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1、从一道省质检试题来探讨圆锥曲线的定义与应用一、圆锥曲线原始定义的由来2000多年前，古希腊学者为了解决几何三大作图问题中的倍立方问题（求的根），开始研究圆锥曲线古希腊数学家门内马斯取三个顶角分别是直角、锐角、钝角的圆锥，各作一个平面垂直于每一个圆锥的一条母线，并且与圆锥相截他把所得到的三条曲线分别叫做“直角圆锥截线”、“锐角圆锥截线”、“ 钝角圆锥截线”事实上，这就是现代的抛物线、椭圆和一支等轴双曲线而且门内马斯发现了圆锥曲线的一些主要性质，并且利用圆锥曲线来解决倍立方问题门内马斯的著作现已失传，仅在其它数学家的著作中有所引用和评论公元前3世纪，欧几里德的著作圆锥曲线理论问世，对圆锥曲线作了一
2、定的研究，可惜后来也失传数学家阿基米德在抛物线的求积一书中，论证了任何直线截抛物线的面积等于同底同高的三角形面积的，证明了抛物线弓形的面积公式希腊数学家阿波罗尼则在圆锥曲线论一书中，用综合法对圆锥曲线作了全面而又系统的研究，这本书几乎搜罗了圆锥曲线所有的性质，形成了较为完备的圆锥曲线的初等理论他推导过的很多圆锥曲线性质的做法，实际上相当于我们现在利用坐标系和方程推出曲线性质的做法他首先证明了圆锥曲线可以是平面和任意圆锥面的截线，同时还提出用同一个圆锥，只要改变截面的位置就可以产生三种圆锥曲线，并且给出了三种曲线的名称公元3世纪，帕普斯在他的著作数学汇编中，证明了圆锥曲线的焦点、准线和离心率的性
3、质，给出了“与定点及定直线的距离为定比的点的轨迹是一条圆锥曲线”的论证17世纪，生产发展的需要推动了天文学、力学和光学的发展公元1609年，德国天文学家开普勒发现天体运行的轨迹是椭圆；意大利物理学家伽利略得到抛掷物体的轨迹是抛物线；法国科学家道多尔日扩展了圆锥曲线在光学中的应用，推动了圆锥曲线的进一步深入研究17世纪初期，；法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何，用坐标和方程来研究圆锥曲线从此以后，由于各种坐标制的建立，以及数学分析和其他学科的影响，圆锥曲线在理论上更加完善，在实践中也得到了更加充分的应用事实上，我们知道：从立体几何的角度来看，用一个与圆锥的轴不垂直的平面（不经过圆锥顶点的平面）
4、去截该圆锥，随着截面与圆锥的轴的夹角变化时，可以得到不同的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线），它们分别是椭圆、抛物线、双曲线，具体说来就是：一个圆锥被一个不经过圆锥顶点的平面所截，当平面与圆锥底面不平行时，且与圆锥的所有母线都相交，则截得的曲线为椭圆；一个圆锥被一个不经过圆锥顶点的平面所截，当平面与圆锥底面不平行时，且只与圆锥的一条母线平行，则截得的曲线为抛物线；对顶圆锥被一个不经过圆锥顶点的平面所截，当平面与圆锥底面不平行时，且与两部分圆锥都相交，则截得的曲线为双曲线当然，如果截圆锥的平面过顶点，则相应截得点、直线、相交线 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线圆锥曲线因此而得名当用一个
5、与圆锥的轴垂直的平面（不经过圆锥面顶点的平面）去截该圆锥，得到的截口曲线为圆，这也就是较早以前教科书把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线的原因有关图形参阅新教材圆锥曲线的章首图二、圆锥曲线的各自定义（包括实平面、复平面及向量）（称为圆锥曲线第一定义）（1）椭圆的定义：动点到平面内两个定点的距离的和为定值的点的轨迹（a）在实平面直角坐标系下表示为：（i）当时，M的轨迹为以，为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆；（ii）当时，M的轨迹为以，为端点的线段；（iii）当时，M的轨迹不存在(b)在复平面直角坐标系下表示为：（i）当时，则方程表示的轨迹是以，为焦点，长轴长为，焦距为=的椭圆；（ii）当时，则
