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1、3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 1 of 151. 运用各种方法解决行程内综合问题。2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们大致可以分为两类：一、行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。二、学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。本讲内容主要就是针对
2、这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是很受 “ 偏爱 ” 的。所以很重要。模块一、行程内综合【例1】邮递员早晨7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12 千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4 千米，下坡时每小时走5 千米，到达目的地停留1 小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局? 【考点】变速问题与走停问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间：12 4+8 5=4.6( 小时 );邮递员返回到邮局共用时间：8 4+12 5+1+4.6 =2+2.4+1+4
3、.6 = l0(小时 )邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5( 时).邮递员是下午5 时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8） 4+（12+8） 5+1=10(小时 )，邮递员是下午7+10-12=5( 时) 回到邮局的。【答案】 5 时行程综合问题知识精讲教学目标名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3
4、-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 2 of 15【例2】小红上山时每走30 分钟休息10 分钟， 下山时每走30 分钟休息5 分钟 已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？【考点】变速问题与走停问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 上山用了 3 小时 50 分，即60 350230(分)，由2303010530（），得到上山休息了5 次，走了230105180( 分 ) 因为下山的速度是上山的1.5 倍，所以下山走了180 1.5120(分)由120 304知，下山途中休息了3 次，所以下山共用12053135(分)2小时
5、 15 分【答案】2小时 15 分【例3】已知猫跑5 步的路程与狗跑3 步的路程相同；猫跑7 步的路程与兔跑5 步的路程相同而猫跑3 步的时间与狗跑5 步的时间相同；猫跑5 步的时间与兔跑7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道， 同时同向同地出发 问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？【考点】环形跑道与猎狗追兔【难度】 5 星【题型】解答【解析】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9: 25，猫与兔的速度之比为25: 49 设单位时间内猫跑1 米，则狗跑259米，兔跑4925米狗追上猫一圈需25675300194单位时间，兔追上猫一圈需496253001252单位时间
6、猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是6754的整数倍，又是6252的整数倍6754与6252的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即675,625675 62516875,8437.5424,22上式表明，经过8437.5 个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇此时，猫跑了8437.5 米，狗跑了258437.523437.59米，兔跑了498437.516537.525米方法二：根据题意，猫跑35 步的路程与狗跑21 步的路程、兔跑25 步的路程相等；而猫跑15 步的时间与狗跑25 步、兔跑21 步的时间相同所以猫、狗、兔的速度比为152521:3521 25，它们的最大公
7、约数为15,25,2115 25 211,35 21 2535,21,253557，即设猫的速度为151225353557，那么狗的速度为251625213557，则兔的速度为211441253557于是狗每跑3300(625225)4单位时追上猫；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 3 of 15兔每跑25300(441225)18单位时追上猫而
8、3,253 2575,4 184,182，所以猫、狗、兔跑了752单位时，三者相遇猫跑了752258437.52米，狗跑了7562523437.52米，兔跑了7544116537.52米【答案】 16537.5 米【例4】甲、乙两人沿400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2 米秒，乙比原来速度减少2 米秒，结果都用24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【考点】环形跑道与变速问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V
9、 跑了24 秒的路程与以（V +2 ）跑了24 秒的路程之和等于400 米， 24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 173米/秒【答案】173米/秒【例5】环形跑道周长是500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120 米，乙每分跑 100 米，两人都是每跑200 米停下休息1 分。甲第一次追上乙需多少分？【考点】环形跑道与变速问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】 55 分。解：甲比乙多跑500 米，应比乙多休息2 次，即2 分。在甲多休息的2 分内，乙又跑了200 米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑500200700（米） ，甲跑步的时间为700（1
10、20100） 35（分）。共跑了 120 354200（米） ，中间休息了4200 2001 20（次），即20 分。所以甲第一次追上乙需352055（分） 。【答案】 55 分【例6】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100 米，那么这条环形跑道的周长是米BCA【考点】环形跑道与变速问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5假设甲、乙从A点同时出发，按逆时针方向 跑 由 于 出发 时
