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1、24.1.2 垂直于弦的直径教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性. 2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程， 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 【情感态度】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透. 2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】垂径定理及其推论， 会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题. 【教学难点】垂径定理及其推论 . 教学过程一、情境导入，初步认识你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与
2、智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离） 为 7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？ （图：课本第 82 页图 24.1-7）【教学说明】 赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧， 要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课. 二、思考探究，获取新知1.圆的轴对称性名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4
3、 页 - - - - - - - - - 问题 1 用纸剪一个圆， 沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次， 你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】 学生通过自己动手操作， 归纳出圆是轴对称图形， 任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 2.垂径定理及其推论问题 2 请同学们完成下列问题：如右图， AB 是O 的一条弦，作直径CD.使 CDAB，垂足为 E. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由. 【教学说明】问题（ 1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（ 2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（
4、2）可由问题（1）得到，问题（ 2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识. 【归纳结论】 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧） . 数学语言：如上图，在 O 中，AB 是弦，直径 CD 垂直于弦 AB. AE=BE.?.ACBC ADBD。问（1）一条直线满足：过圆心.垂直于弦，则可得到什么结论？【教学说明】 本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解 . 问（2）已知直径 AB，弦 CD 且 CE=DE（点 E 在 CD 上） ，那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图）提示：分 E 点为“圆心”和“不是圆心”
5、来讨论.即：CD 是直径或 CD 是除直径外的弦来讨论 . 结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？【教学说明】问题（ 2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（ 3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 注意条件，加深
6、印象 . 3.利用垂径定理及推论解决实际问题问题 3 如图，用?AB表示主桥拱，设?AB所在圆的圆心为O，半径为 R，经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC， D 为垂足，OC 与?AB相交于点 C， 根据垂径定理，D 是 AB 的中点， C 是?AB的中点， CD 就是拱高， AB=37.4，CD=7.2，则AD=1/2AB=1/2 37.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2. 在 RtOAD 中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2. 即：R2=18.72+(R-7.2)2解得 R27.9(m) 赵州桥主桥拱半径约为27.9m. 【教学说明】 教师引导学生分析题意， 先把实际问题转化
7、为数学问题，然后画出图形进行解答 .并且在解答过程中，让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用，以及圆的半径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系. 三、运用新知，深化理解1.如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，且 CDAB， 根据圆的轴对称性可得：CE=_，?BC=_；?AC=_. 2.如图，在 O 中，MN 为直径， 若 MNAB，则_，_，_，若 AC=BC，AB 不是直径，则 _，_，_. 3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中?AB） ，点 O 是这段弧的圆心，C 是?AB上一点， OCAB，垂足为 D. AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径名师归纳总结 精品
8、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 是_m. 【教学说明】让学生当堂完成，第1、2 题是对垂径定理及其推论的巩固.第 3 题是对垂径定理的应用，需要将实际问题转化为数学问题. 【答案】 1.DE ?BD?AD2.AC=BC ?AB=?BM?AN=?BNMNAB ?AM=?BM?AN=?BN3.250 四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？【教学说明】 教师应让学生交流总结， 然后补充说明， 强调定理及其推论的应用. 课后作业1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取 . 2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分. 课后反思名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -