第三章：整式及其加减(讲义).doc

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1、第三章：整式及其加减3.1字母表示数1字母表示数的意义(1)意义用字母可以表示问题中的数或数量关系字母可以表示任何数，如a可以表示正数，可以表示负数，也可以表示0；问题中的数量关系可以用含有字母的式子表示(2)用字母表示数的特点：一般性：用字母表示数更能反映数字或事物的一般性限制性：字母的取值应使具体式子有意义且符合实际情况(3)字母表示数时应注意的问题：同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含义不同数与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号一般写成“”或者省略不写，数字放在字母的前面用字母表示几个数的和差，并且后面有单位时，要把和差用括号括起来【

2、例1】填空：(1)香蕉每千克售价3元，m千克售价_元；(2)温度由5 上升t 后是_；(3)每台电脑售价x元，降价10%后每台售价为_元；(4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为_2用字母表示运算律和公式(1)用字母表示运算律如果用a，b，c分别表示有理数，那么加法交换律可以表示成：abba；加法结合律可以表示成：(ab)ca(bc)；乘法交换律可以表示成：abba；乘法结合律可以表示成：(ab)ca(bc)；乘法分配律可以表示成：a(bc)abac.(2)字母表示公式在行程问题中，路程时间速度如果用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么这个公式就可写成：svt.如果用a表示长方形的

3、长，b表示长方形的宽，S表示长方形的面积，l表示长方形的周长，那么S ab，l2(ab)如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，l表示圆的周长，那么Sr2，l2r.如果用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，用S表示三角形的面积，那么三角形的面积公式 可以表示为Sah.【例2】 (1)若长方形的长为5 cm，宽为3 cm，则周长为_ cm，面积为_ cm2；若长方形的长为a cm，宽为3 cm，则周长为_cm，面积为_cm2；若长方形的长为a cm，宽为b cm，则周长为_cm，面积为_cm2.(2)甲、乙两地相距s千米，某人从甲地到乙地步行要t时，现要求他提前15分到，此人步行的速度为_千米/

4、时；(3)一圆半径为a cm，将圆半径增加5 cm后，圆的周长是_cm，圆的面积是_cm2.3用字母表示数学规律(1)数字规律一组数字或等式有一定的规律时，可以用字母来表示数字：比如偶数、奇数的表示偶数：能被2整除的整数叫做偶数，如0，2，4，6，.如果用k表示任意一个整数，那么2k就表示偶数奇数：不能被2整除的整数叫做奇数，如1，3，5，7，.如果用k表示任意一个整数，那么2k1或2k1就表示奇数等式：具有一定规律的计算等式(2)图形规律图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁用字母表示图形中的规律的方法及步骤：根据题目中提供的图形分析其中蕴含的规律；用字母列出式子用字母

5、表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的；规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律【例31】 已知a0，S12a，S2，S3，S2 013，则S2 013_.(用含a的式子 表示)【例32】 将一些小圆点按如图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，依此规律，第6个图形中有_个小圆点，第n个图形中有_个小圆点4用字母表示数的应用(1)表示实际问题中的数量关系用字母表示数，关键是找出问题中的数量关系或公式，如上升，下降，多

6、于，大于，几倍，单价数量总价，三角形的面积底高等(2)表示图形的面积、体积可以用字母表示平面图形的面积和立体图形的体积或表面积，要根据各个图形的计算公式来表示常见平面图形的计算公式：长方形的周长2(长宽)，长方形的面积长宽；正方形的周长边长4，正方形的面积边长2.常见的几何体的计算公式：长方体的体积长宽高；正方体的体积棱长棱长棱长，即棱长3；长方体的表面积2(长宽长高宽高)；正方体的表面积6棱长2.【例41】 (1)某种糖每千克10元，小红妈妈买了3千克，共花了多少元？ (2)某种糖每千克a元，小红妈妈买了b千克，共花了多少元？【例42】 如图，把一个长、宽分别是a，b的长方形纸板在四角各剪去

7、一个边长为c的正方形(ab2c)，再做成一个无盖的长方体盒子，用字母表示它的体积和表面积3.2代数式1代数式的概念(1)定义用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式单独一个数或一个字母也是代数式注意：运算符号指加、减、乘、除、乘方等(2)代数式的判断判断一个式子是不是代数式：看它是否符合代数式的定义；代数式中不能含有“”，“”，“”，“”，“”，“”等关系符号【例1】下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式： (1)ab5；(2)5a3y；(3)2；(4)n；(5)2(ab)7；(6)；(7)276；(8)23；(9)x53.2代数式的书写规则(1)含有乘法运算的代数式的书写规则字母与字母

