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1、学习必备欢迎下载新人教版五年级数学下册期末复习第一章、图形的变换一、轴对称。 （一） 、熟记知识。 1、轴对称图形。如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（1） 、轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有多条对称轴。（2） 、图形重合时，互相重合的点叫做对应点。互相重合的线段叫做对应线段。2、轴对称图形的性质和特征。（1）对应点到对称轴的距离是相等的。连接对应点的连接线是互相垂直的。（2）沿对称轴对折，对应点、对应线段都重合。3、轴对称图形的画法。（1）找关键点：找出图形的关键点，分别用字母表示。（2）数格：数出这些点到对称轴有几格。（3
2、） 、描对称点：在对称轴的另一侧找出对应点，每组对应点到对称轴的距离相等地。(4) 连线：按顺序连接原图形关键点的对称点，就画出了所给图形的轴对称图形。如：在方格纸上画出下面图形的轴对称图形。画法： （1）根据对称轴，先找到 B点的对应点 B。 （对应点在对称轴上时， 本身重合，不用再找，如点 A和点 C）（2） 按顺序连接对应点A、 B、 C， 就得到了原图形的轴对称的图形。二、旋转（一） 、熟记知识。 1、旋转把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。（1）物体旋转时所绕的点就是旋转点。在叙述物体旋转时，应说出旋转中心、旋转方向和旋转角度。（2） 旋转时，与钟表中指针的旋转方向
3、相同的方向称为顺时针方向；与钟表中指针的旋转方向相反的方向称为逆时针方向。（3） 旋转角度：对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。2、图形旋转的性质和特征。（1）图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，只是位置变化了。（2）图形绕某一点旋转一定的度数，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的度数，对应点到旋转点的距离相等地，对应角相等地。3、简单图形旋转 90o后的画法。【例 1】画出三角形 AOB 绕点 O逆时针旋转 90o后的图形。 分析：三角形 AOB 绕点 O逆时针旋转 90o，每条线段都逆时针旋转90o，分别在点 O的左侧作 OA的垂线和 OB的垂线，使线段 OA等于线段 OA，线
4、段 OB等于线段 OB，再连接 AB就完成了。三、欣赏设计 （一） 、熟记知识1、运用平移设计图案的方法（1）选好基本图案；（2）根据所选图案的特点，确定平移的格数（或距离）和平移的方向。（3）依据平移的格数（或距离） 、方向进行平移。2、运用旋转设计图案的方法（1）选好基本图案。（2）根据所选的基本图案确定旋转点和旋转角度。（3）依次沿每次旋转后的基本图形的边缘画图。3、运用对称设计图案的方法（1）选好基本图案。（2）依据基本图案特点定好对称轴线(3) 画出基本图案的对称图形。 第二章、因数与倍数一、因数与倍数。 （一） 、熟记知识。 1、因数、倍数的意义。在乘法算式中，用乘号边接的两个数，
5、是积的因数，积叫每个因数的倍数。2、找一个数的因数的方法（1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载地写出两个整数乘积得此数的所有乘法算式，算式中的每个因数都是该数因数。（2）列除法算式找：用此数除以大于等于1 而小于等于它本身整数，看哪些整数作除数时，所得的商是整数而无余数时，这些除数和商都是该数的因数。3、表示一个数的因数的方法。（1）列举法：把这个数的因数按从小到大的顺序排列，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完用句号结束。（2）用集合表示：画一个椭圆，把这个数的因
6、数按从小到大的顺序有规律地写在椭圆里，每两个因数之间也用逗号隔开，全部写完后，不用加句号。4、找一个数的倍数的方法（1）列乘法算式找：用这个数，依次与非零自然数相乘，所乘之积就是这个数的倍数。（2）列除法算式找：看哪些数，除以这个商是整数而无余数， 这些数都是这个数倍数。5、一个数的倍数的表示方法也有两种：列举法和集合表示法，所不同的是由于一个数的倍数有无数个，所以在列举出这个数的倍数后，写一个逗号，其余的倍数用三个点省略号表示。（二）思路与方法一个数的因数的个数是有限的， 其中最小因数是 1， 最大因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，一个的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。【例】妈妈买
