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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date浅谈数列中an与Sn的关系(学生版)浅谈数列中an与Sn的关系(学生版)课题浅谈数列中an与Sn的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用Sn表示时，记作Sna1a2an，此时通项公式an 而对于不同的题目中的an与Sn的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用anSnSn1(n2)去解决不同类型的问题呢？ 我们将从下面三个角度去探索在各类考试中
2、出现的an与Sn相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的Sn，求an；角度二：客观运用anSnSn1(n2)，求与an，Sn有关的结论；角度三：an与Sn的延伸应用角度一：直观运用已知的Sn，求an方法：已知Sn求an的三个步骤(此时Sn为关于n的代数式)：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，
3、对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn求解如：a12a23a3nan2n1，其中a12a23a3nan表示数列nan的前n项和1已知数列an的前n项和Snn22n2，则数列an的通项公式为()Aan2n3 Ban2n3Can Dan2(2015河北石家庄一中月考)数列an满足：a13a25a3(2n1)an(n1) 3n+13(nN*)，则数列的通项公式an 3(2015天津一中月考)已知an的前n项和为Sn，且满足log2(Sn1)n1，则an 4(2015四川成都树德期中)已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a545，a2a614(1)求an的通项公式；(2)若数列b
4、n满足：an1(nN*)，求bn的前n项和二：客观运用anSnSn1(n2)，求与an，Sn有关的结论此类题目中，已知条件往往是一个关于an与Sn的等式，问题则是求解与an，Sn有关联的结论那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是Sn那么，主要从两个方向利用anSnSn1(n2)：方向一：若所求问题是与an相关的结论，那么用SnSn1an (n2)消去等式中所有Sn与Sn1，保留项数an，在进行整理求解；1(2015广州潮州月考)数列an的前n项和记为Sn，a11，an1 2Sn1(n1，nN*)，则数列的通项公式是 2数列an的前n项和为Sn，若an14Sn
5、1，a11.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Tn.方向二：若所求问题是与Sn相关的结论，那么用anSnSn1(n2)消去等式中所有项数an，保留Sn与Sn1，在进行整理求解1已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式2(2015江西名校联盟调考)已知正项数列an的前n项和为Sn，且a2Snan10(1)求数列Sn的通项公式；(2)求证：2(Sn+11)(提示：)角度三：an与Sn的延伸应用解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，还需要对an关系式的形式结构很熟练的掌握，这样
6、才能在题目中对已知等式灵活地变换当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向方向一：关于双重前n项和此类题目中一般出现“数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与an，Sn，Tn中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向但一般是求解最底层的an1(2015湖北武汉质检)设数列an的前n现和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式2(2015安徽滁州期末联考)设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，且2Tn4Sn(n2n)，nN*(1)证明：数列an1为
7、等比数列；(2)设bn，证明：b1b2bn3方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列an”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍1(2015山东青岛一模)各项均为正数的数列an满足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn为an的前n项和(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式2已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN*(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn方向三：需对已知等式变形后，再求解1(2015江西五校联考)已知正项数列an中，其前n项和为Sn，且an21(1)求
8、数列an的通项公式；(2)设bn，Tn = b1b2b3bn，求Tn2(2015浙江温州中学月考)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a28，Sn14Sn1=5Sn(n2)，Tn是数列log2an的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求Tn3(2015江西三县联考)已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)=a3a4an2，其中nN*(1)若a11，a25，且对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成等差数列，求数列an的通项公式；(2) a11，对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成公比为q的等比数列，求数列
9、an的前n项和An4(2015辽宁沈阳诊断考试)设数列an的前n项和为Sn，a110，an19Sn10(1)求证：lg an是等差数列；(2)设Tn 是数列的前n项和，求Tn；(3)求使Tn(m25m)对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合星期一1(2015江苏扬州外国语中学模拟)已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式为 2(2015辽宁沈阳二中月考)已知数列an满足a1a2n1，求数列an的通项公式星期二3(2015安徽江淮十校联考)已知函数f(x)是定义在(0，)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy)= f(x)f(y)，若数列an的前n项和为Sn，且满足f(Sn
10、2)f(an)= f(3)(nN*)，则an为( )A2n1B. nC. 2n1D. n14(2015辽宁鞍山二中期中)设数列an是等差数列，数列bn的前n项和Sn 满足Sn(bn1)，且a2=b1，a5b2(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，Tn为cn的前n项和，求Tn星期三5在数列an中，已知a11，an2(an1an2a2a1) (n2，nN*)，则数列的通项公式是 6(2015广东桂城摸底)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且aan2Sn(1)求a1；(2) 求数列an的通项公式；(3)若bn(nN*)，Tnb1b2bn，求证：Tn星期四7(2015大连双
11、基测试)已知数列an的前n项和Snn22n1(nN*)，则an_.8(2014烟台一模)已知数列an前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bn(log2a2n1)(log2a2n3)，求数列的前n项和星期五9(2014山西四校联考)已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an_10(2014湖南卷)已知数列an的前n项和Sn，nN*(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和星期六11已知数列an是各项均为正数的等比数列，a34，an的前3项和为7.(1)求数列an的通项公式；(2)若a1b
12、1a2b2anbn(2n3)2n3，设数列bn的前n项和为Sn，求证：2.12设数列an的前n项和为Sn，a11，an2 (n1) (nN*)(1)求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；(2)是否存在自然数n，使得S1(n1)22 013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由1已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式2在数列an中，a15，a22，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2(nN*)，若对于任意nN*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和3(2014广东卷)设各项均为正数的数列an 的前n 项和为Sn ，且 Sn满足 S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1 的值；(2)求数列an 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有.-