方程组只有零解，得，故是线性无关的证毕5设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵证明： 因为 ，即 所以，A为可逆矩阵 6.设,为随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知 7设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵证明： 因为 ，即 ； 所以，A为可逆矩阵8设向量组，若线性相关，证明线性相关证明：因为向量组线性相关，故存在一组不全为0的数，使成立于是存在不全为0的数，使9若证明：因为所以有即，10.设,是两个随机事件，试证：证明：由事件的关系可知而，故由加法公式和乘法公式可知证毕 11.设是同阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵证明：因12设是n阶矩阵，若= 0，则 证明
24、：因为 = = 所以 13设向量组线性无关，令，证明向量组线性无关。 证明：设，即 因为线性无关，所以 解得k1=0, k2=0, k3=0，从而线性无关 14对任意方阵，试证是对称矩阵证明： 是对称矩阵15若是阶方阵，且，试证或 证明： 是阶方阵，且或16若是正交矩阵，试证也是正交矩阵证明： 是正交矩阵 即是正交矩阵1试证：任一维向量都可由向量组，线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明：任一维向量可唯一表示为1试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设为含个未知量的线性方程组该方程组有解，即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解19设是可逆矩阵的特征值，且，试证：是矩阵的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使即是矩阵的特征值20用配方法将二次型化为标准型解：令，即则将二次型化为标准型9