7、来 30 个苹果，让小明把苹果放入篮子。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有几种拿法？每种拿法各拿几个？分析：每次拿的个数相同，最后正好一个不剩，可以知道每次拿的个数应是30的因数。由于不能一次拿完，也不能一个一个地拿，应去掉1 和它本身 30 这两种拿法。解：30的因数有 1，2，3，5，6，10，15，30 共 8 个。8-2=6（种）答：小明共有 6 种拿法，每种拿法每次分别拿2 个、3 个、5 个、10 个、15 个二、2 的倍数特征 （一） 、熟记知识。 1、2 的倍数特征个位上是 0，2，4，6，8，的数是 2 的倍数。如： 10，1
8、2，24，36，48， ；2 的最小倍数是 2 本身。2、偶数在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（ 0 也是偶数） 。偶数就是我们以前说的双数。3、奇数在自然数中，不是2 的倍数的数叫做奇数。如1，3，5，7，9， ，也就是我们说的单数。（二）思路与方法1、0 是 2 的倍数， 0 也是偶数。2、自然数的个数是无限的，偶数的个数也是无限的，没有最大的偶数，最小的偶数是0。奇数的个数也是无限的，没有最大的奇数，最小的奇数是1。3、自然数可以分为奇数和偶数两类。4、奇数和偶数的运算性质奇数奇数 =偶数； 偶数偶数 =偶数； 奇数偶数 =奇数； 奇数奇数=奇数； 偶数偶数 =偶数； 奇数偶数 =
9、偶数。三、5 的倍数特征 （一） 、熟记知识。1、5 的倍数特征个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。 2、同时是 2 和 5 倍数的特征同时是 2 和 5 的倍数，也就是 10 的倍数，这个数的个位只能是 0。3、100以内 5 的倍数，如下所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载5，15，25，35，45，55，65，75，85，95，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100 四、3 的倍数特征（一） 、熟记知识。1、3 的倍数特征一个数各个数位上的数字的和是3 的倍数
10、，这个数就是 3 的倍数。2、同时是 2、3 和 5 的倍数特征（1）同时是 2 和 3 的倍数，个位上必须是0，2，4，6，8，且各个数位上的数字的和是3 的倍数。（2）同时是3 和 5 的倍数，个位上必须是0 或 5，且各个数位上的数字的和是3的倍数。（3）同时是 2、3 和 5 的倍数，个位数字是0 且各个数位上的数字的和是3 的倍数。五、质数和合数（一） 、熟记知识。1、质数一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如： 2，3，5，7 都是质数。2、合数一个数，如果除了1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。例如： 4，6，100，1234都是合数说明
11、： （1）1 既不是合数，也不是质数。质数有两个因数，合数有两个以上因数，1 既不符合质数的意义，也不符合合数的意义，因此 1 既不是质数，也不是合数。（2）质数中只有 2 是偶数。2 是惟一的偶质数。除2 以外，其余的质数都是奇数。3、制作 100 以内质数表的方法（1）根据质数、合数的意义找出100 以内的质数，然而制成表格。（2）用“筛法”找出100 以内质数，划支10 以内质数的所有倍数（它的本身除外），找出 100 以内的质数，然后制成表格。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 （
12、二）思路与方法在质数和合数的问题上容易出现如下错误判断：1、所有的奇数都是质数。这个说法显然是错误的。因为象9，15，21 等都是奇数，但它们却是合数，因此所有的奇数都是质数。奇数不一定是质数。2、所有偶数都是合数。这种说法也不对。因为2 这个数是偶数，但它就不是合数而是质数。3、自然数中除了质数都是合数。 这种说法也不对。 因为自然数中， 1 既不是质数， 也不是合数。下确的说法是：自然数中，除了0、1 以外，不是质数就是合数。第三章、长方体和正方体的认识一、 长方体（一） 、 熟记知识。1、长方体的认识顶点棱长方体是由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长