8、相乘，乘号一般省略不写，字母的排列顺序一般按字母表的顺序如ab写成ab.数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，而且当数是带分数时一定要化 为假分数如a8要写成8a，不要写为a8；5m要写为m，不要写成5m. 切记，数字与数字相乘，不能省略乘号，如65不能写成65.带括号的式子与字母的地位相同如a(b3)可以写为a(b3)，也可以写成(b3)a；(m1)2可 写为2(m1)，但不要写成(m1)2.(2)含有除法运算的代数式的书写规则当代数式中含有除法运算时，一般不用“”号，而改用分数线如x与y的商一般写为，而不写成xy；因为分数线具有括号的作用，所以分数线又称括线如m与n的

9、和除以2的商可以列为，而不要列为.(3)含有单位名称的代数式的书写规则若代数式是和或差的形式，如需注明单位，则必须用括号把整个式子括起来后再写单位，如甲的身 高为x cm，乙比甲矮6 cm，那么乙的身高应写成(x6) cm，而不能写成x6 cm.若代数式是积或商的形式，则无需加括号，直接在代数式后面写出单位即可如10p千米，千 克等【例2】下列各式中符合代数式书写要求的个数为( )5x2y y3 ab2 A4 B3 C2 D13代数式的值(1)代数式的值一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值(2)字母的取值代数式中的字母取值必须使这个代数式有意

10、义如在代数式中，x不能取3，因为当x3时， 分母x30，代数式无意义实际问题中，字母的取值要符合题意如当x表示人数时，x不能取负数和分数【例3】下列代数式中，a不能取0的是( )A.a B.C. D2ab4代数式求值的步骤(1)步骤：第一步：代入，用具体数值代替代数式里的字母；第二步：计算，按照代数式中指明的运算，计算出结果(2)注意事项：一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值去代替；如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替时要添上乘号，代入负数和分数时要加括号；代入时，不能改变原式中的运算符号及数字；运算时，要注意运算顺序，即先算平方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的【例4

11、】 已知x，y3，求代数式2x2y4x2y10x2y的值5代数式的读法及意义(1)代数式的读法代数式的读法一般有两种：按运算关系来读，如x5读作“x加5”；按运算的结果来读，如x5读作“x与5的和”谈重点 代数式的读法对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看成一个整体按运算结果来读；对于含有分数的代数式，要把分子与分母分别看成一个整体按运算结果来读(2)代数式的意义代数式的意义包括三种：运算中的意义：几个字母加、减、乘、除、乘方等运算的结果实际意义：表示实际问题中的数量关系几何意义：主要从图形的面积、周长和体积考虑【例51】对于代数2x3y，下列读法不正确的有( )A2x减去3yB2x与3y

12、的差Cx的2倍减去y的3倍的差D2乘x减去3乘y【例52】举例说明下列代数式的意义：(1)4a2可以解释为_；(2)x(15%)可以解释为_6.代数式求值的方法求代数式的值常用的方法有：直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算(1)直接代入计算当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法(2)整体代入计算已知一个含有字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的方法整体代入步骤：对已知代数式或所求代数式进行适当变形；整体代入求值点技巧 运用整体思想求代数式的值运用整体思想求代数式的值就是将一个代数式(的值)作为一个整体代入到欲求值的代数式中，从而求出代数式的值

13、的方法解答此类问题时，要从整体上分析已知代数式与欲求值的代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解决问题的方法(3)按指定的程序代入计算按指定的程序代入计算，即数值转换机给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可【例61】 已知xy2 013，xy2 012，求xy2(xy)的值【例62】 按如图所示的程序计算，若开始输入的数为x3，则最后输出的结果是( )A6 B21 C156 D2317代数式求值的应用代数式求值的应用主要有两类：(1)根据代数式的值推断规律根据字母取值的不同，判断一个代数式的值的变化规律，其步骤是：将某一范围内的数值代入指定的代数式求值；观察代数

14、式的值的变化，得出规律(2)解决实际问题利用代数式的值解决实际问题的一般步骤：认真观察问题中的不变量与变化量之间的关系；用代数式表示其中的数量关系，即列代数式；将提供的数据代入所求出的代数式计算求值【例7】 (1)填表：x0.112101001 00010 000(2)当x的值逐渐变大时，推断的值的变化规律3.3整式1. 单项式及有关概念（1）单项式的定义 像等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式。表示数与字母的积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。（2）单项式的系数 一个单项式中数字因数（包括前面的符号）叫做这个单项式的系数。（3）单项式的次数 一个单项式中所有字母的

15、指数的和角这个单项式的次数。延伸拓展 （1）单项式中数与字母是乘积的关系，凡是字母出现在分母中的式子一定不是单项式。如是单项式，可以看做与的乘积；而却不是单项式。整体上是和的形式的代数式也不是单项式，如。 （2）单项式定义中的“数”可以是任意形式的数，可以是小数、分数、整数； （3）单独一个数或字母也是单项式，如都是单项式； （4）单项式的系数应从以下几方面理解： 单项式的系数包括它前面的符号，如的系数是而不是； 单项式只含有字母因数的，它的系数是1或者，书写单项式时，系数1通常不写。如的系数是1而不能误以为是0； 的系数是； 是常数，在单项式中相当于数字因数，因此要作为系数。如的系数是，而不

16、能误以为是； 单项式的系数是带分数的，通常写成假分数，如不能写成；（5）理解单项式的次数要注意以下几点： 单项式次数仅与所含字母的指数有关，如的次数是，与的指数无关； 单项式中某个字母没有写指数，则它的指数为1，如的指数是1而不是0；【例1-1】指出下列代数式中的单项式，并说出单项式的系数和次数。；。【例1-2】已知是关于的五次单项式，求的值。辩误区：当单项式的系数和次数中含有同一个字母时，要注意其取值范围。2. 多项式及有关概念（1）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。（2）多项式的项及项数 多项式中每一个单项式叫做多项式的项。多项式中所含单项式的个数叫做这个多项式的项数，其中不含字母的

17、项叫做常数项。（3）多项式的次数 一个多项式中，次数最高的单项式的次数叫做这个多项式的次数。延伸拓展 （1）多项式中的每一项都必须是单项式，确定多项式的项数时，可以根据多项式中的“”“”号来区分；要注意项的符号不能丢掉。如的各项分别是； （2）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高项的次数； （3）多项式一般称为“次项式”，其中为多项式的次数，为多项式的项数。如多项式可以称为二次三项式； （4）当一个多项式中各项的次数都相同时，我们称这个多项式为“齐次式”。如是2次多项式，又称二次齐次式。【例2】多项式的最高次项是 ，是 次 项式。3. 整式的概念 单项式和多项式统称为整式。（1）整式

18、的判断 判断一个式子是否是整式，只需要看它是否为单项式或者多项式。（2）整式与代数式的区别 代数式包含整式，整式只是代数式的一部分。整式只包含单项式和多项式，而只要是由运算符号把数字与字母连接起来的式子都叫代数式。如是代数式，不是整式。【例3】下列代数式，其中整式有 4. 单项式与多项式次数的运用 根据单项式与多项式次数，求与指数有关的字母的取值。【例4-1】已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值。【例4-2】已知为四次单项式，为三次多项式，求的值。【例4-3】如果为三次二项式，求的值。5. 多项式的排列 将一个多项式按照某一个字母的指数从小到大（或从大到小）的顺序排列，就

19、叫做对这个多项式按照这个字母的升幂（降幂）排列。如把多项式按的降幂排列应为。【例5-1】把多项式按的降幂排列是 【例5-2】把多项式重新排列： （1）按的降幂排列；（2）按的升幂排列3.4整式的加减1同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项谈重点 同类项的理解“两个相同”：所含字母相同；相同字母的指数也相同“两个无关”：同类项只与项中的字母有关，与系数无关；同类项与项中字母的排列顺序无关“一个特别”：特别地，几个常数项也是同类项如5与8是同类项为便于记忆，我们将其总结为：“同类项、同类项，两个条件不能忘，字母要相同，指数要一样”【例1】 下列各组代数式中，属于同类项的

20、有( )组0.5a2b3与0.5a3b2；xy与xz；mn与0.3mn；xy2与xy2；3与6.A5 B4C3 D12合并同类项及法则(1)合并同类项把同类项合并成一项叫做合并同类项如：2aa中，2a与a是同类项可以合并为a.(2)合并同类项的法则把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变如：2xy3xy(23)xy5xy.谈重点 合并同类项合并同类项时，只把同类项的系数相加，字母及其指数都不变为便于记忆，我们将其总结为：“合并同类项，法则不能忘；只求系数和，字母、指数不变样”【例2】 下列合并同类项，正确的是( )A3a2b5ab B7ab7ba0 C3x22x35x5D4x2y5y2xxy3

21、去括号法则法则：括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变谈重点 去括号的技巧去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；要注意括号前的符号，它是去括号后括号内各项是否变号的依据；要注意括号前面是“”号时，不管括号前是否有系数，去掉括号后，括号内的各项都要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余项的符号；当括号里的第一项是省略“”号的正数时，去掉括号和它前面的“”号后要补上原先省略的“”号；括号内原有几项，去括号后仍有几项，不能丢项去括号口诀：去括号，看符号；是“”号，不

22、变号；是“”号，全变号【例3】 下列去括号正确的是( )A3a(2bc)3a2bcB3a(2bc)3a2bcC3a(2bc)3a2bcD3a(2bc)3a2bc4根据同类项的概念求字母的值同类项具备两个条件：含有相同的字母；相同字母的指数相同根据上面的条件可以求出同类项中字母的指数其方法是：找出同类项中的相同字母；根据相同字母的指数相同列出等式；求出字母指数【例4】 若25a4bn与5mamb3是同类项，则m_，n_.5.合并同类项的步骤(1)合并同类项的依据是逆用乘法分配律，根据合并同类项的法则进行合并(2)合并同类项的一般步骤可以简单归纳为：找移并找：找出多项式中的同类项；移：将多项式中的

23、同类项通过移动位置，将同类项集中在一起；并：将系数相加，完成合并同类项辨误区 合并同类项的注意事项(1)只有同类项才能合并，合并时应注意不要漏项(2)多项式中含有两种以上的同类项时，为防止漏项或混淆，可先在各项的下边用不同的记号标示出各种同类项，然后再分别进行合并【例5】 合并同类项：(1)2x27x3x4x2；(2)3a22a1a25a7；(3)4(ab)5(ab)6(ab)7(ab)6.去括号的技巧 当代数式中含有多重括号时，即有大括号、中括号、小括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号，主要有以下几种方法：按常规顺序去括号，先去小括号，再去大括号改变常规先去大括号，再去小

24、括号先局部合并再去括号 大小括号同时去掉先整体合并再去括号 运用乘法分配律去括号若代数式括号前有系数，可先进行乘法分配律，再去括号；也可以用乘法分配律直接将括号前面的系数乘以括号内的各项【例6】 计算：4xy23x2y3x2yxy22xy24x2y(x2y2xy2)分析：看清题，去多重括号可以由内向外逐层进行，也可以由外向内逐层进行，如果去括号法则掌握得较熟练，也可以内外同时去括号解：方法一：(由内向外逐层去括号)原式4xy23x2y3x2yxy2(2xy24x2yx2y2xy2)4xy23x2y(3x2yxy22xy24x2yx2y2xy2)4xy23x2y(6x2yxy2)4xy23x2y

25、6x2yxy23xy29x2y.方法二：(由外向内去括号)原式4xy23x2y3x2yxy22xy24x2y(x2y2xy2)3xy26x2y2xy24x2y(x2y2xy2)5xy210x2yx2y2xy23xy29x2y.方法三：(内外同时去括号)原式4xy23x2y3x2yxy2(2xy24x2yx2y2xy2)3xy26x2y3x2y3xy29x2y.7去括号的应用以下几种应用中都会用到去括号：(1)代数式化简及求值化简有括号的代数式或求代数式的值时，要用到去括号法则解决此类题的一般步骤：去括号：按照去括号法则进行去括号；合并同类项：将代数式中的同类项合并，化简代数式；代入计算：用具体

26、的数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算出结果(2)实际问题中的去括号在列代数式表示实际问题中的数量关系时，有时会用到括号，因此，实际问题的解决中也会用到去括号法则解决时主要的步骤：认真审题，根据题意列出表示问题中数量关系的代数式；去括号，合并同类项，化简代数式；写出答案【例7】 数学课上，李老师给同学们出了一道整式的化简求值的练习题：(xyz27xy2)(3xyxyz25)(2xyz24xy)李老师看着题目对同学们说：“大家任意给出x，y，z的一组值，我能马上说出答案”同学们不相信，小刚同学立刻站起来，但他刚说完“x2 013，y，z”后，李老师就说出了答案是7.同学们都感到不可

27、思议，计算速度也太快了吧，何况是这么复杂的一组数值呢！但李老师却信心十足地说：“这个答案准确无误”同学们，你知道李老师为什么算得这么快吗？3.5探索与表达规律1规律探索 规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想 探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性探索规律问题，

28、要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果【例1】 观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为_，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为_2探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：(2)新运算的规律新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序 (3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式要从不

29、同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律【例21】 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)(1)0，(2)1，(3)2，(4)3，(2)2，3，4，5，利用上面的规律计算：(2 012)【例22】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1816248n(n是正整数)的结果为( )A(2n1)2 B(2n1)2C(n2)2 Dn23探索规律的应用 常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索横行：相邻两数相差1.如左下图所示：竖列：相邻两数相差7.如

30、右上图所示斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.日历中的33方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a8)(a7)(a6)(a1)a(a1)(a6)(a7)(a8)9a，正好是中间数a的9倍(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数折叠次数：1,2,3,4,5，n.层数：2,4,8,16,32，2n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，2n1.【例31】 2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月_日，除夕：2月_日【例32】 将连续的偶数2,4,6,8，排列成如右图所示的数表(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和【例33】 如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有_条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成_个小长方形