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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流浙江师范大学微分几何考试卷05.精品文档.浙江师范大学微分几何考试卷（2005-2006 学年第 一 学期）考试形式闭卷 使用学生数学031-034考试时间150分钟出卷时间2005年12月20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、 填空题（每空2分，共16分 ）1、向量函数是定长的充要条件是 .2、柱面的第一基本形式为 。3、若曲面和曲面等距，则的高斯曲率K= 。4、坐标网是渐近线网的充要条件是 。5、若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线，则是 。6、曲面的切平面方程为 曲线；法线方程为 。7、曲面上沿着一条非直线的曲线
2、，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线是曲面上 曲线。二、是非题（每小题2分共10分）1、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 （ ）2、球面上每一条曲线都是曲率线。 （ ）3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。 （ ）4、高斯曲率不是内蕴量。 （ ）5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线是圆柱螺线。 （ ）三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分）1、问是否存在曲面使得。为什么？2、求曲线的曲率k和挠率。3、求曲线的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。4、求曲面的高斯曲率K。5、求正螺面上测地线的方程。6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交
3、的渐近曲线。7、设非直线曲线和另一条曲线之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。8、若两曲面，相交于定角，且交线是的曲率线，则也是的曲率线。9、证明：对曲面上的曲线有（1）若渐近曲线同时为测地曲线，则它必是直线；（2）若曲率线同时为测地线，则它必是平面曲线。浙江师范大学微分几何考试卷参考答案（2005-2006 学年第 一 学期）考试形式闭卷 使用学生数学031-034考试时间150分钟出卷时间2005年12月20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、 填空题（每格2分共16分） 1、2、3、K=04、L=N=05、平面曲线6、，7、测地二
4、、是非题（每小题2分共10分）1-5：错，对，错，错，对。三、综合题（1-8每小题8分，第9小题10分，共74分） 1、答：不存在 （3分） 因为 不满足科达齐方程 =0 左边= （5分）2、解：因为 ， （4分） = （2分） （2分）3、解：设曲线（s为弧长参数）的切线曲面为 ，则有， （2分）E=1+，F=1，G=1L=M=0，N=0 （2分） （1分）H= （1分）曲率线方程为=0，即s=常数，或v=-s+c （2分）4、解：因为为正交网，所以 （3分）=- （2分）= （3分）5、解：因为 E= （2分）由测地线方程为 （2分），则测地线方程为 （4分）6、证：因为是极小曲面，所以，
5、为非平面，即有（2分） 则K0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。 （2分）设两族渐近曲线主方向的交角为，则由欧拉公式有= （3分）两族渐近曲线正交 （1分）7、设曲线：（s为弧长参数）则为 （1分）两边对s求导有 （1） （1分）因为，上式两边点积有 代入（1） （2分）即有 （2）再求导有 （3） （1分） （4） （1分）（4）再两边点积有 由题意有，即证。 （2分）8、证：设，的单位法向量为，则由题意有 （1分） 两边微分得 （1分）由交线是的曲率线，则有 （1分）因为，所以又因为为单位法向量，即有所以有 （2分），所以有| （2分）即，所以也是的曲率线。 （1分）9、（1
6、）由题意沿有 （2分） 又因为，即k=0 （2分） 所以为直线。 （1分）（2）：由题意为测地线，则沿有 （1分） 又为曲率线，则沿的法线曲面是可展曲面，即有 ， （1分） 即有，因 （1分） 代入有即证明了是平面曲线 （2分）浙江师范大学微分几何考试卷考试类别 使用学生数理学院数学专业本科 考试时间120分钟表 出卷时间2002年10月7日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理二、 填空题（30分 ）1、向量函数是定长的充要条件是 .2、光滑曲线：，tR，若对任何的t有 ，则称为正则曲线。3、空间曲线中，弧长、 和 是参数变换下的不变量。4、曲线论的基本定理是 。5、若曲线为贝
7、特朗曲线，则曲率k和挠率满足的条件为 。6、若在P点有，则称P点为 。7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是 。8、曲面为可展曲面的充要条件是曲面为 、 和 。9、坐标网是渐近线网的充要条件是 。10、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是 。11、曲面的切平面方程为 ，法线方程为 。二、解答题1、，这样的曲面是否存在？（5分）2、求正螺面上的测地曲线的方程。（10分）3、若固定向量与曲线的所有法面平行，证明是平面曲线。（7分）4、证明渐近曲线上的点的测地曲率的绝对值等于它的曲率。（8分）5、求曲线的曲率k和挠率。（10分）6、求曲面的高斯曲率K。（10分）7、求