6、方程表示的轨迹是以，为端点的线段；（iii）当时，则方程不表示任何图形（c）在向量中相应的表示为：（i）当时，则方程表示的轨迹是以，为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆；（ii）当时，则方程表示的轨迹是以，为端点的线段；（iii）当时，则方程不表示任何图形(2)双曲线的定义：动点到平面内两个定点的距离的差的绝对值为定值的点的轨迹(a)在实平面直角坐标系下表示为：（i）当时，M的轨迹为以，为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线；（ii）当时，M的轨迹为以，为端点的线段两侧的两条射线；（iii）当时，M的轨迹不存在；（iv）当（）中，没有绝对值时，表示双曲线的一支(b)在复平面直角坐标系下表示为：（i）当时，
7、则方程表示的轨迹是以，为焦点，实轴长为，焦距为=的双曲线；（ii）当时，则方程表示的轨迹是以，为端点的线段两侧的两条射线；（iii）当时，则方程不表示任何图形（c）在向量中相应的表示为：（i）当时，则方程表示的轨迹是以，为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线；（ii）当时，则方程表示的轨迹是以，为端点的线段两侧的两条射线；（iii）当时，则方程不表示任何图形(3)抛物线的定义：平面内动点与定点的距离和它到一条定直线的距离相等的点的轨迹(a)在实平面直角坐标系下表示为：=（i）若定点不在定直线上，则动点的轨迹是以定点为焦点，以定直线为相应准线的抛物线（ii）若定点在定直线上，则动点的轨迹是过动点且垂直
8、于定直线的一条直线(b)在复平面直角坐标系下表示为：依据圆锥曲线原始定义的由来，我们就可以得到：三、圆锥曲线的统一定义（称为圆锥曲线第二定义）：平面内动点M与定点F的距离和它到一条相应的定直线L（定点F不在定直线L上）的距离的比是常数e（i）当时，动点M的轨迹是椭圆，当趋向于1时，椭圆越来越扁平，极限（退化）为一条线段，当趋向于0时，椭圆越来越圆，极限（退化）为圆；（ii）当时，动点M的轨迹是抛物线；(iii)当时，动点M的轨迹是双曲线，当越来越大时，双曲线的张口也越来越大，当趋向于1时，双曲线张口就越来越小，极限（退化）为两条射线（当然，也有人认为，当时，动点M的轨迹是圆）此时定点F为焦点，
9、定直线L为相应的准线，常数e为离心率在极坐标系下，我们也可以得到：（a）若以原点为极点，以轴的正半轴为极轴的圆锥曲线的极坐标方程为：椭圆： 的极坐标方程为：双曲线：的极坐标方程为：抛物线：（）的极坐标方程为：（b）若以圆锥曲线的焦点为极点，以焦点到准线的线段的反向延长线为极轴的圆锥曲线统一的极坐标方程为：值得注意的是：（i）为焦参数，即焦点到相应准线的距离，对抛物线来说，极坐标方程中的就是中的，它表示抛物线开口的宽窄程度；对椭圆和双曲线来说，（ii）的数值就是圆锥曲线的通径的一半，=（iii）表示圆锥曲线的离心率，对椭圆来说就是刻画其扁平程度；对双曲线来说就是其张口的宽窄程度（iv）表示动点的
10、极坐标，是动点到极点的距离；是极径与极轴正方向的夹角如果允许，对于双曲线来说就表示整个双曲线，否则就表示单支（v）对椭圆来说（以左焦点为极点）， 对双曲线来说（以右焦点为极点）， 对抛物线来说（以焦点为极点），四、从教科书引申出来的圆锥曲线定义（称为圆锥曲线第三定义）在平面内，动点与两个定点，的连线的斜率之积为定值（）（i）当时，则动点M的轨迹是双曲线（除去点，）；（ii）当，且，则动点M的轨迹是椭圆（除去点，）；（iii）当时，则动点M的轨迹是圆（除去点，）具体说来就是：（i）定点，动点，若满足：（，）则动点M的轨迹是分别以，为实轴及虚轴，焦点在轴的双曲线（除去点，）；（ii）定点，动点，若
11、满足：（）则动点M的轨迹是分别以，为长轴及短轴，焦点在轴的椭圆（除去点，）；（iii）定点，（），动点，若满足：则动点M的轨迹是以为直径的圆（除去点，）非常有趣的是：在平面内，动点与两个定点，的连线的斜率之差为定值（），则其轨迹是抛物线在平面内，动点与两个定点，的连线的斜率之商为定值（，），则其轨迹是直线事实上，圆锥曲线第一、第二、第三定义之间有着密切的联系，这得从教材的椭圆的标准方程的推导过程说起：我们知道：由椭圆的第一定义易得 令代入（为了简洁及和谐）（）上述推理就是过去和现在的教科书的证明过程，其过程显得复杂！我们从另一个角度，构造对偶式，则显得简洁得多我们构造的对偶式为 由与相乘得到再
