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1、、 、 、 、 、24.1.4圆周角（ 1）杨柳青三中纪洪生名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、24.1.4 圆周角一、内容和内容解析1. 内容圆周角概念，圆周角定理及其推论2. 内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角. 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的
2、数量关系，从而把圆周角与相对应的弧、 弦联系起来. 圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等的数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弧、弦之间关系的继续，又是后续研究员与其他平面图形的桥梁和纽带. 圆周角定理的证明，采用完全归纳法。通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明， 参透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想. 基于以上分析 , 确定本节课的教学重点是：圆周角定理. 二、目标和目标解析1. 目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论. （2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法 . 2. 目标解析名师归纳总结 精品学习资料
3、- - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、达成目标（ 1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理或推论解决简单问题 .达成目标（ 2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧对应的圆周角与圆心之间的关系；能根据圆心与圆周角
4、的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性； 理解证明圆周角定理时， 可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理. 三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系:圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部. 所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法，分情况证明. 学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力， 但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏 . 因此，教学的关键是 : 在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角， 一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三
5、种不同的位置关系，为后面证明中的分类讨论做好铺垫 . 学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数， 探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师再利用几何画板来验证， 让学生进一步明确它们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 从名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、特殊的位置关系 - 圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他
6、两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形. 基于以上分析， 本节课的教学难点是： 分情况证明圆周角的定理. 四、教学过程设计1. 了解圆周角的概念问题 1 如图，类比圆心角，当角的顶点运动到圆上，ACB的顶点和边有哪些特点？师生活动： 学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：ACB的顶点在 O 上，角的两边分别交于O 于 A，B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角.圆周角和圆心角都是与圆有关的角. 设计意图： 类比圆心角，获得圆周角定义，理解圆周角的概念. 练习 教科书第 88 页练习第 1 题. 设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念
7、的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解. 2.探索圆周角定理问题 2 在图 2 中，ACB 是圆周角，作出 弧 AB 所对的圆周角 AOB，分别测量 ACB和AOB的度数，他们之间有什么关系？师生活动： 学生画图，连接 OA，OB，得到圆心角 AOB.教师指出ACB 和AOB 都对着弧 AB，提出以下问题 . 教师追问 1：图中 ACB 和AOB 有怎样的关系？OABCOABC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - -
8、 - - - - - - 、 、 、 、 、师生活动： 学生通过观察、度量，猜想ACB=21AOB.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 教师追问 2：在O 上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出他们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图， 度量并验证猜想外， 教师也可以利用几何画板软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：拖动圆周角的顶点在优弧弧AB 上运动；改变弧的大小；改变圆的大小后分别进行和的演示.引导学生发现，在演示过程中， ACB 和AOB度数的比值保持不变 . 设计意图： 引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本
9、数学活动， 探索圆周角的性质： 一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半 . 教师使用几何画板做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角和圆心角的关系， 即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系. 3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半？教师追问 1：在圆上任取 弧 AB，画出圆心角 AOB 和圆周角 ACB,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动： 学生动手画图，交流，思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心名师归纳总结 精品学习资料 - - -
10、- - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、在圆周角的外部 . 设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察，实验，探究得出结论的自然延续，同时进一步明确证明的必要性和证明的方法 . 教师追问 2：在第种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半？师生活动： 学生结合三种位置的图形，认识到：第种情况属于特殊情况，另外两种情况比第种情况复杂. 研究数学问题一般从特殊情况开始，在考虑其他情况能否
