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1、黄冈中学网校达州分校7.1.1直线的倾斜直线的倾斜角和斜率角和斜率 (一一)黄冈中学网校达州分校教学目标：教学目标： 1 .1 .了解了解“直线的方程直线的方程”和和“方程的直线方程的直线”的概的概念念 2 .2 .理解直线的倾斜角和斜率的定义理解直线的倾斜角和斜率的定义 3 .3 .已知直线的倾斜角，会求直线的斜率已知直线的倾斜角，会求直线的斜率 4 .4 .已知直线的斜率，会求直线的倾斜角已知直线的斜率，会求直线的倾斜角 5.5.认识事物之间的相互联系，认识事物之间的相互联系， 用联系的观点看用联系的观点看问题问题黄冈中学网校达州分校 教学重点：教学重点： 直线的倾斜角和斜率概念直线的倾斜
2、角和斜率概念 教学难点：教学难点： 斜率概念理解与斜率公式斜率概念理解与斜率公式 黄冈中学网校达州分校在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：1 1一次函数的图象特点：一次函数形如一次函数的图象特点：一次函数形如y y= =kxkx+ +b b，它的图象是一条直线它的图象是一条直线. .2 2对于一给定函数对于一给定函数y y= =2x2x+1+1，作出它的图象的方法：，作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两
3、点即可即可. .3 3这两点与函数式的关系：这两点就是满足函数这两点与函数式的关系：这两点就是满足函数式的两对值式的两对值x.yx.y. .一一. .引人课题引人课题黄冈中学网校达州分校1 1、“直线的方程直线的方程”和和“方程的直线方程的直线”oB（1，3）xyA（0，1）y=2x+1(1)(1)有序数对（有序数对（0 0，1 1）满足函数）满足函数y=2x+1y=2x+1， 则直线上就有一点则直线上就有一点A A，它的坐标是（，它的坐标是（0 0，1 1）。）。 (2)(2)反过来，直线上点反过来，直线上点B B（1 1，3 3），），则有序实数对（则有序实数对（1 1，3 3）就满足）就
4、满足y=2x+1y=2x+1。 黄冈中学网校达州分校1 1、“直线的方程直线的方程”和和“方程的直线方程的直线” 一般地，满足函数式一般地，满足函数式y=kx+by=kx+b的每一对的每一对x x，y y的值，的值，都是直线都是直线l l上的点的坐标（上的点的坐标（x x，y y）；反之，直线）；反之，直线l l上上每一点的坐标（每一点的坐标（x x，y y）都满足函数式）都满足函数式y=kx+by=kx+b，因此，因此，一次函数一次函数y=kx+by=kx+b的图象是一条直线，它是以满足的图象是一条直线，它是以满足y=kx+by=kx+b的每一对的每一对x x，y y的值为坐标的点构成的。的
5、值为坐标的点构成的。 从方程的角度看，函数从方程的角度看，函数y=kx+by=kx+b也可以看作是也可以看作是二元一次方程二元一次方程y-kx-by-kx-b=0=0，这样满足一次函数，这样满足一次函数y=kx+by=kx+b的每一对的每一对x x，y y的值的值“变成了变成了”二元一次方二元一次方程程y-kx-by-kx-b=0=0的解，使方程和直线建立了联系。的解，使方程和直线建立了联系。黄冈中学网校达州分校二二.讲解新课：讲解新课：定义：定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个的点，反过来，这条直线上的
6、所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程直线的方程，这条直线就叫做这个这条直线就叫做这个方程的直线方程的直线。以上定义改用集合表述：以上定义改用集合表述：直线可以看成由点组成的集合，记作直线可以看成由点组成的集合，记作C C，以，以一个关于一个关于x x，y y的二元一次方程的解为坐标的二元一次方程的解为坐标的集合，记作的集合，记作F F。若（若（1 1）C FC F（2 2）F CF C，则，则C=FC=F黄冈中学网校达州分校1 1直线方程的概念：直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过
7、来，这条直线上的点的坐标是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线直线的方程的方程，这条直线叫做这个，这条直线叫做这个方程的直线方程的直线显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念上面的定义可简言之：上面的定义可简言之：有一个解有一个解,就有一个点就有一个点;(方程方程)(直线上直线上)有一个点有一个点, (直线上直线上)(方程方程)就有一个解，就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的即方程的解与直线上的点是一一对应的黄冈中学网校达州分