13、方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。2、 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、 高。高宽长3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽b、高 h。长方体的棱长总和 =4（ +b+h）面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载如：在一个长方体中，从一个顶点出发的三条棱的和是7.5 分米，这个长方体的棱长总和是多少？47.5=30（分米）二、正方体（一） 、熟记知识。1、正方体的认识棱顶点棱正方体（也叫做立方体）是由6 个完全相同的正方形围成的立体图形。2、正方体可以看成是长
14、、宽、高都相等的长方体。三、长方体和正方体的表面积（一） 、熟记知识。长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。长方体表面积（长宽长高宽高）2 长方体没盖的表面积长宽（长高宽高）2 正方体表面积棱长棱长6 （任意一个面积 6）正方体没盖的表面积棱长棱长5 四、体积和体积单位（一） 、熟记知识。1、体积的意义物体所占空间的大小叫做物体的体积。2、体积的单位计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米（cm 3） ，立方分米（dm 3）和立方米（m 3） 。 （1）棱长是 1 cm的正方体，体积是 1 cm 3，约为一个手指尖的大小。（2）棱长是 1 dm的正方体，体积是 1 dm 3，
15、约为一个粉笔盒的大小。（3）棱长是 1m的正方体，体积是 1m 3，用 3 根一米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈定的空间大小是1m 33、要计量一个物体的体积，就要看它包含多少个体积单位。（二）思路与方法1、体积和表面积的区别：体积是物体所占空间的大小，计量体积用体积单位领导表面积是物体表面的面积，计量表面积用面积单位。两者之间是不能比较大小的。2、观察生活中的物体，估计它们的体积可以用对比的方法。【例】写出下列物体的体积单位。（1）一枝铅笔的体积约是10（） 。（2）收录机的体积约是2（） 。五、体积的计算（一） 、熟记知识。1、长方体和正方体体积的计算方法（1）长方体体积长宽高V=
16、 bh 正 方 体 体 积 棱 长 棱 长 棱长V=33表示 3 个相乘，即，读作的立方。 2、体积公式的统一长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体 ( 或正方体 ) 体积底面积高V=sh 3、在工程上，“1 m 3”的土、沙、石等均简称“方”。（二）思路与方法1、求长方体和正方体的体积时，要看清条件和问题，注意长、宽和高的单位名称是否统一。如果单位不统一，要先统一单位才能计算。【例 1】一根长方体木料，长4m ，横截面的面积是0.08m2，这根木料的体积是多少？V =sh =0.084 =0.32（m3）答：这根木料的体积是0.32m3。2、长方体体积公式的应用。面精选学习资料 - -
17、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载（1）已知长方体的长、宽、高，求长方体的体积，可以直接用公式V=bh 计算。（2）已知长方体体积 V、长、宽 b、高 h 四个量中的任意三个量，都可以求出第四个量。即： =Vbh= V （bh） b =V h= V （ h） h =V b= V（ b）3、当所给的已知条件不能直接应用时，要把已知条件适当转化。【例 2】一根长方体木料，把它截成两段后，正好是两个完全一样的正方体， 表面积增加了 32 dm 2， 这根长方体木料的体积是多少？分析：木料的体积应该等于两个正方体的体积和。所以需
18、要知道正方体的棱长，根据表面积增加了32dm 2，可知原木料的的底面积是322=16（dm 2） ，所以正方体棱长为 4dm 。解：322=16（dm 2）164=4（dm ）243=2444 =128（dm 3）答：这根长方体木料的体积是128dm 3。六、体积单位间的进率（一） 、熟记知识。1、相邻体积单位间的进率相邻体积单位 间 的 进 率 是1000 。1dm3 =1000 cm31 m3=1000 dm 32、体积单位间的互化。(1) 由低级单位化成高级单位， 用低级单位的数除以进率，或把低级单位的数的小数点向左移动与进率相应的位数。（2）由高级单位化成低级单位，用高级单位的数乘进率