12、由与相加得到 这就是在第一定义下得到的椭圆的标准方程非常有意思的是，如果我们再从另一个角度，构造等差数列就得到以下独特的推理过程：由上述式可得，构成等差数列（即构造等差数列），即令=，=（）上述两式平方后相加、相减得到，代入即可推出（令）（）这就是在第一定义下从不同的角度推得的椭圆的标准方程如果我们注意到可以变形为 此时具有明显的几何意义：动点M与定点F的距离和它到一条定直线L（定点F不在定直线L上）的距离的比是常数e也就是教材（人教版数学第二册（上）第100页例4）这正是圆锥曲线的第二定义如果我们对加以变形就可以得到（常数） 此时也具有明显的几何意义：动点M与两个定点的斜率之积为常数（）也就
13、是教材上的一个例题的引申这正是圆锥曲线的第三定义五、从代数运算中引申出来的圆锥曲线定义（称为圆锥曲线第四定义）更有趣的是：我们再来观察，常见的变形都是移项再平方，或者构造对偶式再相加、相乘等等，而很少直接对平方，如果我们直接对平方，这样看似复杂，其实此处蕴含着一个重要的结论直接对平方得到同样的道理，若对双曲线的第一定义得到的等式直接平方亦可得到综上得到圆锥曲线中的椭圆及双曲线的第四定义：（i）若，则曲线是以为焦点的椭圆；（ii）若，则曲线是以为焦点的双曲线非常有趣的是：抛物线也有第四定义，即二垂线法：由圆锥曲线的第二定义可得平面内到一个定点和到一条定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线据此可得抛
14、物线具有如下几何特征：（1）；（2）由此得到抛物线的第四定义，即二垂线法：过定直线上任意一点，过作一条直线，使得，连接，作线段的垂直平分线，此时直线与直线的交点就是抛物线题目：（2008年福建省高三质检试题）已知定点（，B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD，使其两条对角线的交点恰好落在y轴上（1）求动点D的轨迹E的方程；（2）过点A作直线L与轨迹E相交于P、Q两点，设点R(,0)，问当直线L绕点A转动时，是否可以为钝角？请给出结论，并加以证明六、一题多解的教学价值对于（1）来说：剖析1：充分利用题设条件，同时注意菱形ABCD的两条对角线相互垂直，则其向量的数量积为0解法1：如图1所
15、示，令D(，)，由已知条件定点（及菱形ABCD的两条对角线的交点恰好落在y轴上，得到B(，0)，C(，)，由，即，得到，注意到四边形ABCD为菱形，于是，故动点D的轨迹E的方程为 （）剖析2：利用两点间距离公式，特别注意求轨迹的纯粹性解法2：如图1所示，令D(，)，由已知条件定点（及菱形ABCD的两条对角线的交点恰好落在y轴上，得到C(，)，注意到四边形ABCD为菱形，则有 ，即=同时注意到四边形ABCD为菱形，于是，故动点D的轨迹E的方程为 （）剖析3：在解法2的推理过程的基础上，紧扣抛物线的定义解法3：如图2所示，令D(，)，由已知条件定点（及菱形ABCD的两条对角线的交点恰好落在y轴上，
16、得到C(，)，特别注意动点C在定直线上运动，注意到四边形ABCD为菱形，则，它表示动点D到定点的距离等于动点D到定直线的距离，且定点 不在定直线上，由抛物线的定义可得动点D的轨迹是以定点为焦点，以定直线为准线的抛物线，于是得到，又注意到四边形ABCD为菱形，于是 ，故动点D的轨迹E的方程为 （）对于（2）来说：剖析1：凡是探索性问题，一般都是先假设或直接给出结论，然后给予严格的运算、推理、证明，最终肯定或否定假设或结论证法1：先给出结论： 不可能为钝角，即 （1）如图3所示，当 PQx轴时， 则，又，此时，结论成立；（2）如图4所示，当 PQ与x轴不垂直时， 令直线L的方程为 ，由 ，得到 ，
17、令 ，由韦达定理得，于是得到=+=由上述（1）、（2）可得 成立剖析2：利用抛物线的焦点弦的性质及余弦定理和重要不等式证法2：先给出结论： 不可能为钝角，即如图4所示，令 ，由上述证法1的过程可得，又，且 ，在中，利用余弦定理得到=剖析3：利用抛物线的焦点弦的性质和平面几何知识证法3：先给出结论：不可能为钝角，即 如图5所示，分别过、向x轴和准线引垂线，垂足分别为、，由抛物线的性质和平面几何知识得到，在中，易得，同理可证 ，从而 剖析4：利用抛物线的焦点弦的性质：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与其准线相切证法4：先给出结论： 不可能为钝角，即 如图6所示，令焦点弦PQ的中点为K，分别过 、K向准
