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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date线性代数B期末试卷及答案20 - 20 学年第 学期 试卷2008 2009学年第二学期线性代数B试卷 2009年6月22日 一二三四五六总分得 分 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设，则.2. 为阶方阵,且 .3设方阵 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 .4. 设向量组线性无关，向量b不能由它们线性表示，则向量组b 的秩为 .5设A为实对称阵
2、，且|A|0，则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x= 设的两组基为，；T，则由基到基的过渡矩阵为 . 得 分 二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设Dn为n阶行列式，则Dn0的必要条件是 .(A) Dn中有两行元素对应成比例；(B) Dn中各行元素之和为零； (C) Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组a，b，g 线性无关，a，b，s 线性相关，则 .(A) a必可由b，g，s 线性表示；(B) b必可由a，g，s 线性表示；(C) s必可由b，g，a 线性表示；(D) g必可由b，a，s 线性表示.
3、设3阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP .(A)； (B) ； (C) ； (D) 设1，2，3线性无关，则下列向量组线性相关的是 .(A)1，2，3 - 1； (B)1，1+2，1+3；(C)1+2，2+3，3+1； (D)1-2，2-3，3-1.若矩阵A34有一个3阶子式不为0，则A的秩() = . (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 实二次型fxTAx为正定的充分必要条件是 . (A) A的特征值全大于零； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| 0 ； (D) R(A) = n .得 分 三、解答
4、题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求的值. 求向量组,的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.设A、P均为3阶矩阵，且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ4设是阶实对称矩阵，若，求.5.设矩阵相似于对角矩阵L，求a.得 分 四、（本题满分10分）对线性方程组(1) 若两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若, (b0)，且已知方程的两个解, ，试给出方程组的通解得 分 五、（本题满分8分）设二次曲面方程（）经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q.得 分 六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，为A的对应于实特征值的特征向量，为AT的对应于实特征值的
5、特征向量，且，证明与正交2008 2009学年第二学期线性代数B试卷参考答案 2009年6月22日 一二三四五六总分得 分 一、填空题（共6小题，每小题 3 分，满分18分）1. 设，则2.2. 为阶方阵,且 0 .3设方阵 B为三阶非零矩阵，且AB=O，则 -3 .4. 设向量组线性无关，向量b不能由它们线性表示，则向量组b 的秩为 m+1.5设A为实对称阵，且|A|0，则二次型f =x TA x化为f =yTA-1 y的线性变换是x=_ 设的两组基为，；,，则由基到基的过渡矩阵P=得 分 二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1. 设为n阶行列式，则0的必要条件是D.(A) 中
6、有两行元素对应成比例；(B) 中各行元素之和为零； (C)中有一行元素全为零；(D)以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组a，b，g 线性无关，a，b，s 线性相关，则 C .(A) a必可由b，g，s 线性表示. (B) b必可由a，g，s 线性表示. (C) s必可由b，g，a 线性表示. (D) g必可由b，a，s 线性表示.设3阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP B .(A)； (B) ； (C) ；(D) 设1，2，3线性无关，则下列向量组线性相关的是 D （A）1，2，3 - 1； （B）1，1+2，1+3
7、；（C）1+2，2+3，3+1； （D）1-2，2-3，3-1.若矩阵有一个3阶子式不为0，则 C . （A）()=1； （B） ()=2； （C） ()=3；（D） ()=4 实二次型fxAx为正定的充分必要条件是 A (A) A的特征值全大于零； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| 0 ； (D) R(A) = n.得 分 三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求的值解：. 求向量组,的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组， ，.设A、P均为3阶矩阵，且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ解：由于Q=(1+2,2,3
8、)= (1,2,3) 于是QTAQ=4设是阶实对称矩阵，若，求.解: 由知, 的特征值-2或0,又,且是阶实对称矩阵,则(k个-2)，故5.设矩阵相似于对角矩阵L，求a.解： 由|A-E|=0，得A的三个特征值1=2=6，3= -2.由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即，显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量得 分 四、（本题满分10分）对线性方程组(1) 若两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若, (b0)，且已知方程的两个解, ，试给出方程组的通解解：（1）因为，故，无解（2），故通解得 分 五、（本题满分8分）设二次曲面的方程）经正
9、交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q.解：设，由知当时，当时，得 分 故正交阵.六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，为A的对应于实特征值的特征向量，为AT的对应于实特征值的特征向量，且，证明与正交证 ：依题意得A=， AT=，将A=的两边转置得，TAT =T，在上式的两边右乘得，TAT =T，即T=T，亦即（-）T=0，由于，所以T=0，故与正交庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不
10、得不向生命挥手作别。我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。我们需要呈现
11、最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。人生是一场跋涉，也是一场选择。我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。没有淌不过去的河，就看我们如何摆渡。没有爬不过去的山，就看我们何时启程。德国哲学家尼采说：“每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。”让我们打开朝着晨光的那扇窗，迎阳光进来，在每一个日出东海的日子，无论是鲜衣怒马少年时，还是宠辱不惊中年时，都活出自己的明媚和精彩。时间会带来惊喜，只要我们不忘记为什么出发，不忘记以梦为马，岁月一定会对我们和颜悦色，前方也一定会有意想不到的惊喜。人生忽如寄，生活多苦辛。短暂的生命旅程，别辜负时光，别辜负自己。愿我们每一个人自律、阳光、勤奋，活成自己喜欢的模样，活成一束光，-