19、，或把高级单位的数的小数点向右移动与进率相应的位数。1 m31 dm31 dm 31 cm 3（二）思路与方法长度单位、面积单位、体积单位的比较七、容积和容积单位（一） 、熟记知识。1、容积的概念箱子、油桶、仓库等能容纳别的物体，它们被称为容器。箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。注意：容积和体积都是同一容器的两个方面的特征，容积的计算方法与体积相同，但尺寸的取法不同。2、容积的计量（1）容积的计量单位一般用体积单位。（2）计量液体的体积常用容积单位升（ L）和毫升（ ml） 。1L=1000ml （ 3 ） 容 积 单 位 与 体 积 单 位 的 关 系 。1L=1 d
20、m31ml=1 cm 33、规则物体容积的计算计算规则物体容积的方法与体积的计算方法相同。注意最后的结果通常用容积单位表示。4、不规则物体体积的计算测量不规则物体的体积可以用排水法。利用有刻度量杯记录下放入不规则的物体前后水位的刻度，水面上升的那部分体积就是不规则物体的体积。也可以把容器装满水，把不规则的物体放入容器里，水就会溢出。测量溢出水的体积，溢出水的体积就是不规则物体的体积。在一量杯中放入200 ml 的水，然后把干净的土豆放入量杯中，观察量杯中水面上升的高度，水面上升350 ml 处。用 350 ml 减去200 ml，就是土豆的体积。答：土豆的体积是150 ml。（二）思路与方法相
21、同体积的水，在不同容器中所占的容积是悄变的，但是如果容器的底面积不同，那么它们的高度也是不同的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载【例 2】有甲、乙两个水箱，从里面测量, 甲水箱长 12 dm 、 宽 8 dm 、 高 5 dm ， 乙水箱长 8 dm 、 宽 8 dm 、 高 6 dm 。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水面高度一样。现在两水箱睥水面高多少分米？分析：现在甲、乙两个水箱中的水的体积是原甲水箱中水的体积。甲、乙两水箱高度一致，水的体积就是甲、乙水箱
22、底面积之和乘水高，所以，水的高度就等于水的体积除以甲、乙两水箱的底面积之和。解：1285（128+88）=480（96+64）=480160 =3（dm ）答：现在两个水箱的水面高度是3 dm 。第四章、分数的意义的性质一、分数的产生和意义（一） 、熟记知识。1、分数的产生实际生活中，在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。2、单位“ 1”的含义一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1 来表示，通常把它叫做单位“ 1”也叫做整体“1” 。3、分数的意义（1）把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。如：3 5 表示
23、把单位“1”平均分成 5 份，取其中的 3 份。（2）把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。如：15 、17 、115 、1 8 都是分数单位。（3）分数都是由若干个分数单位组成的。如：34 是由 3 个 14 组成的， 58 是由 5 个 18 组成的， 49100 是由49 个 1 100 组成的。【例】把 3k糖平均成5 份。每份是 3k的几分之几？是 1k的几分之几？分析：每份是 3k的几分之几，是把 3k看作单位“1” ，平均分成 5份，表示这样的一份，所以是3k的 1 5 ；而 3k的 15 是 3 5 k，又是1k的 3 5 。答：每份是 3k的1 5 ，
24、是 1k的3 5 。二、分数与除法（一） 、熟记知识。1、分数与除尘两个数相除不能整除时，它们的商可以用分数来表示，它们的关系是：被除数除数 = （除数不为 0）用字母表示就是： b= (b0) 2、分数与除法的联系与区别分数的分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。区别在于除法是一种运算，它有运算符号，是算式，而分数是一个数。3、求一个数是另一个数的几分之几（1）求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法：用一个数另一个数= 即比较量标准量= 。得到的商是表示两个数的关系，没有单位名称。（2）具体解决问题时，有两种思考方法，如：鸡有3 只，鸭有 5