18、线 引垂线，垂足分别为、I，由图和梯形的中位线得到=于是以抛物线的焦点弦PQ为直径的圆必与其准线相切，令切点为（1）如图7所示，当与R重合时，此时焦点弦PQ就是通径，即（2）如图6所示，当与R不重合时，此时点R必在圆外，由初中的同弧上的圆外角小于圆周角，得到，即 由上述（1）、（2）可得成立剖析5：利用夹角公式和斜率公式证法5：先给出结论：不可能为钝角，即 令，则 ，由夹角公式得到=又依据重要不等式得到同理可证 七、一题多结论的教学价值结论1：是椭圆（）的一个焦点，是椭圆上任意一点，则焦半径结论2：是双曲线（）的右焦点，是双曲线上任意一点（1）当点在双曲线右支上，则焦半径；（2）当点在双曲线左
19、支上，则焦半径结论3：是抛物线（）的焦点，是抛物线上任意一点，则焦半径=只要运用圆锥曲线的第二定义易证上述结论1、2、3结论4：椭圆上任一点处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质结论5：双曲线上任一点处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质结论6：抛物线上任一点处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质以下证明结论4：如图所示，设椭圆方程为（），显然，当为长轴或短轴的端点时成立令（，）（），利用导数的知识（或切点弦专题）易得
20、过点的切线的斜率为，则过点的法线的斜率为，设过点的法线与轴相交于，于是得到过点的法线方程为：我们令得到（，0），则有=故椭圆上任一点处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角同理可证结论5、6非常有意思的是，利用上述三个结论，我们容易作出圆锥曲线的切线和法线（i）对于椭圆来说，我们用圆规作的内角平分线，再过作，则与分别称作过该点的椭圆的法线和切线，或者用直尺延长到，使得=，取线段的中点为，则就是过该点的椭圆的切线，过作，则就是过该点的椭圆的法线（ii）对于双曲线来说，我们用圆规作的内角平分线，再过作，则与分别称作过该点的双曲线的法线和切线，或者用直尺在取一点，使得=，取线段的中点为，则就是过该点的双
21、曲线的切线，过作，则就是过该点的双曲线的法线（iii）对于抛物线来说，我们过用直尺作垂直准线，再取（为焦点）的中点，则就是过该点的抛物线的切线，过作，则就是过该点的抛物线的法线，或者用直尺作，则就是过该点的抛物线的切线，过作，则就是过该点的抛物线的法线至此，我们获得了简易的作圆锥曲线的切线和法线的实际操作过程，同时也获得了作圆锥曲线的切线和法线的理论依据结论7：椭圆的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且结论8：双曲线的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且结论9：抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且结论10：椭圆上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交椭圆于，则必与该椭圆相切
22、，且结论11：双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且结论12：抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且事实上，结论7与结论10是等价的，结论8与结论11是等价的，结论9与结论12是等价的以下证明结论7：如图所示，设椭圆方程为（），令，则过的两条切线而得到的切点弦的方程为：令，得到，即切点弦过其相应的交点此时可得=同理易证其它结论结论13：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴）上三点，的焦半径成等差数列的充要条件为，的横坐标（纵坐标）成等差数列值得注意的是：结论13就是2007年宁夏、海南高考试题的推广，原高考题为：已知
23、抛物线（）的焦点为，点、在抛物线上，且，则有（ ） 结论14：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴）上三点，的焦半径成等差数列的充要条件为，的横坐标（纵坐标）成等差数列结论15：焦点在轴上的抛物线（或焦点在轴）上三点，的焦半径成等差数列的充要条件为，的横坐标（纵坐标）成等差数列以下证明结论13：如图所示，设椭圆方程为（），令，则三点，的焦半径成等差数列=，的横坐标成等差数列同理易证结论14及结论15值得注意的是：上述结论13、结论14、结论15不仅能推广到任意（）个点，而且可以是标准状态也可以是非标准状态下（平移或旋转）的圆锥曲线结论16：椭圆上一个焦点关于椭圆上任一点处的切线的对称点为，则直线必过
