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1、1 最大公约数与最小公倍数应用一一、知识要点：1、性质 1：如果 a、b 两数的最大公约数为d，则 a=md,b=nd, 并且 m,n=1。例如： 24,54 =6,24=4 6,54=9 6，4,9 =1。2、性质 2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a 与 b 的最小公倍数 a,b是 a 与 b 的所有倍数的最大公约数，并且ab=a,b a,b 。例如： 18，12= ，18 ，12= 18，1218 ， 12= 3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。3、辗转相除法二、热点考题：例 1 两个自然数的最大公约数是6， 最小公倍数是 72。已知其中一个自然
2、数是18，求另一个自然数。运用性质 2练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是 288，求乙数。例 2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页2 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是 11 求这两个自然数。”，例 3 已知 a与 b， a与 c 的最大公约数分别是12和 15，a，b，c 的最小公倍数是 120，求 a，b，c。分析与解
3、：因为 12，15 都是 a 的约数，所以 a 应当是 12 与 15 的公倍数，即是 12，15=60的倍数。再由 a，b，c=120知， a 只能是 60 或 120 。a，c=15 ，说明 c 没有质因数 2，又因为 a，b，c=120=233 5，所以 c=15 。练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例 4 已知两个自然数的和是50， 它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。例 5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为 60，求这两个数。习题四1已知某数与24 的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。2已知两个自然数的最大公约数为4，
4、最小公倍数为120，求这两个数。3已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。4已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页3 5已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。6 已知两个自然数的和为900， 它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432， 求这两个自然数。7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6 个，如果减少一条船，正好每船坐 9 人，这个班有多少人？8、一个数被 2
5、除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，被 6 除余 5，此数最小是几？9、 已知 A与 B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且 AB42，求 B。10、已知 A和 B的最大公约数是31，且 AB5766，求 A和 B。11、有一盘水果， 3 个 3 个地数余 2 个，4 个 4个数余 3，5 个 5 个数余 4 个，问这个盘子里最少有多少个水果？家 庭 练 习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页4 1. 拖拉机前轮直径64 厘米，后轮直径 96 厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使
6、前、后轮同时着地的两点重新同时着地？2. 现在有香蕉42 千克，苹果112 千克，桔子 70 千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3、一个数被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，被 6 除余 5，此数最小是几？4、将 72 和 120 的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。5、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是 72。满足条件的自然数有哪几组？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共
7、22 页5 例 1 用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数， a 最大是多少？分析与解 ：因为 498，450，414除以 a 所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是 48，36，84=12。例 2 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解 ：只知道三个自然数的和， 不知道三个自然数具体是几， 似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是 1111，它们的公约数一定是1111 的约数。因为 111
8、1=101 11，它的约数只能是1，11，101和 1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公约数， 而 101是可能的， 比方取三个数为 101，101 和 909。所以所求数是101。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页6 练习：1、在 1000 到 2000 之间，能同时被6、8、10 这三个自然数整除的自然数一共有几个？2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16 的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、
9、9 的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？4、甲、乙、丙三人沿 600 米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发？5、两数的乘积是 9000，它们的最大公因数是 15，这个两数各是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页7 6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要 1 分、1 分 15 秒和 1 分 30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？7、两个小于 150的数的积是 2028，它们的
10、最大公约数是 13，求这两个数。8、 有一堆桔子，按每 4 个一堆分少 1 个，按每 5 个一堆分也少 1 个，按每 6 个一堆分还是少 1 个。这堆桔子至少有多少个？【例 3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛， 狐狸每次跳 4.5 米，袋鼠每次跳 2.75 米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔 12.375 米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米 ? 【例 5】用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页8
11、 【例 6】 1A、B 两数的乘积是216，它们的最小公倍数是36。 A、B 两数的最大公因数是多少？2甲乙两数的最小公倍数是 288，最大公因数是 4，甲数是 36，乙数是多少？【例 7】 加工某种机器零件，要经过三道工序 . 第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？练习：1. 甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？2. 一块长方形地面，长 120 米， 宽 60 米，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