25、只。鸡的只数是鸭精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载的几分之几？从分数线意义入手：把5 只看做整体，平均分成5 份，每份一只， 3 只就是 3 个 15 ，也就是 35 从倍数的关系入手：可以用除法计算，列式为：35 = 三、真分数和假分数（一） 、熟记知识。1、真分数的意义和特征（1）意义：分子比分母小的分数叫做真分数。（2）特征：真分数小于1。2、假分数的意义和特征（1）意义：分子比分母大的分数叫做假分数。（2）特征：真分数大于 1 或等于 1。3、假分数分为两种情况（1）分子恰好是分母的倍数的假
26、分数。如：55 ；82 。（2）分子不是分母的倍数的假分数。如：94 ；8 3 。四、带分数和假分数（一） 、熟记知识。1、带分数的意义。由整数 （不包括 0） 和真分数合成的分数叫做带分数。 如： 1、 7、 8 2、带分数的组成及读、写。（1）带分数的组成：带分数由两个部分组成，带分数中的整数（不包括0）叫做事分数的整数部分，带分数中的真分数叫做带分数的分数部分；也就是说带分数是由整数和真分数合成的数，因此，带分数大于1。(2) 带分数的读法：带分数读法与以往分数不同，先读带分数的整数部分，整数部分是几就读几，然后读分数部分，分数部分按照几分之几的方法去读，分数部分和整数部分中间加个“又”
27、字。如：1读作 1 又三分之二。（3）带分数的写法：先写整数部分，后写分数部分， “又”前面的数是整数部分“又”后面的数是分数部分。如:作八又四分之三写作：。3、把假分数化成整数或带分数把假分数化成整数或带分数，要用分子除以分母。（1）能整除的，所得的商就是整数。如：= 124 = 3。用分子除以分母，不能整除的，商就是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。用式子表示为：如：52 =52=212 。4、把整数或带分数化成假分数（1）把整数化成假分数，用指定的分母作分母，用分母和整数的乘积作分子。如：2=。6 = 。（2）把带分数化成假分数，用原来的分母作分母，用分母和整数的乘积再加
28、上原来的分子用分子。用式子表示为：五、分数的基本性质（一） 、熟记知识。1、分数的基本性质分数的分子和分母同乘或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。如：2、在分数的基本性质中，“0 除外”的原因如果分数的分子、 分母都乘 0，则分数的分母为0，而分母不能为 0 的，因而分数的分子、分母都不能为0，所以分数的分子、分母都不能同时乘0；又因为在除法里0 不能作除数，所以分数的分子、分母也不能同时除以0。3、 “分数的基本性质”与“商不变的规律”之间的联系与区别精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载联
29、系：回顾分数与除法的关系： 分数的分子相当于除法中的被除数，分数的分母相当于除法中除数。在除法中被除数与除数都乘或除以相同的数（ 0 除外） ，商不变。所以，在分数中，分数的分子和分母都乘或除以相同的数（ 0 除外） ，分数的大小不变。区别： “商不变的规律”是一种运算，它有运算过程，是一个算式运算过程中的变化规律，而“分数的基本性质”是对一个分数本身的变化规律的描述。（二）思路与方法运用分数的性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数，必须是分数的分子和分母都乘（除以）相同的数（ 0 除外） ，而不能只乘（除以）分母或只乘（除以）分子。【例 1】把 14 和 5 6 化成分母是
30、12 的分数。【例 2】把 45 48 的分子减去 30。如果改变分数大小，分母应减去多少？分析: 根据分数的基本性质， 找出分子乘或除以的数， 再让分母乘或除以相等的数。解：分子 45-30=15 即分子 45 除以 3 分母 48 除以 3 分母 483=16 48-16=32 分母应减去 32 答：分母应减去32。六、最大公因数（一） 、熟记知识。1、公因数（1）意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。（2）公因数的表示方法如：找出 15 和 18 的公因数。15 的因数18 的因数公因数15和 18的公因数是 1、3 2、最大公因数几个数的公因数中最大的一个叫最大公因数。如：15
31、和 18的最大公因数是 3。3、找两个数的公因数和最大公因数的一般方法。先分别找出两个的因数， 再从中找出它们的公因数。 除了以上方法，也可以先找出其中一个数的因数，再判断这些数中哪些因数也是另一个数的因数，那些数就是这两个的公因数。再从中找出最大公因数。（二）思路与方法1、两个数的公因数可能有1 个或多个， 但两个数的最大公因数只有1 个。2、当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个5、15 1、3 2、6、918 的最大公因数。如： 3 和 9 的最大公因数是 3。七、约分（一） 、熟记知识。1、最简分数一个分数的分子分母只有公因数1，就是最简分数。（1） 分子和分母是两个相邻的自然数 （0