24、该椭圆的另一个焦点结论17：双曲线上一个焦点关于双曲线上任一点处的切线的对称点为，则直线必过该双曲线的另一个焦点以下证明结论16：如图所示，设椭圆方程为（），令关于椭圆上任一点处的切线的对称点为，交处的切线于，交处的切线于，由结论4及其对称性容易得到=直线必过该椭圆另一个焦点同理易证结论17结论18：椭圆上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，则有，及两个焦点共于一圆上结论19：双曲线上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，则有，及两个焦点共于一圆上以下证明结论18：如图所示，设椭圆为，令，则切线、法线的方程分别为：，容易得到，推出=同理可证故此五个点在以为直径的圆上同
25、理易证结论19结论20：椭圆上任一点（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点，的切线相交于，则必得到以为直径的圆经过该椭圆的两个焦点结论21：双曲线上任一点（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点，的切线相交于，则必得到以为直径的圆经过该双曲线的两个焦点以下证明结论20：如图所示，设椭圆为，令，则过、顶点、的切线方程分别为：，可得，于是以为直径的圆的方程为将焦点坐标代入上式显然满足，故以为直径的圆经过该椭圆的两个焦点同理易证结论21结论22：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆结论23：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆结论24：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴
26、相切以下证明结论22：如图所示，设椭圆方程为（），令为椭圆上任一点，由焦半径公式得到，不妨设为的中点，由三角形的中位线定理得到=依据初中两圆的位置关系得到此两圆内切同理易证结论23及结论24结论25：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴上）上任一点（非短轴顶点）与短轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，则（或）结论26：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴上）上任一点（非顶点）与实轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，则（或）以下证明结论25：如图所示，设椭圆方程为（），令，由于三点及三点均共线，由共线向量容易得到，同理易证结论26结论27：为焦点在轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则与边（或）相切的旁
27、切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）结论28：为焦点在轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则的内切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）证明结论27：如图所示，设椭圆方程为（），令旁切圆与的延长线相且于，由图和题意易得=证明结论28：如图所示，设双曲线方程为（），令内切圆与，分别相切于，以下只要证明与重合（同一法）即可，由图和题意易得 =由图可得 ，即与重合结论29：是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=以下证明结论29：如图所示，设弦的中点为，过，作相应准线的垂线分别相交于，再过作，由对称性，令=（），在中，由图得到 = 又由作图和椭圆的第二定义易得=上述两式相除推出=结论30：是
