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1、精品文档 仅供参考 学习与交流初中数学论文：由一道九年级数学期末抽测题所想【精品文档】第 19 页初中数学论文反射三角形探究由一道九年级数学期末抽测题所想摘要在试题分析时，如何让学生了解试题命题者的意图、试题的导向功能，对我们进行数学教学特别是九年级的数学复习至关重要如果试题分析仅仅关注学生的解答结果，就不能很好地让学生领会试题所蕴含的思想方法和思维含量，也就没能很好地唤醒学生的知识内容，也就不能体现学生在解题过程中的个性张扬所以在试题分析和复习教学中，应让学生通过自己的思考理解知识之间的相互联系，构建知识网络关键词 反射三角形探究思考有效的试题分析对于提高学生的答题能力、答题技巧、明晰答题思
2、路有着重要的作用，对于学生了解命题者的意图和试题的背景是提高学习效率、复习效率的一种有效途径，也是让学生如何运用基本知识、基本技能、基本思想方法及基本活动经验解决问题的重要途径；同时通过试题分析，使学生在思维能力、情感态度与价值观等方面得到可持续发展如果我们平时的试题分析就题论题，仅仅关注学生的解答是否正确，就不能很好地让学生体会试题所蕴含的思想方法和思维方法、结论的得出、方法的归纳、思维的提炼，就没能充分有效地唤醒学生已有的知识，就失去了试题的测试功能，学生也就失去了在数学学习过程中发展能力、体现个性的机会笔者现就我市2012学年第一学期期末质量抽测九年级数学卷的第21题，谈谈对本题的再探究
3、1试题再现如图，点D、E、F分别在ABC的边AB、BC、CA上，如果12，34，56，则称DEF为ABC的反射三角形（1）如图1，等边三角形ABC的三边的中点分别是D、E、F，请判断DEF是不是ABC的反射三角形；答：（直接填写“是”或“不是”）（2）如图2，点A、B、C分别在DEF的三边上，I是DEF内一点，且IADF，IBDE，ICEF，依次连结A，B，C三点，若I是ABC的内切圆求证：ABC是DEF的反射三角形；（3）判断下列三个命题是否正确（正确的打“”，错误的打“”）命题1：锐角三角形有反射三角形（）命题2：锐角三角形的反射三角形是锐角三角形（）命题3：钝角三角形没有反射三角形（）2
4、试题探究21命题意图的探究211考查试题类型探究从最近几年的台州市中考数学试题以及全国各地的中考数学试题看，出现了很多的新概念型（新学习型）的题目所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中的概念是初中数学中学生没有学过的一些概念、新运算、新符号它要求同学通过自主阅读、自主操作等方式进行即时地学习，然后结合已有知识、能力进行理解，根据“新概念”进行运算、推理、迁移的一种题型总之，这些题目对数学感知、数学表征、数学抽象概括、数学推理计算等数学认知水平进行了全面的考查例如台州市数学中考中2009年的第23题、2010年的第22题、2011年的15、23两题、2012年的16、24两题（见附题）212考查
5、知识内容探究本题主要考查的知识内容有三角形的内角和定理、角平分线的意义、三角形内心的性质、垂线的性质、三角形中位线的性质等此题属于稍难题（难度系数0.80.5）213考查基本图形探究基本图形采用人教版九年级上册数学作业本2第25页【直线与圆的位置关系（三）】的第2题；214考查数学方法探究转化方法、类比猜想等22试题解答的探究由反射三角形的定义可知12，34，56，又13A180,25C180，46B180，ABC180，从而有123456360，135180，所以A56，类似地我们有：12B，34C，故有，同理有，因此为了很好地解决第（3）小题的三个判断题，我们在试题分析时可先增设如下几个小
6、题，第一：求证，类似地你可得出另外两个等式吗？第二：你能否证明DEF是锐角三角形从而突破了第（3）小题的难点，所以我们在试题分析时，应根据实际问题设计问题引导，铺设思维台阶，引导学生有效思考23试题拓展的探究231反射三角形的形状探究根据前面的分析有， ，如图30DEF180，0DFE180，0EDF1800A90，0A90，0A90ABC是锐角三角形，即只有锐角三角形才有反射三角形，直角三角形与钝角三角形都没有反射三角形同时有如下一些的结论：当锐角ABC是等腰三角形时，反射DEF是等腰三角形；当锐角ABC中有一个角等于45时，反射DEF是直角三角形当锐角ABC中每一个角都大于45且小于90时