32、 除外） 一定是最简分数。（2）分子和分母是两个不同的质数的分数一定是最简分数。（3）分子是 1 的分数一定是最简分数。2、约分的意义把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载分。3、约分的方法（1）逐步约分法：用分数的分子和分母的公因数（1 除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数。（2）一次约分法：用分数的分子、分母的最大公因数去除分子和分母就得到最简分数。【例 1】把 30 48 化成最简分数逐步约分法：5 一次约分法： 5 15 304
33、8 =5 8 3048 =5 8 8 24 8 （二）思路与方法1、约分技巧（1）当分数的分母是分子的倍数时， 约分时分母和分子同时除以分子，约分后就是几分之一。（2）当分数的分母的和分子都是整十、整百数时，约分时可以划去分子、分母末尾同样多的0 后再约分，这样更简便。（3）当分数的分子和分母都是偶数时，可以先用2 去除。（4） 公因数只有 1 的两个数组成的分数一定是最简分数。如：57 ，7 5 。2、当分数的分子和分母同时加或同时减一个数时，应抓住分子和分母差不变的这个“不变量”进行分析，再转化并解答。【例 2】分数 5 13 的分子、分母同时加上一个数约分后得1 2 ，同时加上的这个数是
34、多少？分析： 513 的分母比分子多 8，1 2 的分母比分子多 1，因为同时加上一个数，分子和分母的差就应是不变的，从 1 到 8 应扩大 8 倍，也就是应将 12 的分子和分母同时扩大到原来的 8 倍，分子的差才是 8。12 的分子、分母同时扩大8 倍是 8 16 ， 用 8 减去 5 或 16 减去 13就得到分子、 分母同时相加的数。解： （13-5）（ 2-1）=8 8-5=3（或 16-13=3） 。八、最小公倍数（一） 、熟记知识1、公倍数（1）意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。（2）公倍数的表示方法也有两种：列举法和集合法。2、最小公倍数的意义几个数的公倍数中最小的
35、一个，叫做这几个数的最小公倍数。3、求最小公倍数的方法（1）列举法：分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。（2）先写出两数中较大数的倍数， 然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数的倍数，第一个圈的数就是它们的最小公倍数。（3）如果两数成倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数。（4）如果两个数是互质数， 那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。（二）思路与方法1、一个数的倍数是无限的，几个数公倍数也是无限的，但几个数最小公倍数只有一个。2、分解质因数法求两个数的最小公倍数：分别把两个分解质因数，相同的质因数对齐写， 独有的质因数单独写， 然后相同的质因数取1精选学习资料 - -
36、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载个，独有质因数都取出，把它们乘起来，积就是最小的公倍数。如：4=22 6=23 4 和 6 的最小公倍数是223=13。【例】一群小朋友分组做游戏，第一次分组每组4 人余下 2 人，第二次分组每组5 人也余下 2 人，部最少有多少个小朋友做游戏？分析：根据题意， 要求最少有多少名小朋友做游戏，就是在求 4 和 5这两数的最小公倍数后，再加上2。解：4 和 5 的最小公倍数是 20 20+2=22（人）答：最少有 22 个小朋友做游戏。九、通分（一） 、熟记知识1、公分母把异分母分数化成同
37、分母分数，这个相同的分母叫做它们的公分母，最小的一个数叫做最小公分母。2、通分的意义把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。通分时要运用分数的基本性质。3、先求出原来几个分母的最小公倍数，然后利用分数的基本性质把各分数分别化成这个最小公倍数作分母的分数。4、分数大小的比较方法（1） 分母相同：分母相同，分子不同的两个分数， 分子大的分数大。（2） 分子相同：分子相同分母不同的两个分数， 分母小的分数大。（3）分子、分母不相同时分数通分后按（1）方法比较。（二）思路与方法1、约分与通分的相同点和不同点相同点：依据都是分数线的基本性质， 且都要保持分数大小不变。不同点：约分只对一个