28、过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则=以下证明结论30：如图所示，设弦的中点为，过，作相应准线的垂线分别相交于，再过作，由对称性，令=（），在中，由图得到 = 又由作图和双曲线的第二定义易得=上述两式相除推出=结论31：是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=以下证明结论31：如图所示，设弦的中点为，过，作准线的垂线分别相交于，再过作，由对称性，令=（），在中，由图得到 = 又由作图和抛物线的定义易得=上述两式相除推出=此处结论29结论30结论31的证明过程可以拿一个当应用一个当练习结论32：为抛物线的焦点弦，分别过，作抛物线的切线，则两
29、条切线的交点在其准线上结论33：为椭圆的焦点弦，分别过，作椭圆的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上结论34：为双曲线的焦点弦，分别过，作双曲线的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上结论32、结论33及结论34的证明见切点弦专题结论35：为过抛物线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其准线相切结论36：为过椭圆焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）结论37：为过双曲线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为结论38：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线结论39：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，
30、若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆结论40：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为以下同时证明结论35，36，37，38，39，40：显然结论35与结论38互为逆命题，结论36与结论39互为逆命题，结论37与结论40互为逆命题，如图所示，为焦点弦的中点，过，作其相应的准线的垂线分别相交于，由圆锥曲线第二定义及梯形得中位线性质易得=（i）当抛物线=相切；（ii）当椭圆相离；（iii）当双曲线相交此时设相交于，令，则=，即故截得的圆弧度数为定值，且为结论41：为过抛物线（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=结论42：为过椭
31、圆（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=结论43：为过双曲线（）焦点的焦点弦，（，），（，）若为单支弦，则=；若为双支弦，则=只要运用圆锥曲线的第一及第二定义易证结论41、42、43结论44：为抛物线的焦点，是抛物线上不同的两点，直线交其准线于，则平分的外角结论45：为椭圆的一个焦点，是椭圆上不同的两点，直线交其相应的准线于，则平分的外角结论46：为双曲线的一个焦点，是双曲线上不同的两点（同一支上），直线交其相应的准线于，则平分的外角结论47：为双曲线的一个焦点，是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线交其相应的准线于，则平分以下同时证明结论44，45，46：如图所示，过，作其相应的准线的垂
32、线分别相交于，由圆锥曲线的第二定义易得=又由，依据相似得到=由此推出 =平分的外角对于结论47的证明，完全类似于上述推理过程，只是注意左右支各一点而已结论48：是椭圆（）过焦点的弦，点是椭圆上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为结论49：是双曲线（）过焦点的弦，点是双曲线上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为结论50：是抛物线（）过焦点的弦，点是抛物线上异于的任一点，直线、分别交准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为事实上，结论48、结论49、结论50证明过程一样，以下证明结论48：证明如下：不妨设为右