8、校（3）点（）点（ ，1）不在直线）不在直线 上。上。23lxoy（0，-2）（-3，0）例例1、已知方程、已知方程2x+3y+6=0。（1）把这个方程改成一次函数式；）把这个方程改成一次函数式；（2）画出这个方程所对应的直线）画出这个方程所对应的直线l。（3）点（）点（ ，1）是否在直线）是否在直线l上。上。32232xy略解：（略解：（1）（2）过）过A（0，-2），），B（-3，0） 两点的直线即为所求直线两点的直线即为所求直线l；黄冈中学网校达州分校2、直线的倾斜角、直线的倾斜角 问题问题1 1：在直角坐标系中，过点在直角坐标系中，过点P P的一条直线绕的一条直线绕P P点点旋转，不管
9、旋转多少周，它对旋转，不管旋转多少周，它对x x轴的相对位置有几种轴的相对位置有几种情形？画图表示。情形？画图表示。poyxlypoxlpoyxlpoyxl黄冈中学网校达州分校 问题问题1：在直角坐标系中，过点：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕的一条直线绕P点点旋转，不管旋转多少周，它对旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种轴的相对位置有几种情形？画图表示。情形？画图表示。总结：总结：有四种情况，如图。可用直线有四种情况，如图。可用直线l l与与x x轴所成轴所成的角来描述。我们规定，直线向上的方向与的角来描述。我们规定，直线向上的方向与x x轴轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的
10、倾斜角。的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和特别地，当直线和x x轴平行或重合时，它的倾斜轴平行或重合时，它的倾斜角为角为0 0。poyxlypoxlpoyxlpoyxl黄冈中学网校达州分校直线的倾斜角直线的倾斜角 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,对于一条与对于一条与x轴相交的直线轴相交的直线,如果把如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为时所转的最小正角记为,那么那么就叫做直线的就叫做直线的倾斜角倾斜角.直线倾斜角的定义有下面三个要点：直线倾斜角的定义有下面三个要点：(1)直线和直线和x轴相交；轴相
11、交；(2) x轴绕交点按逆时针方向旋转；轴绕交点按逆时针方向旋转；(3)最小正角最小正角黄冈中学网校达州分校问题问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？对？如果不对，违背了定义中的哪一条？xyoxyoxyoxyo（1）（2）（3）（4）黄冈中学网校达州分校问题问题3：直线的倾斜角能不能是直线的倾斜角能不能是0？能不能是？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？是平角？能否大于平角？ 通过问题通过问题3的分析可知倾斜角的取值范的分析可知倾斜角的取值范围是围是0 1
12、80，在此范围内，坐标平，在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。而面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示了直线对斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜轴正方向的倾斜程度。程度。黄冈中学网校达州分校X.pYOX.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（4）（3）0o90o009000018090黄冈中学网校达州分校3、直线的斜率、直线的斜率给出一个描述直线方程的量给出一个描述直线方程的量直线的斜率直线的斜率定义定义3：倾斜角不是倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的直线，它的倾斜角的正切叫做这条
13、直线的斜率。斜率通常用的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表表示，即：示，即：tank黄冈中学网校达州分校3、直线的斜率、直线的斜率问题问题4：当当 =0时，时，k值如何？值如何？当当0 90时，时，k值如何？值如何？当当 =90时，时，k值如何？值如何？当当90 180时，时，k值如何？值如何？黄冈中学网校达州分校X.pYOX.pYOX.pYOX.pYO（1）（2）（4）（3）900ook0k0k不存在不存在k=0黄冈中学网校达州分校3、直线的斜率、直线的斜率问题问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率填表说出直线的倾斜角与斜率k之间之间的关系：的关系：直线平行x轴由左向右上升垂直x轴由左向右下
