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1、三招搞定高考题含参不等式恒成立问题 已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以2010年高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。一 分离参数，转化为求函数的最值对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最值，再由此推出参数的取值范围。例1（2010年全国卷1理）已知函数（）若，
2、求的取值范围（）证明:解析：（） ，由得，令，于是，问题化为求函数的最大值。，当时，；当时，。当时，有最大值， （）略。评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。（4）恒成立。二 分离参数，转化为求函数的确界如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒成立问题，我们利用如下的函数确界的概念：函数 的上确界为，记作；函数 的下确界为，记作。于是，有如下结论：（1）若无最大值，而有上确界，这时要使恒成立，只需。（2）若无最小值，而有下确界，这时要使恒成立，只需。例2 （2
3、010年湖南卷理）已知函数，对任意的，恒有（）证明：当时，（）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值。解析：（）略。（）由即恒成立，得从而，等号当且仅当，即时成立（1）当 时， ，令，则，则因为函数 （）的最大值不存在，但易知其上确界为 （2）当时，或0，从而恒成立综合（1）（2）得的最小值为例3 （2010年全国卷理）设函数（）若，求的单调区间。（）若时，求的取值范围。解析：（）由对所有的成立，可得（1）当时，；（2）当时，设，问题转化为求的最小值或下确界。，令，因为，又的二阶导数，的三阶导数，所以是增函数，故，所以增函数，故，所以是增函数，故，从而，于是在上单调递增，故无最小值，
4、此时，由于无意义，但运用极限知识可得。由洛必达法则可得： 故时，。因而，综合（1）（2）知取值范围为。评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用洛必达法则求超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们应该探求这类问题的另一种更为一般地思考途径。三 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，如例3，我们可以把含参不等式整理成或的形式，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值。在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果有最小值，则恒成立，恒成立；（2）如果有最大值，则恒成
5、立，恒成立。例4（2010年天津文）已知函数 其中（）若，求曲线在点处的切线方程，（）若在区间上，恒成立，求的取值范围解析：（）略。（），令，解得或（1）若，则，于是当时，；当时，。所以当时，有极大值。于是时，等价于解得 （2）若，则，于是当时，；当时，当时，。所以，当时，有最大值，当时，有最小值。于是时，等价于解得或，因此，综合（1）（2）得 例5：内容同例3解析：（）略（），由方程不能求出极值点。显然，用例4的解法是行不通的，但我们注意到，故问题转化为在时恒成立，即函数在为不减函数，于是可通过求导判断的单调性，再求出使成立的条件。由（）有，当且仅当时成立，故，而当，即时 是上的不减函数，当
6、时，由 可得故当时，而，于是当时 综合得评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住这一重要的解题信息，将问题转化为在时恒成立，通过研究函数在上是不减函数应满足的条件，进而求出的范围。隐含条件对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用。从以上高考题的解法可知：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单调性、最值（极值）等问题入手，将含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题，是确定恒不等式中参数取值范围问题的重要思考方法。对这类问题的处理，需要考生具备过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问题。在高三复习课教学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。