11、转化成特殊情况. 师生结合图形，分析第种情况，得到设计意图： 从特殊情况入手，证明猜想，既便于学生的学习，又为其他两种情况提供转化的方向. 教师追问 3：在 23 种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动： 学生思考，尝试解决，如果学生有困难，教师可提示学生：将23 种情况转化第 1 种情况 . 根据学生的情况 . 师生可提示是学生： 将第 23 种情况转化成第 1 种情况. 根据学生的情况，师生共同完成第2 种情况的证明 . OABCOABCOABCA=12BOCBOC=A+COA=OCA=CDOABC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
12、- - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、证明：如图 4，连接 AO并延长交 O 于点 D。学生独立完成第 3 种情况的证明 . 从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 设计意图：将一般的情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想. 学生通过三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升. 4. 探究特殊情况，获得推论问题 4 我们知道一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或者等弧所对的圆
13、角之间有什么关系？师生活动：学生画出 BC所对的几个圆周角和圆心角（图5） ，先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等，在思考同弧或者等弧的情况. 如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论。设计意图 : 让学生经历观察、猜想、证明得出推论得探索过程，得到圆周角的定理得推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系. 问题 5 半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 教师进一步引导学生得出：90得圆周角所对的弦是直径 . 设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理得理解，获得推论. 5. 应用圆周角定理与推论例如
14、图 7，O于 D ，求 BC ，AD ，BD的长. 师生活动：师生共同分析已知条件、 所求和解题思路 . 如图 8，欲求 BC的长。由 BC所在的 ABC 中, 由勾股定理可求BC的长. 由 CD平分 ACB 得 ACD= BCD, 连接 OD ，可得 AOD= BOD=90 ，进而由勾股定理可求AD ，BD的长. 学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流. 设计意图：应用圆周角定理及推论解决问题，巩固所学的内容. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7
15、 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、6. 小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了那些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了那些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认识数学思想、 数学方法，积累数学活动的经验. 教学任务分析教学目标知识技能1了解圆周角与圆心角的关系2探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征3能运用圆周角的性质解决问题数学思考1通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能
16、力和演绎推理能力2通过观察图形，提高学生的识图能力3通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力解决问题学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题情感态度引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征难点发现并论证圆周角定理教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动 1 创设情境，提出问题从实例出发提出问题，给出圆周角的定义名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精
17、心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、活动 2 探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系通过实例观察、 发现圆周角的特点， 利用度量工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系活动 3 发现并证明圆周角定理探索圆心与圆周角的位置关系， 利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理活动 4 圆周角定理应用反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用活动 5 小结，布置作业回顾梳理， 从知识和能力方面总结本节课所学到的内容教学过程设计问题与
18、情境师生行为设计意图活动 1 演示课件：教师演示课件： 展示一个圆柱形的海洋馆教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看窗内的海洋动物教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题教师结合示意图， 给出圆周角的定义 利用练习，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题 2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（弧 AB）所对的圆心角（AOB ） 与 圆 周 角（ACB） 、同弧所对的从生 活中的 实 际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分， 人们的需要产生了数学将实 际问题 数 学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法引导
19、 学生对 图 形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验， 建立学习的自信心名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、问题 1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB和ACB ）有什么关系？问题 2 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E， 他们的视角（ADB和AEB）和同学乙的视角