11、 两者的速 度比 为2:5， 乙 追 上甲要比 甲多 跑1 圈 ，所以此 时甲 跑 了21(52)23，乙跑了53；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2(125%)2.5 ，乙的速度变为 5(120%)4 ，此时两者的速度比为2.5: 45:8；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，则此次甲跑了51(85)53，这个53就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程从名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -
12、3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 4 of 15环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是52133个周长，又可能是51233个周长那么，这条环形跑道的周长可能为21001503米或11003003米【答案】300米【例7】如图所示， 甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分 (粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99 次迎面相遇的地方距A点还有米。A【考点】环形跑道与变速问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 本题
13、中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇 可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是A点本题要求的是第99 次迎面相遇的地点
14、与A点的距离， 实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了20084100米，此时两人相距100 米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50 米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了10050150米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99 次迎面相遇的地点与A点的距离【答案】150米【例8】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提
15、高了1/3；乙跑第二圈时速度提高了1/5已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】 3 星【题型】解答【解析】 设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125.如下图：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page
16、5 of 15第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度 有甲回到出发点时， 乙才跑了23的跑道长度 .在乙接下来跑了13跑道的距离时， 甲以 “ 4”的速度跑了122433圈所以还剩下13的跑道长度，甲以 4 的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了11212435518圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840圈，所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040米【答案】400米【例9】如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路已知汽车在AB 上时速是 90 千米， 在 BC 上的时速是120 千米，在CD 上的时速是60 千
17、米 ,在 DA 上的时速是80 千米从CD 上一点 P, 同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 上一点 N 相遇问A 至 N 的距离除以N 至 B 的距离所得到的商是多少? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 如下图 ,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位 “ 1”.有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为608090PDDAAO10.5608090PD. 乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为6012090PCBCBO10.56012090PD. 有甲、
18、乙同时从P 点出发 ,则在 AB 的中点 O 相遇 ,所以有：16080PD=160120PC且有 PD=DC-PC=1-PC, 代入有116080PC160120PC,解得 PC=58. 所以 PM=MC=516,DP=38. 现在甲、乙同时从PC 的中点出发 ,相遇在 N 点,设 AN 的距离为 x. 有甲从 M 到达 N 点所需时间为608090MDDAAN351816608090 x；乙从 M 到达 N 点所需时间为6012090MCCBBN511166012090 x. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料
19、- - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 6 of 15有351816608090 x511166012090 x，解得132x.即 AN=132. 所以 ANBN1313232131【答案】131【例10】 一条环形道路，周长为2 千米甲、乙、丙3 人从同一点同时出发，每人环行2 周现有自行车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发， 中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时5 千米，乙和丙步行的速度是每小时4 千米， 3 人骑车的速度都是
20、每小时 20 千米请你设计一种走法，使3 个人 2 辆车同时到达终点那么环行2 周最少要用多少分钟 ? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“ 1”的路程只需时间120；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“ 1”路程，耽搁的时间比为：1111:3: 4520420而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3因为有 3 人， 2 辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙
21、、丙步行路程和等于环形道路的周长于是，甲步行的距离为24433=0.8 千米；则骑车的距离为2 2-0.8=3.2 千米；所以甲需要时间为(0.83.2520) 60=19.2 分钟环形两周的最短时间为19.2 分钟参考方案如下：甲先步行0.8 千米，再骑车3.2 千米；乙先骑车2.8 千米，再步行0.6 千米，再骑车0.6 千米 (丙留下的自行车) ；丙先骑车3.4 千米，再步行0.6 千米【答案】 19.2 分钟【例11】 甲、乙两人在400 米圆形跑道上进行10000 米比赛两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8 米，乙的速度为每秒6 米当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2 米
22、，乙的速度每秒减少0.5 米这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加O.5 米，直到终点那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】 4 星【题型】解答【解析】对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题
23、.题库学生版page 7 of 15甲、 乙速度差为 8-6=2 米秒，当甲第一次追上乙时， 甲应比乙多跑了一圈400米， 即甲跑了 400 2 8=1600米，乙跑了400 2 6=1200 米相遇后，甲的速度变为8-2=6 米秒，乙的速度变为6-0.5=55 米秒 显然，甲的速度大于乙，所以仍是甲超过乙当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为6-5.5=0.5 米秒， 追上乙时， 甲应在原基础上再比乙多跑一圈400 米，于是甲又跑了400 0.5 6=4800 米，乙又跑了400 0.5 5.5=4400 米甲第二次追上乙后，甲的速度变为6-2=4 米秒，乙的速度变为5.5-0.5= 5 米秒显
24、然，现在乙的速度大于甲，所以变为乙超过甲当乙追上甲时，甲、乙速度差为5-4=1 米秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈400 米，于是甲又跑了 400 1 4=1600 米，乙又跑了400 1 5=2000 米 。这时甲的速度变为4+0.5=4.5 米秒，乙的速度变为5+0.5=5.5 米秒并以这样的速度跑完剩下的全程在这过程中甲共跑了1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了1200+4400+2000=7600 米甲还剩下10000-8000=2000 米的路程，乙还剩下10000-7600=2400 米的路程显然乙先跑完全程，此时甲还剩下2400400420004.5365.511
25、11米的路程即当领先者到达终点时，另一人距终点43611米评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度. 【答案】43611米【例 12 】 某人乘坐观光游船沿河流方向从A港前行 发现每隔40 分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过已知A、B两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中速度相同，均是水速的7 倍那么货船的发出间隔是_分钟【考点】流水行船与发车间隔【难度】 4 星【题型】解答【关键词】数学解题能力展示,高年级组 ,初试【解析】 设水速为 v ，则船速为7v，顺水船速为8v，逆水船速为6v设货船发出的时间间隔为t
26、 ，则顺水船距为8vt，逆水船距为6vt设游船速度为w ，则有40 88vwvvt，20 66vwvvt解得28t，1.4wv【答案】 28 模块二、学科内综合名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 8 of 15【例13】 甲、乙两辆车从A 城开往 B 城，速度是55 于米小时，上午10 点，甲车已行的路程是乙车已行的路程的5 倍：中午 12 点，甲
27、车已行的路程是乙车已行的路程的3 倍问乙车比甲车晚出发多少小时？【考点】行程问题与差倍问题【难度】 2 星【题型】解答【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】 行程与和差倍问题路程差不变，画图求解图中粗线是10 点到 12 点 2 小时走的路程为1 份，从图中可以看出甲比乙多走4 份则乙车比甲车晚出发8 小时（注，此题所求的是时间差，不需要将速度带入）【答案】 8 小时【例14】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行5 千米；而李军第一小时行1千米，第二小时行3 千米，第三小时行5 千米， （连续奇数） 。两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙两地相距多少千米?【考点】行程问
28、题与数列综合【难度】 2 星【题型】解答【解析】 因为李军走的路程为：135若干个奇数相加，结果为中间数 个数，而张平走的路程为5小时数， 所以知道李军走的路程为：1357925，那么两个人分别走了2555（小时），所以路程为：25 250（千米）。【答案】50千米【巩固】甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行5 厘米，乙车第一秒行1 厘米，第二秒行2 厘米，第三秒行3 厘米， ，这样两车相遇时，走的路程相同。则轨道长_厘米。【考点】行程问题与数列综合【难度】 2 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试【解析】 路程相同，时间相同，甲乙的平均速度是一样的，1、2、3、4
29、、5、6、7、 8、9，乙走了9 秒，距离为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 厘米，轨道长90 厘米。【答案】 90 厘米【巩固】龟兔赛跑，全程5.2 千米，兔子每小时跑20 千米，乌龟每小时跑3 千米乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1 分钟然后玩15 分钟，又跑2 分钟然后玩15 分钟，再跑3 分钟然后玩 15 分钟， 那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟? 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - -
30、 - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 9 of 15【考点】行程问题之数列综合【难度】 3 星【题型】填空【解析】 乌龟到达终点所需时间为5.2 3 60=104 分钟兔子如果不休息，则需要时间5.2 20 60=15.6 分钟而兔子休息的规律是跑1、2、3、分钟后，休息15 分钟因为 15.6=1+2+3+4+5+0.6 ， 所以兔子休息了5 15=75 分钟，即兔子跑到终点所需时间为15 6+75=90 6分钟显然，兔子先到达，先乌龟104-90.6=13.4 分钟达到终点【答案】兔子先到达，先乌龟104-90.6=13.4 分钟达到终点【例15】 科技小
