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1、比一比，看谁算得快 （1）已知：）已知：x=5，a+b=3，求，求ax2+bx2的值。的值。（2）已知：）已知：a=101,b=99,求求 a2- b2的值的值.你能说说算得快的原因吗？你能说说算得快的原因吗？整式的乘法整式的乘法计算下列各式计算下列各式:x(x+1)= m(a+b+c)= (x+1)(x1)= (x-3)(x-3)= x2 + xx21 温故知新温故知新ma+mb+mc962 xx1)2()1 (22xxx请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成整式乘积的形式) 1( xx) 1)(1(xx(3)ma+mb+mc=m(a+b+c)(4) x2-6x+9=(x-3)2
2、 上面我们把一个多项式化成了几个上面我们把一个多项式化成了几个整式整式的的积积的形式的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式像这样的式子变形叫做把这个多项式因式因式分解分解,也叫做把这个多项式也叫做把这个多项式分解因式分解因式.因式分解定义因式分解定义把把一个多项式化成几个一个多项式化成几个整式整式的积的的积的形式形式, ,这种变形叫做把这个多项式这种变形叫做把这个多项式 因式分解（也叫分解因式）因式分解（也叫分解因式）. . 想一想想一想: 分解因式与整式乘法有何关系分解因式与整式乘法有何关系?x2-1 因式分解因式分解整式乘法整式乘法(x+1)(x-1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形因
3、式分解与整式乘法是相反方向的变形;因式分解与整式乘法是互逆运算。因式分解与整式乘法是互逆运算。练一练“理解概念”判断下列各式哪些是因式分解判断下列各式哪些是因式分解? ?整式乘法？为什整式乘法？为什么？么？ (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) x2+4x+4=(x+2)2 (4) (a-3)(a+3)=a2-9 (5) 2R+ 2r= 2(R+r)因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解(6)(5a-1)2 =25a2-10a+1整式乘法整式乘法例例1、下列各式从左边到右边的变形、下列各式从左
4、边到右边的变形哪些是因式分解？哪些不是？哪些是因式分解？哪些不是？)23(23)5(;)2(44)4(;)()(3(; 1)5)(5(26)2();11 () 1 (22222222yxxxxyxxxxnmnmnmaaaxxxxn强调：强调：n（1）因式分解的结果必须是乘积的形式。）因式分解的结果必须是乘积的形式。n（2）把一个单项式拆成几个单项式乘积的）把一个单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解。形式不能称为因式分解。n（3）因式分解要求积中的每个因式最后都）因式分解要求积中的每个因式最后都不能再分解，即要求分解不能再分解，即要求分解“彻底彻底”。n（4）左右两边都是整式，且左右两
5、边必须）左右两边都是整式，且左右两边必须是恒等式。是恒等式。 1、观察下列多项式有何共同特点？ ab +ac; 3x2+x; mb2+nb+b.多项式各项都含有的多项式各项都含有的相同因式相同因式，叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公因式公因式。如：ab+ac的公因式是a2、说出下列各多项式的公因式：、说出下列各多项式的公因式：(1)ma + mb ；(2)4kx - 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b-2ab2+ab .m4k5y2ab找公因式有什么方法呢?最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低指数指数一一看看系数系数二二看字母看字母三三看指数看指数8a3b212a
6、b3c 的的公因式公因式是什么？是什么？因式分解因式分解：mambmc把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以就可以分解成两个因式分解成两个因式m和和(a+b+c)的乘积。像这种的乘积。像这种因式分解的方法，叫做因式分解的方法，叫做提取公因式法提取公因式法。()mambmcm abc探索发现探索发现解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式,称之为称之为公因公因式式提公因式法提公因式法例例1 把把8a3b2 + 12ab3c 分解因式分解因式.分析：找公因式分析：找公因式 1、系数的最大公约数、系数的最大公约数 42、找相同字母、找相
7、同字母 a3、相同字母的最低指数、相同字母的最低指数 a1b2 公因式为：公因式为：4ab2 典例解析典例解析解解:8a3b2+12ab3c=4ab22a2+4ab23bc=4ab2(2a2+3bc)找出公因式找出公因式提取公因式得提取公因式得到到 另一个因式另一个因式写成积的形式写成积的形式不能漏掉不能漏掉=x(3x-6y+1)原式原式=x.3x x.6y +x .1利用提取公因式法分解利用提取公因式法分解因式因式: (3) 12a2b38a3b216ab4试一试试一试3233(1)26(2)315xxaba b(1)ax+xy=( )( )(2)3mx-6my =( )( )(3)x2y+