20、相同吗？圆周角（ACB 、 ADB 、AEB 等）之间的大小关系教师引导学生进行探究教师关注：1问题的提出是否引起了学生的兴趣；2学生是否理解了示意图；3学生是否理解了圆周角的定义；4学生是否清楚了要研究的数学问题活动 2问题 1 同弧（弧 AB ）所对的圆周 角 ACB 与 圆 周 角 ADB 、AEB 的大小关系是怎样的？再变动点C 在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化 . 你发现其中有什么规律吗 ?问题 2 同弧（弧 AB）所对的圆心角 AOB 与圆周角ACB的大小关系是怎样的？教师提出问题，引导学生利用度量工具 （量角器）动手实验，进行度量，发现结论在活动中，教师应关注：1学生是
21、否积极参与活动；2学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确由学生总结发现的规律：同圆中，同弧所对的圆周角的度数没有变活动 2的设计是为引导学生发现 让学生亲自动手，利用度量工具半圆仪进行实验、 探究，得出结论激发学生的求知欲望， 调动学生学习的积极性 教师利用几何画板从动态的角度进行演示， 目的是用运动变化的观点来研究问题， 从运动变化的过程中寻找不变的关系名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -
22、、 、 、 、 、OABECD化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半教师利用 几何画板课件“圆周角定理” ，从动态的角度进行演示， 验证学生的发现 教师可从以下几个方面演示， 让学生观察圆周角的度数是否发生改变， 同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化1拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2改变圆心角的度数. 活动 3问题 1 在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？(课件：折痕与圆周角的关系 ) 问题 2 当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动 2 中所发教师引导学生， 利用准备好的圆， 采取小组合作的学习方式， 前后四人一组，分组讨论教师关注：1学生是否会
23、与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；2学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系教师巡视，请学生回答问题回答不全面时，数学教学是在教师的引导下， 进行的再创 造 、 再 发 现 的 教学通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问题、分析问题，并能解决问题活动 3的安排是让学生对所发现的结论进行证明培养学生严谨的治学态度问题 1 的设计是让名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -
24、、 、 、 、 、现的结论？问题 3 另 外 两 种 情 况 如 何 证明，可否转化成第一种情况呢？请其他同学给予补充教师演示圆心与圆周角的三种位置关系教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论学生说出已知、求证， 完成证明教师板书。教师关注：1学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证；2学生能否证明出结论学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动启发并引导学生，通过添加辅助线， 将问题进行转化教师关注：1学生是否会想到添加辅助线， 将另外两种情况进行转化；2学生添加辅助线的合理性；3学生是否会利用问题 2 的结论进行证明教师讲评学生的证学生通过合作探索， 学会运用分类讨论
25、的数学思想研究问题 培养学生思维的深刻性问题 2、3 的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般学会运用化归思想将问题转化 并启发培养学生创造性的解决问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、明，板书圆周角定理活动 41.如图 ,AB 是 O 直径 ,则C、 D、 E 的度数是多少度？为什么？2.反 过 来 ， 如 果 圆 周 角 C=90， 弦 AB 经过
26、圆心吗？为什么？3.在半径不等的 O 和O，中， 若 C= C ， , 则AB=A,B, 吗?思考：添加什么条件， 就能使它成立呢？结论 :在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对的弧一定相等 . 练习：4.如图，点 A、 B 、 C 、D 在 同 一个 圆 上 ， 四 边 形ABCD的对角线把4 个内角分成 8 个角，这些角中哪些是学生独立思考，回答问题，教师讲评问题 1 提出后，教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数问题 2 提出后，教师关注：学生是否能由90的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180，从而得出所对的弦是直径问题 3提出后， 教师关注：学
27、生能否得出正确的结论，并能说明理由教师提醒学生： 在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件思考提出后，教师关注：学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等， 再由圆心角相等得到它们所对的弧相等活动 4的设计是圆周角定理的应用 通过4 个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用问题 1、2 是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论问题 3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件并引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移AOBC1C2C3CABBAC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精
28、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、相等的角？ABCD123456785.例题：如图，O 的直径AB 为 10 cm， 弦 AC 为 6 cm，ACB 的平分线交 O 于D，求 BC、AD、BD 的长问题 4 提出后，教师关注：学生是否准确找出同弧所对的圆周角问题 5 提出后，教师关注：1学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；2学生能否将要求的线段放到三角形里求解；3学生能否利用问题 3 的结论得出弧 AD 与弧 BD 相等，进而推出AD=BD问题 4、 5、是定理
29、的应用即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深 对 本 节 知 识 的 理解教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果活动 5问题通过本节课的学习你有哪些收获？布置作业1阅读作业：阅读教科书 90 页至 93 页的内容2必做：书 87 页 4，书88 页 5，书 88 页 12. 教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握教师布置分层作业通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感增加 阅读作 业 的目的是让学生养成看D
30、BOAC名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 、 、 、 、 、3,. 选作：书 89 页 15. 书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、 提高、发展名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -