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1、高三下学期数学第三次摸底考试（文科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，等于（ ）A. B. 3i C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有 =62i2=3i，故选B考点：复数的运算2. 已知集合M=x|f(x)=lg(2x1)3x2,N=x|x131，则集合等于（ ）A. (23,+) B. (1,+) C. (12,23) D. (23,1)【答案】D【解析】 ,选D.3. 已知是R上的奇函数，则f(a)的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为是上的奇函数，所以，
2、得,f(x)=32-32x+1.fa=f3=32-39=76.故选A.4. 在面积为的正方形ABCD内任意投一点，则点到四边的距离均大于2S5的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】易知正方形ABCD的边长S，到两边距离均大于，则形成的区域为边长为S5的小正方形，其概率为,故选C.5. 已知sin(32+)=13，则的值等于（ ）A. B. 79 C. D. 23【答案】A【解析】因为,所以.，故选A.6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形F1MF2，如果线段MF1的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（ ）学。科。网.A. 23 B. C. 6
3、D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即ba=3ca=2e=2 ，选D.7. 在ABC中，“ ”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，所以必要性成立； 时，sinA-sinB=cosB-cosA，所以充分性不成立，选B.8. 已知二次函数f(x)=x2+bx+c的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （ ）A. (12,20) B. (12,18) C. (18,20) D. 【答案】A【解析】由题意得f(2)0f(1)042b+c01b+c0 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形
4、三顶点为 ）：，而f(3)=9+3b+c ，所以直线f(3)=9+3b+c过C取最大值 ，过B点取最小值12， f(3)的取值范围是(12,20)，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（ ）A. 2(3+1) B. 2(5+1) C. D. 【答案】C10. 20世纪30年代，
5、德国数学家洛萨-科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得 a3=32a2=64a1=128或21 ；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.11. 已知函数的导数为，若对任意的都有f(x)f(x)，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】fx=x2+a-1x+a,f(x)f(x).得：,
6、化简得,不等式两边同除以得：-1x13x+a-32.学。科。网.有3-a2x+1x，令，g(x)=13-1x20,在2,3上单调递增，,所以只需，解得，故选A.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.12. 已知向量 满足|=1,(2),()()，若，的最大值和最小值分
7、别为，则m+n等于（ ）A. 32 B. 2 C. D. 152【答案】C【解析】把放入平面直角坐标系，使起点与坐标原点重合，方向与轴正方向一致，则=(1,0)，设=(x1,y1)，因为(-2)，所以-2=0，所以x1=12，=(12,y1).设=(x,y)，所以,化简得：，即(x-34)2+(y-y12)2=(y12+142)2.点(x,y)可表示圆心在，半径为y12+142的圆上的点.=x2+y2，所以最大值，最小值为.因为|=172，所以，解得y12=4.所以m+n=342+(y12)2+y12+142+342+(y12)2-y12+142=2342+y122=52.故选C.点睛：平面向
8、量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知，销售量与价格x之间有较好的线性相关关
9、系，其线性回归方程是y=3.2x+a，则a=_【答案】39.4 【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a,b，写出回归方程，回归直线方程恒过点(x,y).14. 将函数f(x)=3sin2xcos2x的图象向右平移m个单位（m0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是_【答案】【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以mmin=6. 15. 在中，点在边BC上，且满足，若，则_【答案】【解析】设AC=b,AB=c,BM=a3,MC=2
10、a3,MAC=,tanBAM=612，得.在ABM中，由正弦定理可得，代入解得，.在中，cos=ACAM=b(2a3)2+b2，所以b(2a3)2+b2=3c5a.由勾股定理可得，化简整理得,.所以,.16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足，则AB的值为_【答案】【解析】因为，所以 因此yA2=4yB2xA=4xB，所以 因为 ，所以12p2(|yA|+|yB|)=2394p12p23|yB|=2394p ，因此 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列前n项和为，等差数列bn的前项和为，且，.学。科。网.（1）求数列an的通项公式
11、；（2）求证：bnbn+1Tn.【答案】（1）an=4n1；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用Sn-Sn-1=an(n2)，求通项；（2）分别求出bnbn+1和，作差比较大小即可.试题解析：（1）因为1+3Sn=an+1，所以当时，1+3Sn-1=an，所以，即an+1=4an，所以an从第二项开始是公比为4的等比数列，即an=a24n-2(n1)，因为a5=256，所以256=a245-2，解得a2=4，当n=1时，1+3S1=a2，解得a1=S1=13(a2-1)=1，则a2=4a1，所以an是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为an=4n-1；（2）由（1）知an=4n-1，
