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1、习题五5-1 有一弹簧振子， 振幅22.0 10mA，周期1.0sT，初相34.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。解：振动方程为2cos()cos()xAtAtT代入有关数据得30.02 cos(2)(m)4xt振子的速度和加速度分别是1d30.04sin(2)(ms)d4xttv2222d30.08cos(2)(m s)d4xatt5-2 一弹簧振子的质量为0.500kg，当以35.0cm的振幅振动时，振子每0.500sT、频率 、角频率 、弹簧的倔强系数k、物体运动的最大速率maxv、和弹簧给物体的最大作用力maxF. 解：由题意可知0.500sT；所以频率1/2.00HzvT；角频率
2、12=4 =12.6(rads )v；倔强系数2210.500 12.679.4(N m )km；最大速率10.35 12.64.41(m s )maxAv最大作用力220.500 0.35 12.627.8(N)maxmaxFmamA5-3 质量为2kg的质点，按方程0.2cos(5)(m)6xt沿着 x 轴振动 .求：10t时，作用于质点的力的大小；2作用于质点的力的最大值和此时质点的位置. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页解： 1跟据牛顿第二定律222ddxfmmxt，0.2cos(5)(m)6xt将0t代
3、入上式中，得：5.0Nf2由xmf2可知，当0.2mxA时，质点受力最大，为10.0Nf5-4 在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d从最高水平到最低水平做简谐运动处下降了 d/4 高度需要多少时间？解：从最高水平到最低水平为2 倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图 5-4 中可见/ 4arccos()/ 23dd/312.52.08(h)2/2tT5-5 一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅22.010mA，周期0.5sT，当0t时，则：1物体在正方向端点；2物体在平衡位置，向负方向运动；3物体在21.0 10mx处，向负方向运动；4物体在21.0 10mx处，向负方向运动. 求以上各种情
4、况的振动方程。解：设所求振动方程为2cos()0.02cos(4)xAttT由旋转矢量图解图5-5 可求出初相位3/2,3/,2/,0432110.02cos 4(m)xt20.02cos(4)(m)2xt30.02cos(4)(m)3xt解图 5-5 解图 5-4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页420.02cos(4)(m)3xt5-6 在一轻弹簧下端悬挂0100gm砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂250gm的物体，构成弹簧振子 .将物体从平衡位置向下拉动4cm， 并给以向上的121cm s的初速
5、度令这时0t.选 x 轴向下为正，求振动方程. 解：弹簧的劲度系数lgmk/0该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为cos()xAt角频率为mk /代入数据后求得17rad s以平衡位置为原点建立坐标，则1000.04m,0.21m sxv由2200(/)Axv得0.05mA据Ax01cos得0.64rad由于00v,应取0.64rad，于是，所求方程为0.05cos(70.64)(m)xt5-7 某质点振动的x-t 曲线如题图5-7 所示 .求：1质点的振动方程；2质点从0t的位置到达P 点相应位置所需的最短时间. 精选学习资料 - - - - - - - - -
6、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页00001cos()0,/ 2,031s,325650.1cos()(m)6320 xAttxAttxtP解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又故：（ ）点的相位为v0500.4s630.4sppptttP即质点到达点相应状态所要的最短时间为5-8 有一弹簧， 当下面挂一质量为m的物体时， 伸长量为29.8 10m.假设使弹簧上下振动，且规定向下为正方向. 1当0t时，物体在平衡位置上方28.0 10m，由静止开始向下运动，求振动方程. (2) 当0t时，物体在平衡位置并以10.6m s的速度向上运动，求振动方程.
7、 解：设所求振动方程为)cos(tAx其中角频率lgmlmgmk/，代入数据得110rad s（1）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有000.08m,0 xv据2200(/)Axv得0.08mA据Ax01cos得，由于0v0，不妨取于是，所求方程为10.08cos(10)(m)xt（2）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有题图 5-7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页1000,0.6m sxv据2200(/)Axv得0.06mA据Ax01cos得2，由于00v，应取2，于是，所求方程为20.06cos(10)(
8、m)2xt5-9 一质点沿x 轴做简谐运动，振动方程为24 10cos(2)(m)3xt，求：从0t时刻起到质点位置在2cmx处，且向x 轴正方向运动时的最短时间. 解: 依题意有旋转矢量图解图5-9 ，从图中可得到而02 (0)tt故所求时间为01s2t5-10 两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差. 解：由于2/10Ax、100v可求得4/1由于2/20Ax、200v可求得4/2如解图 5-10 所示，相位差12/25-11 一简谐运
9、动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程 . 解图 5-10 解图 5-9 题图 5-11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页解：设所求方程为)cos( tAx当0t时，115cm,0 xv由 A 旋转矢量图可得23当2st时，从 x-t 图中可以看出220,0 xv据旋转矢量图可以看出232t所以， 2 秒内相位的改变量20325236tt据t可求出15rad s12t于是，所求振动方程为520.1cos()(m)123xt5-12 在光滑水平面上有一做简谐运动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,物体的质量为m,振
10、幅为 A.当物体通过平衡位置时,有一质量为m的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:1m和m粘结后 ,系统的振动周期和振幅; 2假设当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅. 解:1设物体通过平衡位置时的速度为v,则由机械能守恒221122kAmv得kAmv当m竖直落在处于平衡位置m上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以()mmm umummvv此后 ,系统的振幅变为A,由机械能守恒 ,有解图 5-11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页2211()22kAmm ummmAuA
11、kmm系统振动的周期为2mmTk2当m在最大位移处m竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为2mmTk.5-13 设细圆环的质量为m,半径为 R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期. 解: 如解图 5-13 所示 ,转轴 O 在环上 ,设角度以逆时针为正 ,则振动方程为22dsindJmgRt当环作微小摆动sin时, 得22d0dmgRtJ设mgRJ得222d0dt因为22JmR，所以222RTg5-14 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm 现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时
12、(1) 求物体的振动方程；(2) 求物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；解图 5-13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间解：如解图 5-14 所示，选平衡位置为原点，取向下为x 轴正方向。由fkx得1200N mfkx1/507.07rad sk m(1) 由题意可知10cm,0A所以振动方程0.1cos(7.07 )(m)xt(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力()fm ga而222.5m sax所以
13、29.2Nf(3) 因为0t时刻的初相位0，所以物体从第一次越过平衡位置时，对应的相位为12物体在平衡位置上方5cm处，此时5cmx，即25cos,A因为此时物体向上运动，0v，所以223由t得2320.074(s)7.07t5-15 在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物 .现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为，振幅为22.0 10m，求：1平板到最低点时，重物对板的作用力；2假设频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？x 5 cm O解图 514 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页
14、3假设振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？解：重物与平板一起在竖直方向上做简谐运动，向下为正建立坐标，振动方程为)4cos(02.0tx设平板对重物的作用力为N，于是重物在运动中所受合力为fmgNma，而2ax跟据牛顿第三定律，重物对平板的作用力N为)(2xgmNN1在最低点处：Ax,由上式得12.96NN2频率不变时，设振幅变为A,在最高点处 Ax重物与平板间作用力最小，设0N可得2/0.062mAg3振幅不变时，设频率变为，在最高点处Ax重物与平板间作用力最小，设0N可得1/ 2/3.52Hz2gA5-16 一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为， 周期为， 当 t=0 时位移为
15、0.03m，且向 x 轴正方向运动，求：1时，物体的位移、速度和加速度；2物体从0.03mx处向 x 轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？解：设该物体的振动方程为)cos( tAx依题意知12/(rad s ),0.06mTA据Ax01cos得3由于00v,应取解图 5-16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页3可得0.06cos()(m)3xt10.5ts时，振动相位为36t据22cos ,sin,cosxAAaAxv得120.052m,0.094m s ,0.512m sxav2由 A 旋转矢量图
16、可知，物体从0.03mx处向 x 轴负方向运动，到达平衡位置时，A 矢量转过的角度为56，该过程所需时间为0.833st5-17 一单摆的角振幅0=0.010，周期0.50sT，求1最大的摆动角速度；2当角位移是角振幅一半时，角速度的大小. 解： (1) 因12=4 (rad s )T，设振动的表达式为0cos()t则0dsin()dtt21max0d()0.040(rad s )dt 2当012时，有1cos()2t3sin()2t所以角速度的大小2100d3sin()0.02 3(rad s )d2tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
17、-第 10 页，共 18 页5-18 有一水平的弹簧振子,如题图 5-18 所示，弹簧的劲度系数125N mk,物体的质量1.0kgm,物体静止在平衡位置.设以一水平向左的恒力10NF作用在物体上(不计一切摩擦 ),使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤除力 F,当物体运动到最左边开始计时,求物体的运动方程 . 解: 设所求方程为cos()xAt15rad skm因为不计摩擦 ,外力做的功全转变成系统的能量, 故212FxkA所以20.2mFxAk又因为00,txA，所以故所求物体的运动方程为0.2cos(5)(m)xt5-19 一质点在x 轴上做简谐运动，如题图5-19 所示，选取该质点
18、向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过 2s 后质点第一次通过B 点，再经过2s 后质点第二次经过B 点，假设已知该质点在A、 B两点具有相同的速率，且AB= 10 cm，求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在 A 点处的速率解：由旋转矢量图解图5-19和ABvv可知8sT1Hz812rad s4(1) 以AB的中点为坐标原点，x 轴指向右方0t时5cmcosxA题图 5-18 题图 5-19 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页2st时5cmcos(2)sinxAA由上面二式解得tg1因为在
19、 A 点质点的速度大于零，所以取34/ cos5 2(cm)Ax所以振动方程235 210cos()(m)44xt(2) 速率21d5 2103sin() (m s )d444xttv当 t = 0 时，质点在A 点的速率为221d52310sin()3.93 10(m s )d44xtv5-20 一物体放在水平木板上，这木板以2Hz的频率沿水平直线做简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数50.0s，求物体在木板上不滑动时的最大振幅maxA. 解设物体在水平木板上不滑动竖直方向0Nmg(1) 水平方向xfma(2) 且xsfN(3) 又因为2cos()aAt(4) 由(1)(2)(3) 解得
20、max/ssamg mg再由此式和 (4)得222max/(4)0.031mssAgg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页5-21 一只摆长为的单摆，试求它在以下情况下单摆的周期. 1在室内；2在以 a 为加速度上升的电梯里. 解：设单摆的摆线在平衡位置的右方时，角度为正。（1）则对室内的单摆，由转动定律得22dsindmglJt当5时，sin,有22d0dmgltJ将2Jml代入上式，得22d0dgtl设2=gl，得222d0dt所以，单摆的周期22lTg2在以 a 为加速度上升的电梯里因为电梯是非惯性系，需要加
21、一个惯性力，由转动定律得22d() sindmgma lJt当5时，sin,有22d()0dmgma ltJ同理，可得单摆的周期22lTga5-22 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动.已知氢原子质量271.68 10kgm， 振动频精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页率141.0 10Hz，振幅111.0 10mA.试计算：(1)此氢原子的最大速度；(2)与此振动相联系的能量. 解： (1)最大振动速度3126.28 10 m smAAv(2)氢原子的振动能量为22013.31 10J2mEmv5-23 一物体