8、挠曲线的切线曲面的曲率线。（10分）8、若曲面上有两族测地线交角为定角，则曲面为可展曲面。（10分）浙江师范大学微分几何考试卷（20012002学年第二学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业2000本科 考试时间120分钟表 出卷时间2002年6月18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理三、 填空题（24分 ）1、向量函数是定向的充要条件是 .2、光滑曲线：，tR，若对任何的t有 ，则称为正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率k和挠率满足的条件特殊曲线曲率k和挠率满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、若在P点有，则称P点为 。5、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，
9、则这个映射一定是 。6、若曲面为可展曲面的充要条件是曲面的高斯曲率K= 。7、坐标网是渐近线网的充要条件是 。8、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是 。9、曲面的切平面方程为 ，法线方程为 。10、欧拉公式为 。二、1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得。（10分）三、求正螺面上测地线的方程。（10分）四、设曲线，的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。（8分）五、证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8分）六、计算题（24分）1、 求曲线的曲率k和挠率。2、 求曲面的高斯曲率K。3、 求曲线的切线曲面主曲率，平
10、均曲率，曲率线。七、若两曲面，相交于定角，且交线是的曲率线，则也是的曲率线。（10分）八、设曲线为曲面上一条曲率线，P为上一点，但不是抛物点。证明：在P点的测地曲率的绝对值等于的高斯映射象在对应点测地曲率和在P点的法曲率之积的绝对值，即。（6分）浙江师范大学微分几何考试卷（20012002学年第二学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业2000本科 考试时间120分钟表 出卷时间2002年6月18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理四、 填空题（20分 ）1、向量函数是定向的充要条件是 .2、光滑曲线：，tR，若对任何的t有 ，则称为正则曲线。3、空间曲线中，弧长、 和 是参
11、数变换下的不变量。4、曲线论的基本定理是 。5、在下表中填上相应的曲线或曲率k和挠率满足的条件特殊曲线曲率k和挠率满足的条件一般螺线贝特朗曲线k=06、若在P点有，则称P点为 。7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是 。8、曲面为可展曲面的充要条件是曲面为 、 和 。其高斯曲率K= 。9、坐标网是渐近线网的充要条件是 。10、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是 。11、曲面的切平面方程为 ，法线方程为 。12、若曲面上的曲线在P点的测地曲率为1，在P点的法曲率为2，则在P点的曲率为 。13、欧拉公式是 。二、1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得。（1
12、0分）三、1、曲面上沿着一条非直线的曲线，它的从切面与曲面的切平面重合，试问曲线是曲面上的什么曲线。2、求正螺面上这类曲线的方程。（12分）四、设曲线，的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。（8分）五、证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8分）六、计算题（25分）4、 求曲线的曲率k和挠率。5、 求曲面的高斯曲率K。6、 求曲线的切线曲面主曲率，平均曲率，曲率线。七、若曲面上有两族测地线交角为定角，则曲面为可展曲面。（10分）八、设曲线为曲面上一条曲率线，P为上一点，但不是抛物点。证明：在P点的测地曲率的绝对值等于的高斯映
13、射象在对应点测地曲率和在P点的法曲率之积的绝对值，即。（7分）浙江师范大学微分几何考试卷（20012002学年第二学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业2000本科 考试时间150分钟表 出卷时间2002年6月18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理五、 填空题（24分 ）1、向量函数为定向的充要条件是 .2、光滑曲线：，tR，若对任何的t有 ，则称为正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率k和挠率满足的条件特殊曲线曲率k和挠率满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、若在P点有，则称P点为 。5、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是 。6、若曲面为可展曲
14、面的充要条件是曲面的高斯曲率K= 。7、坐标网是渐近线网的充要条件是 。8、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是 。9、曲面的切平面方程为 ，法线方程为 。10、欧拉公式为 。二、计算题（36分）7、 求曲线的曲率k和挠率。（8分）8、 求曲面的高斯曲率K。（6分）9、 求曲线的切线曲面：（s0，t0）的主曲率，平均曲率，第一，二基本形式，曲率线。（12分）10、 求正螺面上测地线的方程。（10分）三、综合题（10分）a) 叙述曲面论的基本定理b) 问是否存在曲面使得 。四、证明题（30分）1、设曲线，的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。（8分）2、证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8分）3、若曲面上有两族测地线交角为定角，则曲面为可展曲面。（8分）4、设曲线为曲面上一条曲率线，P为上一点，但不是抛物点。证明：在P点的测地曲率的绝对值等于的高斯映射象在对应点测地曲率和在P点的法曲率之积的绝对值，即。（6分）