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1、学习必备欢迎下载平均不等式AG 不等式：1.中学里面我们称之为基本不等式：（ 1）ab2ba（a,b0）（ 2）abba0（a,b同号）（ 3）a2+b22ab（a,b为实数）2.推广：设a=(a1, ，an)，ak0，1nk，则 An(a)=nkkan11称为a1， ，an的算术平均值， Gn(a)=nnaaa21称为a1, ，an的几何平均值Gn(a)An(a)，即nnaaa21naaan21称为 AG不等式，当且仅当a1=a1=an时等号成立 .AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：（
2、 1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n. （ 2）其积为的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2. 因此 AG 不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等 . 3.加权形式的AG 不等式：Gn(a,q) An(a,q) ，式中Gn(a,q)=kknkqa1）（，An(a,q)=nkkkaq1，qk0，nkkq11，通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1, ， lnan)， 则lnGn(a,q) lnAn(a,
3、q)，即正数a1，an的加权几何平均Gn(a,q)的对数等于a1， ，an的对数lna1, ，lnan名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载的加权算术平均. 同时，对于加权形式的AG 不等式的进一步推广是：设ajk0，qk0，且nkkq11，则mjkijnkqa11)(kmjjknkqa )(11，当且仅当mjjjaa111=mjjjaa122=mjjnjnaa1， （j=1, ，m）
4、时等号成立 . 4.关于 AG不等式的证明：这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将nnaaa21naaan21记为 Gn(a)An(a)，并设a1， ，an是不全相等的正数 （因为a1=a1=an时，等号成立），与nnaaa21naaan21等价的是：若nkka11，则nkkna1;若nkka11，则nkka1(n1)n. 1821 年 Cauchy 用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：第一步：假设n=k时，nnaaa21naaan21成立，容易推出n=2k的时候该式也成立：kaa2k21=21（kaaak21+kaaakk2k21）21(kaa1)1/k
5、+(k21aak)1/k)(k21kk1aaaa1/2k 由此推出n=2m时，nnaaa21naaan21成立 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载第二步：设n 2m，则比存在rN，使得n+r=2m.)()()(11nnnnnnnnAAaarnAAaarnArnA1/(n+r)（有r个An连乘） =rAnGnn1/(n+r). 即nAn+rnGnnAr. 从而nnGA. 另外一种
6、思路是从11nnGA推出nnGA成立，事实上nnnnnnAaaanAaanAnAA21n1111/(n+1)，即nAn+1nnAaa1，从而nAnnaa1=nGn，即nnGA. 同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立nkka11，则nkkna1证明如下：n=1时，命题显然为真. 假设1n时，命题为真，当1n时，若所有的1kx，则其和等于1n，不然不妨设1, 111nxx（对若干个ix进行一个排列， 把最小的重新定为1x， 最大的定为1nx） ，我们记11nxxy，这时便有132yxxxn，由于归纳假设nyxxxn32另外，11)1(11111111nnnnxxxxxxyxx+得，111nxxn
7、，因而对1n的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954) 教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG 不等式只是其中的一种特殊情形。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载下证明：Gn(a,q) An(a,q) ，式中Gn(a,q)=kknkqa 1）（，An(a,q)=nkkkaq1，qk0，nkkq11，证明： 注意到如果ka中有等于0 时，不等式
8、自然成立，现在只需要考虑ka都是正数的情况. 因为指数函数)exp(xxe为严格的上凸函数，所以我们有：nkka1)(kq=knkknkkknkkkaaa111explnlnexp，当且仅当ka都相等的时候成立。这时候我们再令,1nknk,2,1时，该式子就是非负的几何平均数不大于算术平均数（AG不等式）还可以利用Young不等式：a1/pb1/qbqap/1/1，pqp1 ,1/1/1，得到1na1/n1nA(1-1/n)11111nnAnna记G1na1/n1nA(1-1/n)，A11111nnAnna. 则)1()1(2111nAnGGGAAAAAnnnnnn1/2n，即.11nnGA证
9、毕！ （Diananda）补充说明的是young 不等式的证明：Young不等式（ p-q 不等式）：设111,0,qpqp，则当p1时，成立名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载|1|apabp|1bqq；当10p的时候， 不等式反向， 当且仅当|abp-1的时候等号成立 . 证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：代数方法： 利用 Bernoulli 不等式：.11)
10、.(10,0 xxx再取xq,1bq/ap.(Bernoulli 不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明) 微分法：固定, 0 x求一元函数xyqyqpxpy11在),0上 的 极 值 ，在00 xy（式中11q）时取到最小值.即.00yy积分法：设xy是, 0a上严格递增的连续函数，比较面积得0,00badyydxxabba（这里的和函数互为反函数） ，然后我们取xxp-1即可证得！考虑二元函数xqypxyxf),(1/py1/q在凸域0,:,yxyxD上的凸性 . Lagrange 乘数法：求nnxxxf1在条件axxn1下的最大值，作辅助函数nxxxF11/n+)
11、(1axxn. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载F对kx求偏导数0kxF，得出.,1,nknkxxfk即对k求和，得到.1anxxnxnfn即axf)(. 由以上两个式子，我们可以得到naxk. 于 是f在nana,点 取 得 最 大 值，nananan即nnnxxnnaxx111. 再补充利用四个个不等式去证明的方法：利用不等式xx1exp，得出nnnknknknknknkAG
12、AaAanAa1111expexp)0exp(1n. 利用不等式xx)exp(eex，即.ln xex于是., 1,lnnkaeakk我们可以选择权系数, 0),(1knqqqq且nkkq1, 1使得.)(),(1eqaqaGknkkn于是从., 1,lnnkaeakk式子对k求和，得到knkknknkknkkkkkkqaeqaeaqeaqlnln1111，这就是加权平均不等式. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - -
13、 - - - - 学习必备欢迎下载利用不等式,01lnxxx得到,1l o gkkkkAaAa对k求和得到，, 0)log(11nAaAannkknknk即. 0)log(loglog1nnnnnknkAGnnAGAa从而我们得到,0lognnAG即1nnAG. 证毕！利用不等式.0, 1)1()(xnnxnx取)(1nAax1/(n-1)，则从不等式上方的不等式得到nAn121naaann-1，对上式逐次使用不等式得到：nAn2321naaaann-2)(21nnGaaan. 证毕！（Akerberg,B. 1963）5.深度的推广我们通过加权平均不等式来证明：设miiiikminka1.1
14、,1,0, 1,0则有不等式iminkiknkmiiikaa1111证明：当上述右边等于0 时，显然左边也等于0.我们考虑右边不为0 的情况，利用加权平均不等式，得：miiminkiknkikinkminkikikiinkninkikikmiinkiknkmiiikaaaaaaaa111111111111111名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当且仅当m个向量iniaa,1，mi,
15、 1.成比例时成立 . 证毕！特殊的情况：当kkxam1,2p，)(2kkyaq，1,1,12121qp时，这就是H?lder 不等式，nkkkyx1nkkpx11/p+nkkqy11/q 上式中当且仅当向量pxpxn)( ,)(1与向量qyqyn)( ,)(1成比例时等号成立. 再对上式中取2,2qpn时就得到Cauchy 不等式 .当且仅当nxx,1和向量nyy,1成比例时等号成立. 当然还能推导得到Minkowski 不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -