2022年2021年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练 .pdf

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1、1 2020 年高考文科数学概率与统计题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型例 1 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）.A. 15B. 25C. 825D. 925【答案】B【解析】可设这 5 名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2 人的方法有：（甲，乙）， （甲，丙）， （甲，丁） ， （甲，戊）， （乙，丙）， （乙，丁）， （乙，戊），（丙，丁） ， （丙，戊） ， （丁，戊） ，共有种选法，其中只有前4 种是甲被选中，所以所求概率为.故选 B.例 2 将 2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则2 本数学书相邻的概率为 _.【答案】23【

2、解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有： 数 1，数 2，语; 数 1，语，数 2;数 2，数 1，语; 数 2，语，数 1;语，数 2，数 1; 语，数 1，数 2 共有 6种，其中 2 本数学书相邻的有4 种，则其概率为：4263p【易错点】列举不全面或重复,就是不准确【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.1042105名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2 题型二 几何概型

3、例 1 如图所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.A. 14B. 8C. 12D. 4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为822122aa.故选 B.例 2 在区间0,5上随机地选择一个数p， 则方程22320 xpxp+-=有两个负根的概率为 _.【答案】32【解析】 方程22320 xpxp+-=有两个负根的充要条件是2121244(32)020320pp

4、xxpx xp即21,3p或2p，又因为0,5p，所以使方程22320 xpxp+-=有两个负根的p的取值范围为2(,12,53U，故所求的概率2(1)(52)23503，故填：32.【易错点】 “ 有两个负根 ” 这个条件不会转化 .【思维点拨】“ 有两个负根 ” 转化为函数图像与x 轴负半轴有两个交点 .从而得到参DCBA名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3 数 p 的范围 .在利用几何概型

5、的计算公式计算即可.题型三抽样与样本数据特征例 1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件【答案】18【解析】 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000(件)例 2 已知样本数据1x，2x，nx的均值5x，则样本数据121x，221x，21nx的均值为【答案】11【解析】因为样本数据，的均值，又样本数据，的和为122nxxxnL，所以样本数据的均值为11.例 3某电子商务公司对10000名网络购物者 2018年度的消费情况

6、进行统计， 发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3 0.9，内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的a= .（2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5 0.9，内的购物者的人数为.【答案】3a人数为0.6 1000060001x2xnx5x121x221x21nx21x金额 /万元频率/组距0.20.81.52.02.5a0.90.80.70.60.50.40.3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - -

7、 - - 4 【解析】由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.2 0.10.8 0.1 1.5 0.1 20.12.5 0.10.1 1a，解之得3a.于是消费金额在区间0.5 0.9，内频率为0.20.10.8 0.120.1 3 0.10.6，所以消费金额在区间0.5 0.9，内的购物者的人数为0.6 100006000.例 4 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度） ，以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图所示（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用

8、电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？【答案】见解析【解析】（1）由0.0020.00950.011 0.01250.0050.0025201x，得0.0075x3000.0110.005月平均用电量/度0.0025频率组距0.01250.0095x0.0022802602402202001801600名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

9、- - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 5 （2）由图可知，月平均用电量的众数是2202402302.因为0.0020.00950.011200.450.5，又0.0020.0095 0.011 0.0125200.70.5，所以月平均用电量的中位数在220,240内.设中位数为a，由0.0020.00950.011200.01252200.5a，得224a，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为220,240的用户有0.0125 20 10025（户） ；月平均用电量为240,260的用户有0.0075 20 10015（户） ；月平均用电量为2

10、60,280的用户有0.005 20 10010（户） ；月平均用电量为280,300的用户有0.0025 20 1005（户）.抽取比例为11125151055，所以从月平均用电量在220,240的用户中应抽取12555（户） 【易错点】 没有读懂题意 ,计算错误 .不会用函数思想处理问题【思维点拨】 根据题意分情况写出函数解析式；2 牵涉到策略问题 ,一般可以转化为比较两个指标的大小 .题型四回归与分析例 1 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳

11、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 6 （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用相关系数加以说明（2）建立关于 的回归方程（系数精确到） ，预测年我国生活垃圾无害化处理量 .参考数据：，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】见解析【解 析 】 （1） 由折线 图 中 数据和 附 注中 参考 数据 得，.y年生活垃圾无害化处理量年份代码 t76523411.401.801.601.201.000.80ytyt0.012016719.32iiy71

12、40.17iiit y721()0.55iiyy72.64612211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，$yabt$121()()()niiiniittyybtt$，$=.a ybt$4t27128iitt2710.55iiyy77711140.174 9.322.89iiiiiiiittyyt yty2.890.990.5522.646r名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - -

13、7 因为与 的相关系数近似为，说明与 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合与 的关系 .（1）变量与 的相关系数，又，所以，故可用线性回归模型拟合变量与 的关系 .（2），所以，所以线性回归方程为.当时，.因此，我们可以预测2016 年我国生活垃圾无害化处理亿吨.【易错点】 没有读懂题意 ,计算错误 .【思维点拨】 将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据.题型五独立性检验例 1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和 m 如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m11510612410

14、3yt0.99ytytyt77771111777722221111()()7()()7()()iiiiiiiiiiiiiiiiiittyyt ytyrttyyttyy7128iit719.32iiy7140.17iiit y721()2 75.292iitt721()0.55iiyy740.17289.320.9975.2920.55ryt4ty7117iiy7172211740.17749.327?0.10287iiiiit ytybtt1?9.320.1040.937aybx? 0.10.93yt9t? 0.1 9 0.93 1.83y1.83名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

15、 - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 8 则哪位同学的试验结果体现A、B 两变量更强的线性相关性？()A甲B乙C丙D丁【答案】 D【解析】D因为 r0 且丁最接近 1，残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数r 的绝对值越趋向于1,相关性越强 .残差平方和 m 越小相关性越强【巩固训练】题型一古典概型1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向

16、上的点数之和小于的概率是【答案】【解析】 将先后两次点数记为，则基本事件共有（个） ，其中点数之和大于等于有，共种，则点数之和小于共有种，所以概率为2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如30723在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是（）.A112B114C115D118【答案】C1,2,3,4,5,621056,x y6636104,6, 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5 , 6,661030305366名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

17、- - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 9 【解析】 不超过 30的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个，随机选取两数有45（种）情况，其中两数相加和为30 的有 7 和 23，11 和 19，13 和 17，共 3 种情况，根据古典概型得314515P.故选C.3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为【答案】56P【解析】1只白球设为a，1

18、只红球设为b，2只黄球设为c，d，则摸球的所有情况为, a b，,a c，,a d，, b c，, b d，, c d，共6件，满足题意的事件为,a b，,a c，, a d，,b c，, b d，共5件，故概率为56P题型二 几何概型1.某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，学 .小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）.A.B.C.D.【答案】 B【解析】如图所示，画出时间轴 .小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过分钟.根据几何概型，所求

19、概率.故选 B.13122334BDCA7:40 7:50 8:00 8:10 8:208:307:30ABACDB1010101402P名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 10 2. 从区间随机抽取 2n 个数，构成 n 个数对，其中两数的平方和小于1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）.A.B.C.D.【答案】 C【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1

20、 的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，所以.故选 C3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为 ，其余部分记为 ，在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为1p，2p，3p，则A12ppB13ppC23ppD123ppp【答案】 A【解析】 概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较，区域面积即可 .设直角三角形ABC的三个角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则区域 的面积为112Sab，0 , 11x2xnx1y2yny11,x y

21、22,xy,nnxy4nm2nm4mn2mn12iixyin， ，41mn4mn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 11 区域的面积为22221111111122222222Scbabaab，区域的面积为222311111112222282Scbabaab.显然12pp.故选 A.题型三 抽样与样本的数据特征1.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为【答案】 10【解析】 平

22、均数146587666x2.某电子商务公司对10000名网络购物者 2014年度的消费情况进行统计， 发现消费金额（单位：万元）都在区间0.3, 0.9内，其频率分布直方图如图所示. （）直方图中的a_；（）在这些购物者中，消费金额在区间0.5, 0.9内的购物者的人数为 _. 【答案】 3；6000【解析】 频率和等于 1 可得0.20.10.80.11.50.120.12.50.10.11a，解之得3a.于是消费金额在区间0.5, 0.9内频率为0.20.10.80.120.130.10.6，所以消费金额在区间0.5, 0.9内的购物者的人数为：0.6100006000， 故应填 3； 6

23、000.3.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月用水量标准（吨） 、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费 .为了了解居民用水情xxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 12 况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方

24、图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，请说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨） ，估计的值，并说明理由 .【答案】见解析【解析】 （1） 由频率分布直方图知， 月均用水量在中的频率为，同理，在，中的频率分别为，.由，解得.（2）由（1） ，位居民每人月均用水量不低于吨的频率为.由以上样本的频率分布， 可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为.（3）因为前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以由，解得.题型四 回归与分析1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万8

25、.28.610.11.311.91000,0.50.5,14,4.59a30385%xx0 0.5，0.08 0.50.040.5,11.5,22 2.5，3 3.5，3.5 4，4 4.5，0.080.200.260.060.040.020.04+0.08+0.50.200.260.50.060.040.021aa0.30a10030.06+0.04+0.02=0.12303300000 0.12 3600060.04 0.08 0. 15 0.20 0.26 0. 15=0.88 0.8550.04+0.08+0. 150.200.26=0.730.852.53.x,0.32.50.850

26、.73x2.9x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 13 元）0支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程?ybx a，其中?0.76,baybx，据此估计，该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（）A11.4万元B 11.8万元C12.0 万元D12.2万元【答案】 B【解析】 由已知得8.28.610.011.311.9105x（万元），6.27.58.08.59

27、.885y（万元） ，故?80.76 100.4a，所以回归直线方程为?0.760.4yx当社区一户收入为15 万元，家庭年支出为?0.7615y0.411.8（万元） 故选 B2.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（）.A. B. C. D.【答案】 C【解析】，所以，时，.?ybx a101225iix1011600iiy?4b16016316617022.5x160y$160 4 22.5 70a24x4247

28、0166y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 14 故选 C.3.某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费ix和年销售量1,2, ,8iy i数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值xyw821iixx821iiww81iiixxyy81iiiwwyy46.6 563 6.8 28

29、9.8 1.6 1469 108.8 表中iiwx，8118iiww，（1）根据散点图判断，yabx与ycd x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（ 1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式为0.2zyx，根据（ 2）的结果回答下列问题：（）年宣传费49x时，年销售量及年利润的预报值是多少？年销售量 /t年宣传费 /千元366206005805605405205004805654525048464442403834名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -

30、- - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 15 （）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11,u v22,u v，,nnu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为121?niiiniiuuvvuu，?vu.【答案】见解析【解析】（1）由散点图变化情况可知选择ycdx较为适宜（2）由题意知81821108.8681.6iiiiiwwyydww又ycdx一定过点, y，所以cyd563686.8100.6，所以y与x的回归方程为100.6

31、68yx（3） （）由（ 2）知，当49x时，100.6 6849576.6 ty，0.2 576.6 49z66.32（千元），所以当年宣传费为49x时，年销售量为576.6 t，利润预估为66.32千元（）由（ 2）知，0.20.2 100.668zyxxx13.6 xx20.12226.86.820.12x，所以当6.8x时，年利润的预估值最大，即26.846.24x（千元） 题型五 独立性检验1.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“ 这种血清不能起到预防感冒的作用 ” ，利用 22 列

32、联表计算的K23.918 ，则下列表述中正确的是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 16 A有 95的把握认为 “ 这种血清能起到预防感冒的作用”B若有人未使用该血清，那么他一年中有95的可能性得感冒C这种血清预防感冒的有效率为95D这种血清预防感冒的有效率为5【答案】 A【解析】由题可知，在假设H成立情况下，)841.3(2KP的概率约为 0.05，即在犯错的概率不错过 0.05 的前提下

33、认为 “ 血清起预防感冒的作用 ” ， 即有 95的把握认为“ 这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的95是我们判断H不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故 B 错误.C，D 也犯有 B 中的错误 .故选 A2.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量xy，之间关系最强的是 ( )ABCD【答案】 D【解析】在频率等高条形图中，aab与ccd相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中12,x x所占比例相差越大， 则分类变量, x y关系越强，故选D3.淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产

34、量（单位：kg）的频率分布直方图如图所示.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 17 （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg， 新养殖法的箱产量不低于50kg，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数

35、的估计值（精确到0.01）.附：2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822()()()()()n adbcKab cdac bd.00频率组距频率组距箱产量 /kg新养殖法旧养殖法箱产量 /kg0.0040.0080.0100.0200.0680.0440.04635 40 45 50 55 6065 700.0340.0320.0400.0240.0200.0140.01270656055504540353025名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

36、- - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 18 【答案】见解析【解析】（1）记： “ 旧养殖法的箱产量低于50kg” 为事件B，“ 新养殖法的箱产量不低于50kg” 为事件C，由题图并以频率作为概率得0.04050.03450.02450.01450.0125P B0.62，0.06850.04650.01050.0085P C0.66，0.4092P APB P C.（2）箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法6238新养殖法3466由计算可得2K的观测值为222006266383415.70510010096104k，因为15.705 6.635，所以26.6350.001P K ，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）1 50.2，0.10.0040.0200.0440.032，80.032 0.06817，852.3517，502.3552.35，所以中位数为52.35.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -