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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date物理学教程(第二版)上册第五章课后习题答案详解ren物理学教程第二版第五章课后习题答案第五章机械振动5-1一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（）题5-图分析与解（B）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为A/2，且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意因而正确答案为（B）5
2、-2一简谐运动曲线如图（a）所示，则运动周期是（）(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s （D）2.00 s题5-图分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A/2，且向x轴正方向运动图（）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为-振动曲线上给出质点从A/2 处运动到x=0处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差，则角频率，周期.故选（B）5-3两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示， x1的相位比x2的相位（）（A）落后（B）超前（C）落后（D）超前分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b）即可得到答案为（B）题5 -图5-4两个同振动方向、同
3、频率、振幅均为A的简谐运动合成后，振幅仍为A，则这两个简谐运动的相位差为（）（A）60（B）90（C）120（D）180分析与解由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120时，合成后的简谐运动3的振幅仍为A.正确答案为（C）题5-4图5-5若简谐运动方程为，式中x的单位为m，t的单位为s.求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）时的位移、速度和加速度分析可采用比较法求解将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式作比较，即可求得各特征量运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入值后，即可求得结果解（1）将与比较后可得：振幅A0.10m，角频率，初相0.25，则
4、周期，频率（）时的位移、速度、加速度分别为5-6一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期分析要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力与位移间的关系，如果满足，则货轮作简谐运动通过即可求得振动周期证货轮处于平衡状态时图（a），浮力大小为F mg当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向，如图（b）所示则当货轮向下偏移x位移时，受合外力为其中为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为题5-6
5、图则货轮所受合外力为式中是一常数这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动由可得货轮运动的微分方程为令，可得其振动周期为5-7如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为、当物体在光滑斜面上振动时（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率题5-7图分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）为此，建立如图（b）所示的坐标设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力
6、与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率证设物体平衡时两弹簧伸长分别为、，则由物体受力平衡，有（1）按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸和，即则物体受力为（）将式（1）代入式（2）得（）由式（3）得、，而，则得到式中为常数，则物体作简谐运动，振动频率讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因（2）如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得
7、出其作简谐运动，且振动频率均为，读者可以一试通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的5-8一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A2.0 10-2 m，周期T0.50当t0 时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x-1.010-2m处，向负方向运动；（4）物体在x-1.010-2 m处，向正方向运动求以上各种情况的运动方程分析在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相是求解简谐运动方程的关键初相的确定通常有两种方法（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t 0 时，x x0和vv0来确定值（2）旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P在Ox轴上
8、振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用题5-8图解由题给条件知A2.0 10-2 m，而初相可采用分析中的两种不同方法来求解析法：根据简谐运动方程，当时有，当（1）时，则；（2）时，因，取；（3）时，由，取；（4）时，由，取旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为，振幅A、角频率、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1）（2）（3）（4）5-9有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8 10-2 m若使物体上、下振动，且规定向下为正方向（1）当t0 时，物体在平衡位置上
9、方8.0 10-2处，由静止开始向下运动，求运动方程（2）当t时，物体在平衡位置并以0.6s-1的速度向上运动，求运动方程分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、和其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即，k可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相需要根据初始条件确定题5-9图解物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即Fmg而此时弹簧的伸长量l9.8 10-2m则弹簧的劲度系数kFlmgl系统作简谐运动的角频率为（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向由初始条件t 0 时，x108.0 10-2 m、v100
10、 可得振幅；应用旋转矢量法可确定初相图（a）则运动方程为（2）t 时，x200、v200.6 s-1，同理可得；图（b）则运动方程为5-10某振动质点的x-t曲线如图（a）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P对应的相位；（3）到达点P相应位置所需的时间分析由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题本题就是要通过xt图线确定振动的三个特征量A、和，从而写出运动方程曲线最大幅值即为振幅A；而、通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便解（1）质点振动振幅A0.10 而由振动曲线可画出t00 和t14 时旋转矢量，如图（b）所示由图可见初相（或），而由得
11、，则运动方程为题5-10图（2）图（a）中点P的位置是质点从A2 处运动到正向的端点处对应的旋转矢量图如图（c）所示当初相取时，点P的相位为（如果初相取成，则点P 相应的相位应表示为（3）由旋转矢量图可得，则5-11质量为10 g的物体沿x的轴作简谐运动，振幅A=10 cm，周期T=4.0 s，t=0 时物体的位移为且物体朝x轴负方向运动，求（1）t=1.0 s时物体的位移；（2）t=1.0 s 时物体受的力；（3）t=0之后何时物体第一次到达x=5.0 cm处；（4）第二次和第一次经过x=5.0 cm处的时间间隔.分析根据题给条件可以先写出物体简谐运动方程.其中振幅A，角频率均已知，而初相可
12、由题给初始条件利用旋转矢量法方便求出. 有了运动方程，t时刻位移x和t时刻物体受力也就可以求出. 对于（3）、（4）两问均可通过作旋转矢量图并根据公式很方便求解.解由题给条件画出t=0时该简谐运动的旋转矢量图如图（a）所示，可知初相.而A=0.10 m，.则简谐运动方程为(1)t=1.0 s 时物体的位移（2）t=1.0 s时物体受力（3）设t=0时刻后，物体第一次到达x=5.0 cm处的时刻为t，画出t=0和t=t时刻的旋转矢量图，如图（b）所示，由图可知，A与A的相位差为，由得（4）设t=0时刻后，物体第二次到达x=5.0 cm处的时刻为t,画出t=t和t= t时刻的旋转矢量图，如图（c）
13、所示，由图可知，A与A的相位差为，故有题 5-11 图5-12图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程分析根据v-t图可知速度的最大值vmax，由vmaxA可求出角频率，进而可求出周期T和加速度的最大值amaxA2在要求的简谐运动方程xAcos（t）中，因为A和已得出，故只要求初相位即可由vt曲线图可以知道，当t0 时，质点运动速度v0vmax/2 A/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x轴正向向着平衡点运动利用v0Asin就可求出解（1）由得，则（2）（3）从分析中已知，即因为质点沿x轴正向向平衡位置运动，
14、则取，其旋转矢量图如图（b）所示则运动方程为题5-12图5-13有一单摆，长为1.0m，最大摆角为5，如图所示（1）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3）摆角为3时的角速度和摆球的线速度各为多少？题5-13图分析单摆在摆角较小时（5）的摆动，其角量与时间的关系可表示为简谐运动方程，其中角频率仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长）决定，即初相与摆角，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分解（1）单摆角频率及周期分别为（2）由时可得振动初相，则以角量表示的简谐运动方程为（）摆角为3时，有，则这时质点的角速度为线速度的大小为讨论
15、质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别这是因为在导出简谐运动方程时曾取，所以，单摆的简谐运动方程仅在较小时成立*5-14一飞轮质量为12kg，内缘半径r0.6，如图所示为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s，试求其绕质心轴的转动惯量题5-14图分析飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离，其以刃口为转轴的转动惯量即可求得再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量解由复摆振动周期，可得（这里）则由平行轴定理得5-15如图（a）所示，质量为1.0 10-
16、2kg的子弹，以500ms-1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg，弹簧的劲度系数为8.0 103 Nm-1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程题5-15图分析可分为两个过程讨论首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v0，即振动的初速度随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动它的角频率由振子质量m1m2和弹簧的劲度系数k确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v0和初位移x0）求得初相位仍可用旋转矢量法求解振动系统的角频率为由动量守恒定律得振
17、动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v0为又因初始位移x00，则振动系统的振幅为图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位，则简谐运动方程为5-16如图（a）所示，一劲度系数为k的轻弹簧，其下挂有一质量为m1的空盘现有一质量为m2的物体从盘上方高为h处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？题5-16图分析原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m1变为m1 + m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变由于，因此，确定初始速度v0和初始位移x0是求解振幅A的关键物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒
18、定律可确定盘与物体的共同初速度v0，这也是该振动系统的初始速度在确定初始时刻的位移x0时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置因此，本题中初始位移x0，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移解（1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为可见TT，即振动周期变大了（2）如图（b）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即式中为空盘静止时弹簧的伸长量，l2为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度式中是物体由h 高下落至盘时的速度故系统
19、振动的振幅为本题也可用机械能守恒定律求振幅A5-17质量为0.10kg的物体，以振幅1.010-2 m作简谐运动，其最大加速度为4.0 s-1求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？分析在简谐运动过程中，物体的最大加速度，由此可确定振动的周期T另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量EkA2/2当动能与势能相等时，EkEPkA2/4因而可求解本题解（1）由分析可得振动周期（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能
20、等于总能量，即（3）设振子在位移x0处动能与势能相等，则有得（）物体位移的大小为振幅的一半（即）时的势能为则动能为5-18一劲度系数k=312 的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为的物体，两物体间的最大静摩擦系数.求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量.分析简谐运动系统的振动能量为.因此只要求出两物体间无相对滑动条件下，该系统的最大振幅即可求出系统振动的最大能量.因为两物体间无相对滑动，故可将它们视为一个整体，则根据简谐运动频率公式可得其振动角频率为.然后以物体m为研究对象，它和m一起作简谐运动所需的回复力是由两物体间静摩擦力来提供的.而其运动中所
21、需最大静摩擦力应对应其运动中具有最大加速度时，即，由此可求出.解根据分析，振动的角频率由得则最大能量5-19已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为；求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动，则为多少时，x1x3的振幅最大？又为多少时，x2x3的振幅最小？题5-19图分析可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅，其大小与两个分振动的初相差相关而合振动的初相位解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）因为，故合振动振幅为合振动初相位（2）要使x1x3振幅最大，即两振动同相，则
22、由得要使x1x3的振幅最小，即两振动反相，则由得5-20两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x1和x2；（2）在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程分析振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程解（1）由振动曲线可知，A0.1 ，T2，则2T-1曲线1表示质点初始时刻在x0 处且向x轴正向运动，因此12；曲线2 表示质点初始时刻在xA /2 处且向x轴负向运动，因此23它们的旋转矢量图如图（b）所示则
23、两振动的运动方程分别为和（2）由图（b）可知振动2超前振动1 的相位为56（3）其中则合振动的运动方程为题5-20 图5-21将频率为348 Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz若在待测频率音叉的一端加上一小块物体，则拍频数将减少，求待测音叉的固有频率分析这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法在频率u1和拍频数u|u2u1|已知的情况下，待测频率u2可取两个值，即u2u1 u式中u前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的情况来决定解根据分析可知，待测频率的可能值为u2u1 u（348 3） Hz因振动系统的固有频率，即质量m增加时，频率u减小从题意知，当待测音叉质量增加时拍频减少，即u2u1变小因此，在满足u2与u均变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率为u2u1u351 Hz*5-22图示为测量液体阻尼系数的装置简图，将一质量为m的物体挂在轻弹簧上，在空气中测得振动的频率为u1，置于液体中测得的频率为u2，求此系统的阻尼系数题5-22图分析在阻尼不太大的情况下，阻尼振动的角频率与无阻尼时系统的固有角频率0及阻尼系数有关系式因此根据题中测得的u1和u2（即已知0、），就可求出解物体在空气和液体中的角频率为和，得阻尼系数为-