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1、第二章：实数知识梳理【无理数 】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如： 2.010 010 001 000 01（两个1 之间依次多1 个 0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不为 0 的有理数结果是无理数。如2, （5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：）3. 有理数与
2、无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例： （1）下列各数： 3.141 、 0.33333 、75、252.、32、 0.3030003000003 （相邻两个3 之间 0 的个数逐次增加2） 、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数 :0.125125 ,0.1010010001 ,-,4,32其中无理数有 ( )个【算术平方根】 ：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x 就叫做 a 的算术平方根，
3、记为： “a” ，读作， “根号 a” ，其中， a 称为被开方数。例如32=9，那么 9 的算术平方根是3，即39。特别规地， 0 的算术平方根是0，即00，负数没有算术平方根2. 算术平方根具有双重非负性：（1）若a有意义， 则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。3. 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例： （1）下列说法正确的是（）A1 的立方根是1； B24； （C） 、81的平方根是3；（ D） 、0 没有平方根
4、；（2）下列各式正确的是（）A、981 B、14.314.3 C 、3927 D、235精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页（3）2)3(的算术平方根是。 （4）若xx有意义，则1x_。（5）已知 ABC的三边分别是,cba且ba,满足0)4(32ba，求 c 的取值范围。（6） （提高题）如果x、y 分别是 43 的整数部分和小数部分。求x y 的值 . 平方根：1. 定义：如果一个数x 的平方等于a，即ax2，那么这个数x 就叫做 a 的平方根；，我们称 x 是 a 的平方（也叫二次方根） ，记做：)0(aax2.
5、 性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0 只有一个平方根，它是0 本身；（3）负数没有平方根例（1）若x的平方根是 2，则 x= ；16的平方根是（2）当 x 时，x23有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和 m-4，则 m的值是多少？这个正数是多少？3.的性质与22)0()(aaa（1）77)0()22）如：（aaa（2）|2aa中， a可以取任意实数。如5|5|523|3- |3-2）（例： 1. 求下列各式的值（1）27（ 2）27- ）（3）249-）（2. 已知1)12aa（，那么 a 的取值范围是。3. 已知 2x3, 化简|3|)-22xx（。【立方根】1
6、. 定义： 一般地，如果以个数x 的立方等于a，即 x3=a,那么这个数x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a，读作， 3 次根号 a。如 23=8，则 2 是 8 的立方根， 0 的立方根是0。2. 性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1 ，-1. 例：（1） 64 的立方根是（2） 若9 .28,89. 233aba， 则 b 等于（3）下列说法中：3都是 27 的立方根，yy33，64的立方根是2，4832。其中正确的有（） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个【估算】用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近
7、似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法” ，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页分。“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m ，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m ，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。方法点拨： 解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。例： 估算下列各数的大小（1）（误差小于1 .0327（2）（精确到1.0327（3）（误差小于
8、133453用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：（1）若 ab0, 则ba（2）若 ab，则3333baba或（3）若 a、b 都为正数，且ab 时，则 a2b2例：通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小：方法一：估算法。如310 4 方法二：作差法。如ab 则 a-b 0. 方法三：乘方法. 如比较3362与的大小。例：比较下列两数的大小（1）2123-10与（2）5325与【实数】定义： （1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没
9、有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1 。（2）实数也可以分为正实数、0 负实数。实数的性质： 实数 a 的相反数是 -a ；实数 a 的倒数是a1（a0） ；实数 a 的绝对值 |a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0 大于负数；正数大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）
10、 。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算： 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例： （1）下列说法正确的是（） ；A、任何有理数均可用分数形式表示； B 、数轴上的点与有理数一一对应；C、1 和 2 之间的无理数只有2； D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( ) A、ba B、ab C、ba D、ab（3）比较大小 ( 填
11、“ ”或“ 0，则 ab=1； （）2把下列各数分别填入相应的集合里| 3| ，213， 1234，227 ,0 ，9 , 318 , 2 ,8 , (2 3 )0，3 2，ctg45 ,1.2121121112 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页无理数集合负分数集合整数集合非负数集合*3已知 1x2，则|x 3|+(1-x)2 = 。4下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3, 2 1， 3 ， 0 3， 31， 1 +2 ， 313互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5已知、是实数，且（X2
12、 ）2和 2互为相反数，求， y 的值6. ,b 互为相反数， c,d 互为倒数， m的绝对值是 2，求|a+b|2m2+1 +4m-3cd= 。*7已知（ 3）224a+20，求 = 。三、解题指导：1下列语句正确的是（）A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）A、整数 B、有理数 C 、无理数D、实数2零是（）A、最小的有理数 B 、绝对值最小的实数C、最小的自然数 D、最小的整数4. 如果 a 是实数，下列四种说法：（1）2和都是正数，（2），那么一定是负数，（3）的倒数是1a， （4）和的两
13、个分别在原点的两侧，几个是正确的有个*5比较下列各组数的大小： (1) 323 12 (2)ab0时, 1a1b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页6若 a,b 满足|4-a2|+a+ba+2 =0, 则2a+3ba的值是*7实数 a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且 |a|=|c| （1） 判定 a+b,a+c,c-b的符号（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8数轴上点 A表示数 1，若 AB 3，则点 B所表示的数为9已知 x0 ，且 y|x| ，用 连结 x，x，|y| ，y。1
14、0最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：（1）a 是负数； （2）a、b 两数异号； （3）a、b 互为相反数；（4）a、b 互为倒数；(5)x 与 y 的平方和是非负数；（6）c、d 两数中至少有一个为零； （7）a、b两数均不为 0 。*13. 数轴上作出表示2 ，3 ，5 的点。四独立训练：10 的相反数是，3的相反数是，38 的相反数是；的绝对值是，0 的绝对值是，2 3 的倒数是2数轴上表示 32 的点它离开原点的距离是。A表示的数是12，且 AB 13，则点
15、 B表示的数是。3 33 , ,(1 2 )o, 227 ,0 1313,2cos60o, 31 ,1 101001000( 两 1 之间依次多一个0), 其中 无 理数有，整数有， 负 数有。4. 若 a 的相反数是 27，则 a| ；5若|a| 2 ，则 a= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页5若实数 x，y 满足等式（ x3）24y0，则 xy 的值是6实数可分为（） A、正数和零 B 、有理数和无理数 C 、负数和零 D 、正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于 a= 8当 a 为实数时，a2 =a 在数轴上对应的点在（）A、原点右侧 B 、原点左侧 C 、原点或原点的右侧 D 、原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有个。10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小（2）化简 |b a|+|a+b| 11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中试化简：2*12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920 。求它的周长。13若 3， 5 为三角形三边，化简：（2）2（ 8）2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页