12、纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页9 要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？3. 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是 31. 求这两个自然数。4有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了91 个碗。参加野炊的至少有多少同学？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页10 带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题 . 除此之外，例如：163=51，即 16=53+1.此时，被除
13、数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果 a 是整数， b 是整数 b0 ，那么一定有另外两个整数 q 和 r ，0r b，使得 a=bq+r。当 r=0 时， 我们称 a 能被 b 整除。当 r0 时，我们称 a 不能被 b整除， r 为 a 除以 b 的余数， q 为 a除以 b 的不完全商亦简称为商.用带余除式又可以表示为ab=qr ，0rb。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页11 例 1 一个两位数去除 251，得到的余数是 41. 求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大
14、于 41 的两位数 . 解题可从带余除式入手分析。解：被除数除数 =商余数，即被除数 =除数商 +余数，251=除数商 +41，251-41=除数商，210=除数商。210=2357，210的两位数的约数有10、 14、15、21、30、35、42、70，其中42和 70 大于余数 41.所以除数是 42 或70. 即要求的两位数是42 或 70。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页12 例 2 用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：被
15、除数 =除数商 +余数，即被除数 =除数 40+16。由 题 意 可 知 ： 被 除 数 +除 数=933-40-16=877，除数 40+16+除数=877，除数 41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数 =2140+16=856。答：被除数是 856， 除数是 21。例 3 某年的十月里有5 个星期六，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页13 4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星期几？解：十月份共有31 天，每周共有 7 天，31=74+3，根据题意可知： 有 5 天的星期数必然是星期四
16、、 星期五和星期六。这年的 10 月 1 日是星期四。例 4 3 月 18 日是星期日，从3 月17 日作为第一天开始往回数即 3月 16 日第二天，15 日第三天 ，的第 1993 天是星期几？解：每周有 7 天，19937=284周 5天 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页14 从星期日往回数5 天是星期二，所以第 1993 天必是星期二 . 例 5 一个数除以 3 余 2，除以 5 余3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题. 它早在孙子算经中记有： “今有物不知其数，三三数之剩二， 五
17、五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知 . ”意思是，用除以 3 的余数乘以 70，用除以 5 的余数乘以 21，用除以 7 的余数乘以 15， 再把三个乘积相加 .如果这三个数的和大于105， 那么就减去105，直至小于 105 为止. 这样就可以得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页15 到满足条件的解 . 其解法如下：方法 1：270+321+215=233 233-1052=23 符合条件的最小自然
18、数是23。例 5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法 2：3 ，7+2=23 23 除以 5 恰好余 3。所以， 符合条件的最小自然数是23。方法 2 的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例 6 一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除” ，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被6 整除” 。解：5 ，6-2=28 ，即 28 适合前两个条件。想：28+5，6 ？之后能满足“ 7除余 1”的条件？28+5，6 4=148，148=217+1，又 148210=5，6，7 精选学习资
19、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页16 所以，适合条件的最小的自然数是148。例 7 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。解：想： 2+3？之后能满足 “5 除余 3” 的条件？2+32=8。再想：8+3，5 ？之后能满足“ 7 除余 4”的条件？8+3，5 3=53。符合条件的最小的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页17 自然数是 53。归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法 . 当找到满足某
20、个条件的数后，为了再满足另一个条件， 需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例 8 一个布袋中装有小球假设干个 . 如果每次取3个，最后剩 1 个；如果每次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页18 取 5 个或 7 个，最后都剩 2个. 布袋中至少有小球多少个？解： 2+5 ，7 1=37个37 除以 3 余 1， 除以5 余 2，除以 7 余 2，布袋中至少有小球37 个。例 9 69 、90 和 125 被某个正整数 N除时，余数相同，试求 N
21、的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页19 15 除以 2 余 1，19 除以 2 余 1，即 15和 19被 2除余数相同余数都是 1 。但是 19-15 能被 2 整除. 由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a和 b，均被自然数 m除，余数相同， 那么这两个整数之差大 - 小一定能被 m整除。反之， 如果两个整数之差恰被 m整除， 那么这两个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22
22、页20 整数被 m 除的余数一定相同。例 9 可做如下解答：三个整数被N除余数相同，N 90-69 ， 即 N21， N125-90 ，即 N35，N是 21和 35的公约数。要求 N的最大值，N是 21和 35 的最大公约数。21和 35的最大公约数是 7，N最大是 7。例 6 甲乙两数的乘积是2700， 甲乙两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页21 数的最大公因数是15。 甲乙两数各是多少？练习1、一张长方形纸，长 72 厘米，宽 48厘米，把它裁成假设干个相等的小正方形而没有剩余，要正方形尽可能大，可以裁多少个正方形？2、当商取整数时，用某数去除410余 5，去除 242 少 1，去除 550 余 10，这个数最大是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页22 3、两个数的和是 836，其中一个数的末尾是 0，如果把这个 0 抹去就与另一个数相等，这两个数各是多少？4、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是 144，求这两个数是多少。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页