38、分数进行，而通分至少对两个分数进行；约分是分子和分母同除以一个不等于零的数，而通分则分子、分母同时乘一个不等于零的数；约分的结果是最简分数，通分的结果是同分母分数。2、带分数的方法带分数进行通分时，整数部分不变，只要把分数部分通分，但不能丢掉整数部分。如：和通分。【例】比较 58 和 6 13 的大小分析：比较分数大小的方法很多，可以把这两个分数化成分子相同的分数进行比较。也可以找中间量12 进行比较， 58 的中间数是8 份中的 4 份，5 份大于 4 份，所以；6 13 的中数应是 13 份中的 6.5 份，所以，因此能比较出 58 和 6 13 的大小。解：方法一：， ，因为，所以。45
39、 = 45=0.87 15 =7150.467 38 =38=0.375 8 25 =825=0.321 = 2720=1.3510 21 = 10210.476 第五章、分数的加法和减法一、同分母分数加、减法（一） 、熟记知识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载1、分数加、减法的意义（1）分数加法的意义：分数加法的意义与整数加法的意义相同，是把两数合并成一个数的运算。（2）分数减法的意义：分数减法的意义与整数减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。2、同分母分数加、减
40、的计算法则同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。计算结果，能约分的要化成最简分数。（二）思路与方法1、计算同分母分数加法时，应避免用分子与分子相加、分母与分母相加的错误计算方法，牢记法则中的分母不变的道理。2、计算的结果，能约分的在约分成最简分数j 假分数的，一般在化成带分数或整数。3、分子是 0 的分数等于 0。【例 1】计算：= 错因分析计算方法错误。同分母分数相加，分母不变，分子相加。正解+ = = 1 【例 2】计算：错因分析计算结果 2 8 没有化成最简分数，应化成最简分数。正解二、同分母分数连加与连减（一） 、熟记知识1、同分母分数连加的计算同分母分数连加，可以按照整数连加
41、的方法从左向右计算，也可以直接把每个加数的分子连加起来，分母不变。2、同分母分数连减的计算同分母分数连减，可以按照整数连减的方法从左向右计算，也可以直接用被减数的分子连续减去减数的分子，分母不变。3、在计算过程中如果出现“ 1” ， “1”可以化成任意一个计算时需要的分子和分母相同的分数。最后结果都要化成最简分数。（二）思路与方法根据计算能力的不同，在计算同分母分数连加、连减运算时可以采用不同的计算方法。【例 1】计算解：方法一：= = =1 方法二：= =1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载【
42、例 2】计算解：方法一：= 解：方法二：= 三、异分母分数加、减法（一）熟记知识1、异分母分数加、减法的计算法则异分母分数相加、减，要先通分，化成怀分母分数，然后按照同分母分数加、减法的法则进行计算。如：2、异分母分数加、减法的应用应用异分母分数加、减法解决问题，要根据加、减法的意义来列式解答。3、分子是“ 1”的异分母分数加、减法的计算。（1）分子是“ 1”的两个异分母分数相加，可以用分母的积作新分母，分母的和作新分子，即：（2）分子是“ 1”的两个异分母分数相减，可以用分母的积作新分母，分母的差作新分子，即：四、分数加减混合运算（一） 、熟记知识1、分数加减混合运算的顺序分数加减混合运算的
43、运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的按照从左至右的顺序进行计算；有括号的先算括号里面的，然后算括号外面的。如：= = 2、分数加减混合运算的计算方法异分母分数加减的混合运算，计算过程中，如果没有括号，几个分数可以一次性通分进行计算；也可以分步通分，分步计算。（二）思路与方法1、 进行分数加减混合运算时， 应按照运算顺序和运算性质进行计算，不应随便改变运算顺序，致使结果错误。2、分数加减混合运算通常都是用一次通分、一次计算的方法进行计算。通分时，要用几个分母的最小公倍数做分母，计算时要看清运算符号。有括号的加减法，一般先将括号里的分数通分，不要一次通分。【例】计算。（1）（2）精选学
44、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载= = = = = = 五、分数加减简便运算（一）熟记知识1、整数加法的交换律、结合律对分数的加法同样适用范围；整数加减混合运算的性质对分数加减混合运算也同样适用。应用运算定律和运算性质，可以使运算简便。加法交换律：+b=b+加法结合律： （+b） +c=+(b+c) 减法性质：-b-c= -(b+c) 2、去括号法则（1）一个数加上两个数的差，等于先与括号里的被减数相加，再减去括号里的减数。即： +(b+c)= +b-c （2） 、一个数减去两个数的和，等于用这个数依