14、降 的大小k的范围k的增减性=0o090oo90o90180oo0k 0k k不存在0k 黄冈中学网校达州分校4 4概念辨析：概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题概念，我们来看下面的题. .关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：确的：A.A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.C.平行于平行于x x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0 0或或；D.D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
15、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等. .E.E.直线斜率的范围是直线斜率的范围是( (，).).黄冈中学网校达州分校4 4辨析：辨析：上述说法中上述说法中,E,E正确正确, ,其余均错误其余均错误. .原因是原因是: :A.A.与与x x轴垂直的直线倾斜角为轴垂直的直线倾斜角为9090，但斜率不存在；，但斜率不存在；B.B.举反例说明，举反例说明，1201203030，但是，但是: :tantan 31203303C.C.平行于平行于x x轴的直线的倾斜角为轴的直线的倾斜角为0 0；D.D.如果两直线的倾斜角都是如果两直线的倾斜角都是9090 ，但斜率不存在，但斜率不存在，也就谈不上相等也就
16、谈不上相等. .黄冈中学网校达州分校说明：说明：当直线和当直线和x x轴平行或重合时，我们规定直线轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为的倾斜角为0 0； 0180直线倾斜角的取值范围是直线倾斜角的取值范围是:倾斜角是倾斜角是9090的直线没有斜率的直线没有斜率. .黄冈中学网校达州分校 归纳：归纳： 斜率可看成关于倾斜角的函数斜率可看成关于倾斜角的函数 斜率斜率k是一个数值，是一个数值， 直线的倾斜角存在，斜率不一定存在，有斜直线的倾斜角存在，斜率不一定存在，有斜率必有倾斜角率必有倾斜角 =900，直线没有斜率，直线是平行于，直线没有斜率，直线是平行于y轴或轴或与与y轴重合的直线轴重合的直线
17、黄冈中学网校达州分校三三.讲解范例：讲解范例：例例1.如图，直线如图，直线l1的倾斜角的倾斜角130，直线，直线l1l2，求，求l1、l2的斜率的斜率. l 2 l 1 1 2 x O y分析：分析：对于直线对于直线l l1 1的斜率，可通过计算的斜率，可通过计算tan 30tan 30直接直接获得，而直线获得，而直线l l1 1的斜率则需要先求出倾斜角的斜率则需要先求出倾斜角1 1 ，而根，而根据平面几何知识据平面几何知识, , 2 2= = 1 1+90+90 ，然后再求，然后再求tan tan 2 2即可即可. .黄冈中学网校达州分校例例1.1.如图，直线如图，直线l l1 1的倾斜角的
18、倾斜角1 13030，直线，直线l l1 1l l2 2，求求l l1 1、l l2 2的斜率的斜率. . l2的倾斜角的倾斜角29030120，解：解：l1的斜率的斜率k1tan1tan3033 3l2的斜率的斜率tan120评述：评述：此题要求掌握已知直线的倾斜角求斜率，此题要求掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定的确定. .黄冈中学网校达州分校例例2.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) 0 ；(2) 60 ；(3) 90 ；(4) 135 .黄冈中学网校达州分校例例3：如
19、图所示菱形如图所示菱形ABCD的的 BAD=60,求菱形求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.略解：略解：ADBCABDCACBD 60030120ADBCABCDkkkk 30 3;33BDACkkxCBAoDy黄冈中学网校达州分校1直线方程，方程的直线定义直线方程，方程的直线定义2倾斜角、斜率的定义倾斜角、斜率的定义3倾斜角和斜率相互转化，倾斜角和斜率相互转化， 4由注意分类讨论、数形结合数学思想方由注意分类讨论、数形结合数学思想方法的应用法的应用小结小结 ：黄冈中学网校达州分校书面作业书面作业课堂练习课堂练习 练习练习1.2. 习题习题7.1 1.2黄冈中学网校达州分校 补充习题补充习题 1已知：直线的倾斜角为已知：直线的倾斜角为，若，若 求此求此直线斜率直线斜率 2已知：直线已知：直线 求该直线倾求该直线倾斜角范围斜角范围 参考答案参考答案 ,53sin, 1sinxy43. 1 k43,2()2,4. 2