31、组演示自制机器人，若机器人从点A 向南行走1.2 米，再向东行走1 米，接着又向南行走 1.8 米，再向东行走2 米，最后又向南行走1 米到达 B 点，则 B 点与 A 点的距离是（）米。（A）3 （B）4 （ C） 5 （D） 7 【考点】行程问题与几何综合【难度】 2 星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛【解析】C【答案】C【例16】 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发10 分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100 分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？【考点】行程问题与几何综合【难度】 2 星【题型】
32、解答【关键词】希望杯，六年级，二试【解析】 5400 米。解：如右图所示，出发后10 分两人与十字路口距离相等，相当于两人相距1200 米，10分后相遇，两人的速度和为1200 10=120（米） .出发后 100 分两人再次与十字路口距离相等，相当于两人相距1200 米， 100 分后甲追上乙。由此推知两人的速度差为1200 10012（米） 。乙每分行（ 120 12） 2=54（米） ，出发100 分后距十字路口5400 米。【答案】 5400 米名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
33、- - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 10 of 15【例17】 如图 6，迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲）机器人和一个圆形机器人（乙），甲的边长和乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时出发，则首先到达迷宫中心（）处的是。入口入口乙甲【考点】行程问题与几何综合【难度】 2 星【题型】解答【关键词】希望杯，六年级，一试【解析】 甲、乙两机器人走的路程就是正方形，和圆的中心所走的路程，他们走的直线路程都相等，只是在拐弯时圆能滚动，如左下图可以由实线位置滚动到虚线位置，这样正方
34、形中心在拐弯时走的是折线部分，圆的中心在拐弯时走的是弧线部分，如右下图，所以是乙先到达【答案】乙先到达【例18】 A、B 两地位于同一条河上，B 地在 A 地下游 100 千米处甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航水速为2 米/秒，且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相距20 千米，那么两船在静水中的速度是米/秒【考点】行程问题与几何综合【难度】 4 星【题型】填空【关键词】迎春杯，复赛，高年级组【解析】 本题采用折线图来分析较为简便NMFEDCBA如图，箭头表示水流方向，ACE表示甲船的路线，BDF表示乙船的路线，两个
35、交点M、N就是两次相遇的地点由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC和DE的长度相同，AD和CF的长度名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 11 of 15相同那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N点距DE的距离相等，也就是说两次相遇地点与A、B两
36、地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距20 千米，所以第一次相遇时，两船分别走了10020240千米和1004060千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60 : 403: 2而顺水速度与逆水速度的差为水速的2 倍，即为4 米 /秒，可得顺水速度为432312 米/秒，那么两船在静水中的速度为12210米/秒【答案】10米/秒【例 19 】 夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走，小龙每步长54 厘米，爸爸每步长72 厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60 个脚印。那么这条小路长。【考点】行程问题与数论综合【难度】 4 星
37、【题型】填空【关键词】希望杯，5 年级， 1 试【解析】 爸爸走 3 步和小龙走4 步距离一样长，也就是说他们一共走7 步，但却只会留下6 个脚印，也就是说每 216 厘米会有6 个脚印， 那么有 60 个脚印说明总长度是216 102160厘米，也就是21.6米。【答案】 21.6 米【例 20 】 甲、乙两地相距100 千米，张山骑摩托车从甲地出发，1 小时后李强驾驶汽车也从甲地出发，二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时50 千米，中途减为每小时40 千米；汽车的速度是每小时80 千米，并在途中停留10 分钟。那么，张山骑摩托车在出发分钟后减速 . 【考点】行程问题与鸡兔同笼【难
38、度】 3 星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初试【解析】汽车行驶了：100806075（分）；摩托车行驶了：756010145（分）设摩托车减速前行驶了 x 分，则减速后行驶了145x 分，列方程为：14550401006060 xx5580460 0 xx20 x所以张山骑摩托车出发20 分钟后减速 . 【答案】 20 分钟【例21】 甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进现在甲位于乙的前方，乙距起点20 米；当乙游到甲现在的位置时，甲已离起点98 米问：甲现在离起点多少米? 【考点】行程问题中的年龄问题【难度】 2 星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛【解析】 当乙游到甲现在的
39、位置时，甲也游了同样的距离，这距离是(9820) 239(米)，所以甲现在离起点 39 2059(米). 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 12 of 15【答案】 59 米【例22】 某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12 小时，再换骑自行车行9 小时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车21 小时，再换骑摩托车行8 小时，也恰好到达
40、乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】 对比分析法：骑摩托车骑自行车方案一12 小时9 小时方案二8 小时21 小时方案一比方案二多 4 少 12 说明摩托车 4 小时走的路程=骑自行车12 小时走的路程推出摩托车 1 小时走的路程=骑自行车3 小时走的路程整理全程骑摩托车需要129 315（小时）【答案】 15 小时【例23】 甲、乙两人同时从两地出发相向而行，相遇后继续前进，当两人相距2.5千米时，甲走了全程的23，乙走了全程的34。两地相距多少千米？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答