45、次减去括号里的两个数。即： -（b+c）= -b-c 3、加减混合运算中，改变各部分运算顺序，结果不变。即： +b-c=-c+b -b-c= -c-b 【例1】用简便方法计算下面各题（1）（2）=1+1 =2 （二）思路与方法计算分数加减混合运算时，要注意观察分数的分子、分母有什么特点，考虑能不能进行简便计算。如分母相同的先计算，可以凑整的先计算等等。【例 2】计算分析：题中的两个加数的分母相同，两个减数的分母也相同。可以进行简便运算。解：=26 9 =7 练习：解方程X- = 第六章统计一、众数（一）熟记知识1、众数在一组数据中，出现次数最多的数，是这组数据的众数。2、众数的特征众数能够反映
46、一组数的集中情况。3、统计量的选择选择统计量来表示数据的特征，要根据所给数据的具体情况和中位数、众数、平均数的特征，来做出恰当的选择。4、在一组数据中，众数可能不只一个，也可能没有众数。如：88、87、85、88、87、86、90、94、87、88、90、94、87、88、94、95、92、91、96，在这组数据中 87和 88 出次数都是 4 次，那么 87 和 88都是这组数据的众数。又如：8.2 ，8.3，8.4 ，8.5 ，8.6 ，8.7 这组数据中没有一个数重复出现，这组数据就没有众数。（二）思路与方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
47、- - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载平均数、中位数、众数的相同点和不同点1、相同点：它们都是描述一组数据集中情况的统计量。2、不同点：描述的角度和适用范围不同。（1）平均数：应用范围最广泛，用它作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中每一个数据都有关系，能够最充分地反映这组数据所包含的信息，在进行统计推断时有重要的作用，但容易受到极端数据的影响。（2）中位数：在一组数据的数值排序中处于中间的位置，在统计学分析中扮演着“分水岭“的角色，由中位数可以对事物的大体情况进行判断和掌控。（3）众数：着眼于对各数据出现的次数的考察，其大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中
48、有不少数据多次重复出现时，它的众数往往是人们关心的一种统计量。【例】南方电子公司全体员工工资情况统计如下表：（1）这组数据的平均数、众数各是多少？（2）你认为哪个数据代表这个公司员工工资的一般水平比较合适？分析： （1）这组数据中出现次数最多的数是1800，所以众数是 1800；平均数可以通过计算求出。（2）用众数代表这个公司员工工资的一般水平比较合适，因为它反映的是大多数人的工资水平。解：平均数=2292（元）众数为 1800。（2）用众数代表这个公司员工工资的一般水平比较合适。二、复式折线统计图（一）熟记知识1、复式折线统计图在统计过程中存在两组数据，又需要在一个统计图中表示这两组数据，就
49、要用两种不同羊肠顔色（或其他形式）的折线来表示不同数量的变化情况的折线统计图，这就是复式统计图。2、复式统计图的特点。复式统计图不但能表示出两组数据各自数量的多少，数量增减的变化情况，而且还可以对两组数据进行比较。3、读懂复式统计图（1）观察方法：横向观察，观察横向轴线数据所表达的含义；纵向观察，观察纵向轴线数据所表达的含义；比较观察：可以单向对比一条折线图前后的变化，还可以双向比较两条折线图，进行数量间的对比，找出差异。（2）变化趋势分析：观察拆线图的走势，折线图起始点数据低而终端数据较高，则数量呈上升趋势；如果起始数据、中间数据、终端数据变化不大，则数据平稳地；起始数据高，终端数据较低，则
50、数据呈下降趋势。（二）思路与方法制作复式统计图的方法1、写出统计图的标题，标题写在图的正上方，在标题右下方标明制作图日期（也有不写日期的）。2、根据两组数据的多少和图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。3、用横轴（水平射线）表示项目。4、 、在纵轴（即与水平射线垂直的射线）上用一定的单位长度表示一定的数量。5、用两种不同的图例表示两种不同的量。6、按照数据大小，分别描出两组数据的各点，再根据图例连接各点。000000000000000000000000000000000000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习