33、焦点，为右准线，设轴、直线分别交于、，过、分别作的垂线，垂足分别为、，如图所示，依据椭圆的第二定义可得 由于得到 由、可得是的外角平分线同理可证是的外角平分线，由于、三点共线，所以，由初中的射影定理可得=八、一题多用的教学价值应用1证明长轴是椭圆最长的弦证明如下：这个结论大家都知道，但真正证明起来却没有几个人说得清，应用椭圆的第一定义并结合向量得到一种简洁而巧妙的证法设是椭圆（）上任意不同的两点，为两个焦点，则有 =+=+ =+ +=（长轴长）等号成立的条件是：与的方向相同，与的方向相同，与的方向相同，即分别为椭圆长轴的两个端点，即为长轴应用2（2009年厦门六中高三模拟题）若双曲线的一个焦点
34、固定，它的两条分支各过一个定点、，求另一个焦点的轨迹图形分析如下：不妨设定点、在双曲线（）左、右支上， 为左焦点，由双曲线第一定义可得，则有=（定值）再由椭圆的第一定义可得另一个焦点的轨迹图形是以定点、为焦点，以定值为长轴长的椭圆应用3（2003年上海市高考试题）给出问题：，是双曲线的焦点，点在双曲线上若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离某学生的解答如下：由双曲线的第一定义可得，或请问该学生解答正确吗？若不正确，指出解答错误分析如下：该学生的解答是错误的，因为由上述结论2易得不小于，故应该舍去，即应用4（2009年厦门一中高二周末练习题）在正方体中，是侧面内的一个动点，若到直线与直线的距离
35、相等，求动点的轨迹图形分析如下：由立体几何知识易得到直线的距离就是，即动点到定点的距离等于到定直线的距离，且定点不在定直线上，由抛物线的定义可得动点的轨迹图形是以定点为焦点，以定直线为准线的抛物线应用5（2004年安徽省合肥模拟试题）已知，点满足：，求的值分析如下：由椭圆的第二定义可得点的轨迹为椭圆，再由椭圆的第一定义可得=应用6（2002年湖南省高中数学竞赛试题）求下列二次曲线的离心率使得动点满足二次方程分析如下： 将已知条件适当变形得到由圆锥曲线的第一定义可得该二次曲线（双曲线）的离心率为应用7（2002年中国数学奥林匹克模拟试题）设是椭圆（）的长轴，若把100等分，过每个分点作的垂线，交
36、椭圆的上半部分于，为椭圆的左焦点，求值：+分析如下：依据椭圆的第一定义可得（，2，99）=由题意可知，关于轴对称分布，因此=+=+=+应用8（2003年湖北省黄冈市模拟试题）设是椭圆上任一点，为椭圆的两个焦点，求的最小值分析如下：我们先推导一般情况：对于椭圆（）来说：= =当且仅当为短轴的端点时等号成立如果令，则得到本题的答案为值得注意的是：本题还可以得到结论：利用上述结论容易解决2004年天津市高考试题：已知椭圆的中心在原点，左、右焦点，在轴上，是椭圆上任一点，且最大值为，过的直线角椭圆于，两点，且最大为12（1）求椭圆的离心率；（2）求椭圆的方程分析如下：（1）由上述结论可得取得最大值时为
37、短轴的端点，即，从而=（2）易得椭圆的方程为应用9（2006年福建省高考模拟试题），为椭圆（）的两个焦点，过的弦的长为，求三角形的周长分析如下：如图所示，由椭圆的第一定义及周长定义易得=+=（+）+（+）=应用10（2007年北京市高考模拟试题），为双曲线（）的两个焦点，过交同一支的弦（即单支弦）的长为，求三角形的周长分析如下：如图所示，不妨令为左焦点，由双曲线的第一定义及周长定义易得，=+=（）+（）+=应用11（课本习题）设，直线与交于，且=，求点的轨迹方程分析如下：由前面所述的圆锥曲线第三定义易得=（5）应用12（课本例题）设，为椭圆的长轴的两个端点，点在椭圆上，则为（ ） 分析如下：由
38、前面所述的圆锥曲线第三定义易得=故选应用13已知，（），若，求的最值分析如下：由椭圆的第二定义的复数形式可得动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，即由椭圆的参数方程即三角换元而得到，=（，），（，）应用14（2004年湖南省高考数学试题）设是椭圆（）的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点（，2，），使得、组成公差为的等差数列，则的取值范围为_分析如下：由上述结论1易得由于是不同的点，于是，我们分两类：（1）当时，则=； （2）当时，则=故的取值范围为应用15过抛物线（）的焦点作两条相互垂直的弦，其长分别为，求证：为定值证明如下：如图所示，依据圆锥曲线的统一定义即极坐标，以焦点为极点，其对称