8、xy2=( )( )(4)15a2+10a=( )( )(5)12xyz9x2y2=( )( )x 3m xy5a3a+23xy4z3xy将下列多项式因式分解将下列多项式因式分解:a+yx-2yx+y(6) 2a(b+c)-3(b+c)=( )( )b+c 2a-3例例3. 把把 -24x3 12x2 +28x 分解因式分解因式.当多项式第一项系数当多项式第一项系数是负数，通常先提出是负数，通常先提出“-”号，使括号内第号，使括号内第一项系数变为正数，一项系数变为正数，注意括号内各项都要注意括号内各项都要变号。变号。解：原式解：原式=(324x212xx28)=x4(6x2+3x-7)（2）把
9、）把 -24x3 12x2 +28x 分解因式分解因式.原式原式=28x12x224x3=4x(76x2 )3x方法二方法二1、填空、填空请在下列各式等号右边的括号前填入请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或或“”号，使等式成立号，使等式成立:（1）2a=_（a2）;（2）yx=_（xy）;（3）b+a=_（a+b）;（4）（）（ba）2=_（ab）2;（5）mn=_（m+n）;（6）s2+t2=_（s2t2）.- - -+- - - 巩固训练巩固训练l2、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式:(1)24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2
10、(4) -7ab-14abx+49aby解：解：a（x3）+2b（x3） =（x3）（a+2b）例例2：把把a（x3）+2b（x3）分解因式分解因式分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a(x3)与与2b(x3)，每项中都含有（，每项中都含有（x3）,因此可以把因此可以把(x3)作作为公因式提出来为公因式提出来.解：解：（2）6（mn）312（nm）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）2（mn2）.（2）6（mn）312（nm）2 典例解析典例解析解：原式解：原式=（a+bc)(ab+c）(ba+c)(ab+c)
11、=（ab+c）（）（a+bc）（）（ba+c）=（ab+c）（）（a+bcb+ac）=（ab+c）（）（2a2c）=2（ab+c）（）（ac）把把(a+bc)(ab+c)+(ba+c)(bac)分解因式分解因式 能力挑战能力挑战2 2、确定公因式的方法：确定公因式的方法：一看系数二看字母三看指数一看系数二看字母三看指数小结小结3 3、提公因式法分解因式步骤提公因式法分解因式步骤( (分两步分两步) )：第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式第一步，确定公因式；第二步，求出另一个因式第三步第三步, , 写成积的形式写成积的形式1、什么叫因式分解？什么叫因式分解？4、用提公因式法分解因式应注意
12、的问题、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽）公因式要提尽；（2）小心漏掉）小心漏掉（3）多项式的首项取正号）多项式的首项取正号试一试试一试 拓展应用拓展应用 1. 20042+2004能被能被2005整除吗整除吗? l2. 2101+299能被能被5整除吗整除吗,为什么为什么3. 224-1能被能被63和和65整除吗整除吗?转化为有一因式为5的倍数D（2）分解分解-4x3+8x2+16x的结果是（的结果是（ ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）（1）多项式多项式6ab2+18a
13、2b2-12a3b2c的公因式（的公因式（ ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2CC1.选择选择(3)若多项式若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是的一个因式是-6ab，那么另一那么另一 个因式是（个因式是（ ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4yD(4)若多项式若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式要分解因式,则要提的公因式是则要提的公因式是 . (a+b)x6x2y2(4x-3)7ma(1+2a)xy(4x-y)-8x2(2x2-4x+7)-2mn(2m2n-3m+1)1.若a=1
14、01,b=99,求a2-b2的值.2.若x=-3,求20 x2-60 x的值.3.1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?4. 若若n是整数是整数,证明证明(2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数的倍数.5. 某工厂需加工一批零件某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三位工人由甲、乙、丙三位工人共同完成，已知甲工人每天加工共同完成，已知甲工人每天加工23个零件，乙个零件，乙工人每天加工工人每天加工19个零件，丙工人每天加工个零件，丙工人每天加工18个零件，三人需共同做个零件，三人需共同做12天才能做完，要加工天才能做完，要加工的零件共有多少？的零件共有多少？规律总结n分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程.n分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个分解的结果一定是几个整式整式的的 乘积的形式乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止要分解到不能分解为止.