7、，反射DEF是锐角三角形当锐角ABC中有一个角小于45时，反射DEF是钝角三角形232反射三角形的画法探究画法探究一：为了让学生能探究出锐角三角形的反射三角形的画法，结合图3教师可铺设如下几个问题进行探究：第一，求证：ADFACB第二，已知锐角ABC中，已知AB4，BC6，AC5，你能求出线段AF的长吗？事实上，在图3中，根据试题解答的探究过程得出1B，AAADFACB，ADABAFAC同理有BDBABEBC，CECBCFCA由得AB2AFACBEBC，由得CB2BEBCAC2AFACAC2CB2AFACBEBC得AB2AC2CB22AFAC，然后将AB4，BC6，AC5代入即得AF0.5这仅
8、说明点F是AC边上的一个定点，那么点F是怎样的一个特殊点呢？我们可由余弦定理得AB2AC2CB22ABACcosA，从而AF ABcosA，联想锐角三角函数的定义，学生会想到过点B作BGAC于G，则AGABcosA，从而可得点F与点G重合，进而可得反射三角形的三个顶点D、E、F应是锐角三角形的三条高的三个垂足，这样我们就得到了一个锐角三角形的反射三角形的画法以上是我们教师探究时的思维过程，但由于探究过程中涉及到余弦定理，不属于初中数学学习范围，那么有没有知识不超纲且能证明点D、E、F是锐角三角形三条高的三个垂足的方法呢？画法探究二：在图4中，同样根据试题解答的探究过程得出1ABC，DAFCAB
9、，ADFACB，如右图，连结BF、CD，则ACDABE，ACDABF，再连结AE，同理可得BAEBCD，CBFCAE，为了表述方便，我们不妨记ACDABF=x，BAEBCD=y，CBFCAE=z，然后根据ABC的内角和等于180得2x+2y+2z180，所以x+y+z=90，从而得AEBC，BFAC，CDAB，这样我们就得到反射三角形的三个顶点D、E、F是锐角三角形的三条高的三个垂足，从而解决了锐角三角形的反射三角形的画法画法探究三：考虑学生平时所积累的基本经验，在试题讲评时，可按如下的问题串对学生铺设思维台阶进行画法探究，以提高学生对该问题的参与度及数学感知能力如图5，已知BFAC于F，CD
10、AB于D（1）求证：ADAB=AFAC；（2）连结DF，BC，求证：ADFACB，AFDABC；（3）设CD与BF交于点I，连结AI并延长AI交BC于点E，则AE与BC有何位置关系？再连结ED、EF，由（1）与（2）你可得出哪些结论？从而解决了如何画一个锐角三角形的反射三角形的问题结合以上的画法探究，我们可进一步解答下面的问题：如图6，已知CD、AF、BE分别是钝角三角形的三条高，ACB是钝角，连结DE、EF、FD，求证：点C是DEF的内心根据反射三角形画法的探究过程中可得反射DEF的三边与原ABC三边之间有着如下的关系：DFBCcosA，DEACcosB，EFABcosC（如图3所示），所以
11、一个锐角三角形的反射三角形是唯一的233反射三角形的周长探究点D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA上的动点，如图3，我们不妨称DEF为ABC的滑动三角形，如果12，34，56，则称DEF为ABC的反射三角形，同时我们称点D、E、F分别为AB、BC、AC边上的反射点，则ABC的所有滑动三角形中反射三角形的周长最小且是一个定值事实上，如图7，设DEF是ABC的任意一个滑动三角形，作点F关于直线AB的对称点F1，连结EF1交AB于点D1，连结D1F、 DF、DF1，则DFDF1，D1FD1F1，D1是AB边上的反射点，此时DEF的周长D1EF的周长，由此可得当点D、E、F分别为AB、BC、AC
12、边上的反射点时，DEF是ABC的反射三角形且其周长是ABC所有滑动三角形中周长最小的一个其周长是BCcosAACcosBABcosC为一个定值3教学思考31试卷讲评的思考一堂试卷讲评课的结束，不能以试卷上试题评价的终结而结束，我们老师应利用学生的思维惯性，引导学生进一步进行反思和总结，深化扩大试卷的讲评效果，除了要求学生做好试题的订正和错题原因的分析和说明外，还要针对学生在考试中暴露出来的有代表性的共性问题，再精心设计一些相应的逆思路题或变式题让学生再练习、再提高同时对试题中出现的有些题目可进行深层次的挖掘和开发，共同探讨命题者的思路，可能变化的方向，让学生心中有数总之有效的试卷讲评能深化学生
13、对基础知识的理解，能澄清学生在某些知识面上的模糊认识，能发展学生的思维能力和综合运用知识解决实际问题的能力32教师解题的思考作为一名数学教师，在平时的教学过程中离不开解题，数学教师的解题过程就象音乐家每天的练声一样，需要不断、反复的练习，否则就会生疏，但更主要的是要做好解题研究，熟悉各种基本常规题型和各种解题策略、方法，以使自己在解题中做到化难为易，化繁为简，这是我们数学教师的一个追求和努力方向教师通过解题，才能融合各种资源，才能够在教学过程中做到精选习题和例题，才能够在分析试题时精心设计好为学生解决难题的脚手架，才能够让学生跳一跳能摘到果子，体验成功的乐趣 33课本作业本资源的思考中考作为与