39、轴为极轴建立极坐标系，那么抛物线的极坐标方程为由题意相互垂直，令，于是得到=+=，=+=（定值）应用16（2003年日照市高考模拟试题）已知双曲线（）的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线交双曲线于，两点，求的大小分析如下：设，则由正弦定理可得依据圆锥曲线第一定义，且运用合分比定理得到事实上，本题可以直接利用专题：焦点三角形的结论5更加简洁，请读者自行推理应用17（2007年江西省高考模拟题）已知圆的方程为，若抛物线，且以该圆的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程分析如下：如图所示，设为圆上任意一点，则过点的圆的切线为准线，那么所在的直线就是抛物线的对称轴，过、分别作切线的垂线，垂足分别为、，由抛物
40、线定义易得 ，由椭圆的定义易得所求焦点的轨迹方程为应用18为等轴双曲线上任一点，为左右焦点，试求的取值范围分析如下：设，由双曲线对称性，不妨设在右支上，依据焦半径可得， 因，即，所以，即.应用19已知椭圆与双曲线有公共的焦点，设是它们的一个焦点，求的面积.分析如下：由对称性，不妨设点在第一象限，由题设.又根据椭圆与双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到=应用20已知椭圆（）的左右焦点分别为，抛物线（）是以为焦点，是椭圆与抛物线的一个交点，证明：=证明如下：令，由椭圆的焦半径定义得到， 由题意椭圆与抛物线共焦点，于是得到，抛物线的准线为，依据抛物线定义可得 由与推出过分别作抛物线的准线及轴的垂线，
41、垂足为，如图所示，则=在及中，=，=应用21.（2006年全国高考试题）如图所示，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T延长FT交双曲线右支于P点。若M为线段FP的中点，O为坐标原点，试判断与的大小关系分析如下：设右焦点为，由双曲线的第一定义得到= = =在中，故应用22.（2005年四川省高考试题）双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，证明以线段及为直径的两圆一定内切证明如下：设双曲线的另一个焦点为，线段的中点为，在中，为的中点，为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆一定内切应用23.（2002年湖南省高考试题）已知，三点，若椭圆的一个焦点为，且过两点，求此椭圆的另一个焦点的轨
42、迹分析如下：设椭圆的另一个焦点为，由椭圆的第一定义得到故椭圆的另一个焦点的轨迹是以，为焦点的双曲线的单支（左支）应用24. （2004年湖南省数学竞赛试题）设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，则_.分析如下：由第四定义可得.应用25一动圆与圆：外切，同时与圆：内切，求动圆圆心的轨迹方程.分析如下：由题意，则，由原始定义易得动圆圆心的轨迹方程为.应用26（2010年福建省质检试题）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为其一个焦点（1）求双曲线的方程；（2）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任何直线交椭圆于，线段的垂直平分线交轴于，则
43、为定值，且等于”该命题中涉及了这么几个要素：给定圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴交于类比上述命题，写出一个关于双曲线的类似正确命题，并加以证明；（3）试推广上述（2）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题分析如下：易得双曲线的方程为，由结论29、30及31可得=应用27已知，且表示一条圆锥曲线，求此曲线的离心率分析如下：令，则 设复数，对应的点分别为，此时，以、为邻边作一个平行四边形，由平行四边形的性质可得 由、消去得到由上述圆锥曲线的第一定义（复数定义）可知对应的点的轨迹为长轴长为4，焦距为2的椭圆，故应用28（2011年湖北省高考试题）平面内与两定点，（）连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上两定点，所成的曲线可以是