22、质量为0.25kg， 在弹性力作用下做简谐运动，弹簧的劲度系数125N mk，如果物体起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求：(1)振幅；(2)动能恰等于势能时的位移；(3)经过平衡位置时物体的速度. 解： (1) 212kPEEEkA1/22()/0.08mkPAEEk(2) 因为212KPEEEkA, 当KPEE时，有2PEE，得2211222kxkA即/20.0566(m)xA(3)过平衡点时，0 x，此时动能等于总能量212kPEEEmv1/212() /0.8m sKPEEmv5-24 一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为 m 的物体，另一端与
23、一固定的轻弹簧相连，如题图5-24 所示 .设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力 .现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体做简谐运动，并求出其角频率. 解：如解图5-24 所示，取x 坐标 ,平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长0 x，则题图 5-24 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页0(1)mgkx设m在x位置，分析受力，这时弹簧伸长0 xx20()(2)Tk xx由牛顿第二定律和转动定律列方程：1(3)mgTma12(4)TRT RJ(5)aR联立
24、 (1)(2)(3)(4)(5) 解得xmRJka)/(2由于x系数为一负常数，故物体做简谐运动，其角频率为222)/(mRJkRmRJk5-25 两个同方向的简谐运动的振动方程分别为:2114 10cos2 ()(m),8xt2213 10cos2 ()(m)4xt1求合振动的振幅和初相位；2假设另有一同方向同频率的简谐运动235 10cos(2)(m)xt，则为多少时，31xx的振幅最大？又为多少时，32xx的振幅最小？解： 1)2cos(21tAxxx按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为22224324cos(/ 2/ 4)106.48 10(m)A4sin(/ 4)3sin(/
25、 2)arctg1.12(rad)4cos(/ 4)3cos(/ 2)所以，合振动方程为解图 5-24 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页26.48 10cos(21.12)(m)xt(2)当k21，即4/2k时，31xx的振幅最大 . 当) 12(2k，即2/32k时，32xx的振幅最小 . 5-26 有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为0.2m，合振动的相位与第一个振动的相位差为6/，第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。解：采用旋转矢量合成图解图5-26求解取第一个振
26、动的初相位为零，则合振动的相位为/6据21AAA可知12AAA,如图：222112cos0.1mAAAAA由于A、1A、2A的量值恰好满足勾股定理，故1A与2A垂直 . 即第二振动与第一振动的相位差为2/527 一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其振动方程分别为10.05cos(4)(m)3xt，20.03sin(4)(m)6xt，画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程. 解：)6/4sin(10322tx)2/6/4cos(1032t23 10cos(42/3)(m)t作两振动的旋转矢量图，如解图5-27 所示，合振动的振幅和初相分别为(53)2(cm),3A. 合振动方程为22 1
27、0cos(4)(m)3xt块，则拍频将减小，求待测音叉的角频率. 解图 5-26 解图 5-27 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页解：由拍频公式12可知12在待测音叉的一端加上一个小物体，待测音叉的频率2会减少，假设拍频也随之减小，则说明21,于是可求得21351Hz5-29 一物体悬挂在弹簧下做简谐运动，开始时其振幅为m，经 144s 后振幅减为 . 问：(1)阻尼系数是多少？(2)如振幅减至，需再经过多少时间？解： (1) 由阻尼振动振幅随时间的变化规律0tAA e得0311ln4.81 10(s)AAt（
28、2）由0tAA e得1212ttAeAe于是1221ln/144sAAttt5-30 一弹簧振子系统，物体的质量1.0kgm，弹簧的劲度系数1900N mk.系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为110.0s，为了使振动持续，现加一周期性外力100cos30 (N)Ft作用 . 1求振动到达稳定时的振动角频率；2假设外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？其共振的振幅为多大？解： 1振动到达稳定时，振动角频率等于周期性外力的角频率，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页130rad s(2)受迫振动到达稳定后，其振幅为22222004)(/)/(mFA式中mk/0为系统振动的固有角频率，0F为外力的振幅由上式可解得，当外力的频率为2210226.5rad s时系统出现共振现象，共振的振幅为0220/0.177m2rFmA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页