41、【解析】6千米，解：232.51634（千米）【答案】6千米【例24】 甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需48 分，出发后30 分两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】80分，解：111803048（分） 。【答案】80分【例25】 甲、乙两站相距不到500 千米， A，B 两列火车从甲、乙两站相对开出，A 车行至 210 千米处停车， B 车行至 270 千米处也停车，这时两车相距正好是甲、乙两站距离的19。甲乙两站的距离是多少？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 432
42、千米。提示：分两车未相遇与已相遇两种情况。若未相遇，全程为121027015409（千米），不合题意；若已相遇，全程为121027014329（千米），符合题意。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 13 of 15【答案】432千米【例26】 客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10 时，货车行完全程需15 时。两车在中途相遇后，客
43、车又行了90 千米，这时客车行完了全程的80，求甲、乙两地的距离。【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】450千米。提示：相遇时客车行了全程的35。【答案】35【例27】 小王和小李同时从两地相向而行，小王走完全程要60 分，小李走完全程要40 分。出发后5 分，小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了5 分，小李再出发后多长时间两人相遇？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】18分，解：1511118606040（分）。【答案】18分【例28】 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要8 时，比快车从异地到甲地所需时间多13。一
44、直两车同时开出，相遇时快车比慢车多行48 千米，求甲、乙两地的距离。【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 336 千米。解：快、慢车行一个单程所需时间之比为34，相遇时两车分别行了全程的47和37。【答案】 336 千米【例29】 甲、乙二人在环形自行车赛场上训练，已知两人骑一圈分别需要23 秒和 27 秒。如果两人同时从起点出发，背向而行，那么他们再次相遇需要多长时间？如果是同向行，那么甲超过乙需要多长时间？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 背向而行 12.24 秒，同向而行155.25 秒。提示：甲、乙1秒分别骑一圈的123和12
45、7。【答案】背向而行12.24 秒，同向而行155.25 秒【例30】 甲、乙两汽车先后从A 地出发到B 地去，当甲车到达A，B 两地中点时，乙车走了全程的15；当甲车到达B地时，乙车走了全程的23。求甲、乙两车车速之比。【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】15:14，解：由题意，甲车从中点到B点行了全程的12，此期间，乙车行了全程的2173515，两车速度之比为171521514。【答案】15:14【例31】 大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶。大货车先走1.5 时，小轿车出发4 时后追上了大货车。如果小轿车每小时多行5 千米，那么出发后3 时就可追上大货
46、车。问：小轿车实际名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 14 of 15上每时行多少千米？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】 55 千米。解：以大货车的时速为单位“ 1”，则小轿车的实际时速为41.54，小轿车每时多行5千米的时速为31.53，5千米对应的分率是31.541.534。 大货车每时行31.541.5540
47、34（千米），小轿车每小时行41.540554（千米）【答案】 55 千米【例32】 星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去。弟弟先走5 分，哥哥出发后25 分追上了弟弟。如果哥哥每分多走5 米，那么出发后20 分就可以追上弟弟。弟弟每分走多少米？【考点】行程问题中的工程问题【难度】 2 星【题型】解答【解析】100米，解：各个的速度是弟弟的2556255（倍）。如果哥哥每分钟多走5米，则哥哥的速度是弟弟的2055204（倍） 。弟弟每分钟走561551004520（米）【答案】100米【例33】 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以2 米/秒和 3 米 /秒的速
48、度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2 米 /秒和 3 米/秒的速度各划行比赛时间的一半 .你认为这两个方案哪个好？【考点】行程问题与策略综合【难度】 2 星【题型】解答【解析】 第二种方案【答案】第二种方案【例34】 一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5 个车站 ,它们之间的路程如图所示(单位 :千米 ).两列火车同时从A,E 两站相对开出,从 A 站开出的每小时行60 千米 ,从 E 站开出的每小时行50 千米 .由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此 ,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一
49、列火车至少需要停车多少分钟 ? 【考点】行程问题与策略综合【难度】 2 星【题型】解答【解析】 两列火车同时从A,E 两站相对开出 ,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.从图中可知 : AE 的距离是 :225+25+15+230=495( 千米 ),两车相遇所用的时间是:495 (60+50)=4.5( 小时 ),相遇处距A 站的距离是 :60 4.5=270(千米 ),而 A,D 两站的距离为 :225+25+15=265( 千米 ),由于 270千米 265 千米,因此从 A站开出的火车应安排在D 站相遇 ,才能使停车等待的时间最短.因为相遇处离
50、D 站距离为 270-265=5(千米 ),那么 ,先到达 D 站的火车至少需要等待:1156055060(小时 ) ，1160小时 =11分钟名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3-3-2. 比例解行程问题.题库学生版page 15 of 15【答案】 11 分钟【例35】 一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发地装车，每次拉4 根，线路上每两根电线杆间距离为50米，共运了两次， 装卸结束后返回原