14、学生升学息息相关的大型区域性考试，从中考数学试题的导向功能来看，命题者都会对区域内所使用的教材和作业给予高度关注，试题中的基础类题目，很多都是课本上的例题、习题经过适当的变化而来的；一些中、低档的综合解答题也是教材中的例题、习题经过交汇、融合而成；即使有些压轴题也不例外例如2012年台州市中考数学卷的第23题就是改编于教材中的习题；第24题它以“距离”这一几何概念为出发点，引进了两线段之间距离这一新概念，同时这一概念与两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离等概念交汇融合，使原本单薄的数学概念变得厚重、充实因此，在数学课堂教学中，用好课本资源，深化课本资源，有效地对例习题进行改编等
15、是提高课堂效率的重要保证在复习教学中，应让学生通过自己的思考理解知识之间的相互联系，构建知识网络同时作为数学教师，更要认真研究课程标准、考试说明和教材，只有教师自身真正触及数学问题的本质，才能引领学生深入理解问题；只有教师自己登高望远，才能使学生在浩瀚的题海中，举重若轻，才能“会当凌绝顶，一览众山小”参考文献1吴增生坚持标准关注本质引领教学J中学教研（数学），2013（1）45-472许雷波对数学教师解题研究的思考J中学数学研究，2013（2）6-83姜克安深化课本资源提高课堂效率J上海中学数学，2013（1-2）66-68下附浙江省台州市最近四年的数学中考试题中有关新概念型的题目：（第23题
16、）图3图2图4FEDCBAPGHJI附题1：（2009台州23）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，则点就是四边形的准内点BJIHGDCAP图1（1）如图2， 与的角平分线相交于点求证：点是四边形的准内点（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（ ）若是任意凸四边形的准内点，则或( )附题2：（2010台州22）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右
17、平移1个单位用实数加法表示为 3+（）=1 若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”；“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为 解决问题：（1）计算：3，1+1，2；1，2+3，1 （2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”3，1平移到A，再按照“平移量”1，2平移到B；若先把动点P按照“平移量”1，2平移到C，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置还是点B吗? 在图1中画出四边形OABC.证明四边形OABC是平行四边形.（第22题
18、）yO图2Q（5, 5）P（2, 3）yO图111xx（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程附题3：（2011台州15）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为和谐点请写出一个和谐点的坐标：附题4：（2011台州23题）如图1，AD和AE分别是ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：A=特别地，当点D、E重合时，规定：A=0另外，对B、C作类似的规定（1）如图2，在ABC中，C=90，A=30，求A、C；（2）在每个小正方形边长均为1的4
19、4的方格纸上，画一个ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且A=2，面积也为2；（3）判断下列三个命题的真假（真命题打“”，假命题打“”）：若ABC中A1，则ABC为锐角三角形；若ABC中A=1，则ABC为锐角三角形；若ABC中A1，则ABC为钝角三角形附题5：（2012台州16题）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3）=，（3）5=5（3）=，你规定的新运算ab=附题6：（2012台州24题）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4
20、，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MNx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由来源:学科网Z