12、所以，设数列bn的公差为，所以b1+b2=2b1+d=0,b2+b3=2b1+3d=4，解得b1=-1,d=2，所以，所以bnbn+1=(2n-3)(2n-1)=4n2-8n+3,Tn=12n(-1+2n-3)=n2-2n，所以所以18. 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间80,90)
13、内的学生人数及成绩在区间60,100内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间90,100内的概率.【答案】（1）71.875；（2）45.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义计算即可.（2）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在90，100的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为1-(0.0052+0.015+0.020+0.045)10=0.1，所以40名学生中成绩在区间的学生人数为400.1=4，易知成绩在区间
14、60,70),70,80),80,90),90,100内的人数分别为18，8，4，2，学。科。网.所以成绩在区间内的平均成绩为132(6518+758+854+952)=71.875；（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为a,b,c,d成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为e,f，则选取学生的所有可能结果为：feabcd,abef,acef,adef,bcef,bdef,cdef,abc,abd,acd,bcd，基本事件数为20事件“至少有1名学生成绩在区间90,100之
15、间”的可能结果为feabcd,abef,acef,adef,bcef,bdef,cdef，基本事件为数16，所以19. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1=C1E=BC=12AB=1.（1）求D1E的中点F到平面ACB1的距离；（2）求证：平面D1B1E平面DCB1【答案】（1）h=43；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三棱锥等体积法计算距离即可；（2）要证平面D1B1E平面DCB1，只需证B1E平面DCB1即可.试题解析：证明：（1）连接AD1、BC1，AD1/_BC1/_B1E，四边形AB1ED1是平行四边形，D1E/AB1，又AB1平面
16、AB1C，D1E平面AB1C，D1E/平面ACB1，点F到平面ACB1的距离等于点E到平面ACB1的距离，由VE-ACB1=VA-B1CE，得13SACB1h=1312122，又易知SACB1=32D1E的中点F到平面ACB1的距离为h=43（2）由已知得，B1C2+B1E2=4=CE2，则B1EB1C，由长方体的特征可知CD平面B1BCE，学。科。网.而B1E平面B1BCE，面积CDB1E，B1E平面DCB1，又B1E平面D1B1E，平面D1B1E平面DCB120. 如图，已知P(62,1)为椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)上的点，且a2+b2=5，过点P的动直线与圆F:x2+y2=
17、a2+1相交于A、B两点，过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q（1）求椭圆E的离心率；（2）若AB=23，求PQ【答案】（1）33；（2）3017.【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：64a2+1b2=1,a2+b2=5，解方程组可得a2=3,b2=2，c2=1，再根据离心率定义求椭圆E的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线AB的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求PQ试题解析：解：（1）依题知64a2+1b2=1,a2+b2=5,ab0，解得a2=3,b2=2，所以椭圆E的离心率e=a
18、2-b2a2=3-23=33；（2）依题知圆F的圆心为原点，半径为r=2,|AB|=23，所以原点到直线AB的距离为d=r2-(AB2)2=22-(232)2=1，因为点P坐标为(62,1)，所以直线AB的斜率存在，设为k所以直线AB的方程为y-1=k(x-62)，即kx-y-62k+1=0，所以d=|1-62k|1+k2=1，解得k=0或k=26当k=0时，此时直线PQ的方程为x=62，所以|PQ|的值为点P纵坐标的两倍，即|PQ|=21=2；当k=26时，直线PQ的方程为y-1=-126(x-62)，将它代入椭圆E的方程x23+y22=1，消去y并整理，得34x2-106x-21=0，设Q
19、点坐标为(x1,y1)，所以62+x1=10634，解得x1=-7634，所以|PQ|=1+(-126)2|x1-62|=3017点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数f(x)=(1+a)lnx+2(1-a)x2+1x(aR)（1）当时，求函数f(x)的单调区间；（2）若对任意a(2,3)及x1,x21,3，恒有(m+ln3)(1-a)-2ln3|fx1-fx2|成立，求实数m的取
20、值范围【答案】（1）见解析；（2）m133.【解析】试题分析：（1）求导得f(x)=(2x-1)(1-a)x+1x2，讨论单调性即可；（2）若对任意a(2,3)及x1,x21,3，恒有(m+ln3)(1-a)-2ln3|fx1-fx2|成立，求f(x)的最大值，最小值，解得m3时，1a-112，令f(x)0，得0x12，令f(x)0，得1a-1x12；当1a12，令f(x)0，得0x1a-1，令f(x)0，得12x3时，函数f(x)的递减区间为(0,1a-1)和(12,+)，递增区间(1a-1,12)；当a=3时，函数f(x)在上单调递减；当1a23-4(1-a)+(-a-1)ln3，整理得m
21、(1-a)23-4(1-a)a1， m23(1-a)-4恒成立，3a4， -13323(1-a)-40，求证：1a2+1b2+344ab【答案】（1）2ab2；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）因为a2+b2=3+ab2|ab|，所以-1ab3，又(a-b)2=a2+b2-2ab=3+ab-2ab=3-ab，即得a-b的取值范围；（2）因为0ab3，而1a2+1b2+34-4ab=3(1ab-12)20，即证.试题解析：解：（1）因为a2+b2-ab=3，所以a2+b2=3+ab2|ab|当ab0时，3+ab2ab，解得ab3，即0ab3；当ab0时，3+ab-2ab，解得 ab-1，即-1ab0，所以-1ab3，则03-ab4，而(a-b)2=a2+b2-2ab=3+ab-2ab=3-ab，所以0(a-b)24，即-2a-b2；（2）由（1）知0ab3，因为1a2+1b2+34-4ab=a2+b24a2b24-4ab+34=3+aba2b2-4ab+34=3a2b2-3ab+34=3(1a2b2-1ab+14)=3(1ab-12)20当且仅当ab=2时取等号，所以1a2+1b2+344ab