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1、14.3.2公式法公式法(2)14.314.3因式分解因式分解29991= (999+1)2 = 106逆用逆用完全平方公式完全平方公式 就像平方差公式一样，就像平方差公式一样，完全平方公完全平方公式式也可以也可以逆用逆用，从而进行一些简便计算，从而进行一些简便计算与因式分解。与因式分解。即：即：2222bababa新课引入新课引入完全平方式的特点：完全平方式的特点：1必须是必须是三项式三项式（或可以看成三项的）（或可以看成三项的）2有两个有两个同号同号的平方项的平方项3有一个乘积项（等于平方项底数的有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍）简记口诀简记口诀首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，
2、尾平方，首尾两倍在中央。22 2首首 尾尾口答：下列各式是不是口答：下列各式是不是完全平方式完全平方式 22222222222122234446154624aba bx yxyxx yyaa bbxxaa bb是是是是是是否否是是否否多项式多项式是否是完是否是完全平方式全平方式 a 、b各各表示什么表示什么 表示为：表示为： 表示为表示为或或 形式形式222baba填写下表填写下表962xx1442yy241a4122xx229124xxyy9)2 ( 6)2 (2yxyx2)(ba2)(ba22332xx2211)2 (2)2 (yy2233)2 (2)2 (yxyx2)3( x2) 12(
3、y2)32( yx是是是是不是不是是是不是不是不是不是a a表示：表示：x xb b表示：表示：3 3a a表示：表示：2y2yb b表示：表示：1 1a a表示：表示：2x+y2x+yb b表示：表示：3 3 222222224221_2 49_3_414_452_xyabxyabxx y2xy12ab4xyab4y2a b2a b222aab b222aab b 我们可以通过以上公式把我们可以通过以上公式把“完全平方式完全平方式”分解因式分解因式 我们称之为：我们称之为：运用完全平运用完全平方公式分解因式方公式分解因式例例1：分解因式：分解因式（1）16x2+24x+9分析分析：在：在(1
4、)中，中，16x2=(4x)2,9=32,24x=24x3,所以所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即是一个完全平方式，即16x2+24x+9= (4x)2+ 24x3 +32a22a bb2+解解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32=(4x+3)2新知运用新知运用（2）x2+4xy4y2例例2: 分解因式分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36分析分析：在（：在（1）中有公因式）中有公因式3a，应先提出，应先提出公因式，再进一步分解。公因式，再进一步分解。解解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy
5、+y2)=3a(x+y)2(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2(a+b)6+62=(a+b-6)2.巩固练习巩固练习1 1、下列各式中，能用完全平方公式、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（分解的是（ ）A A、a a2 2+b+b2 2+ab +ab B B、a a2 2+2ab-b+2ab-b2 2 C C、a a2 2-ab+2b-ab+2b2 2 D D、-2ab+a-2ab+a2 2+b+b2 22 2、下列各式中，不能用完全平方公下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（式分解的是（ ）A A、x x2 2+y+y2 2-2xy -2xy B B、x x2 2
6、+4xy+4y+4xy+4y2 2 C C、a a2 2-ab+b-ab+b2 2 D D、-2ab+a-2ab+a2 2+b+b2 2DC3 3、下列各式中，能用完全平方公式、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（分解的是（ ）A A、x x2 2+2xy-y+2xy-y2 2 B B、x x2 2-xy+y-xy+y2 2 C C、 D D、4 4、下列各式中，不能用完全平方公下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（式分解的是（ ）A A、x x4 4+6x+6x2 2y y2 2+9y+9y4 4 B B、x x2n2n-2x-2xn ny yn n+y+y2n2n C C、x x6 6
7、-4x-4x3 3y y3 3+4y+4y6 6 D D、x x4 4+x+x2 2y y2 2+y+y4 4221x -2xy+y 4221x -xy+y 4DD2132xy5 5、把、把 分解因式得分解因式得 （ ）A A、 B B、6 6、把把 分解因式分解因式得得 （ ）A A、 B B、221394xxyy2134xy224493xyxy223xy243xyBA7 7、如果、如果100 x100 x2 2+kxy+y+kxy+y2 2可以分解为可以分解为（10 x-y)10 x-y)2 2, ,那么那么k k的值是（的值是（ ）A A、20 20 B B、-20 -20 C C、10
8、 D10 D、-10-108 8、如果如果x x2 2+mxy+9y+mxy+9y2 2是一个完全平方式，是一个完全平方式，那么那么m m的值为的值为（ ）A A、6 6 B B、6 6 C C、3 D3 D、3 3 BB9 9、把、把 分解因式得分解因式得（ ）A A、 B B、C C、 D D、1010、计算计算 的的结果是（结果是（ ）A A、 1 B1 B、-1-1C C、 2 D2 D、-2-2244abab21ab21ab22ab22ab221002 100 9999 CA11.请运用完全平方公式把下列各式分解因式：请运用完全平方公式把下列各式分解因式： 2222222214426
9、9344149615464129xxaaaamm nnxxaabb22x原式23x原式221a原式23mn原式212x原式223ab原式1：如何用符号表示完全平方公式？：如何用符号表示完全平方公式？a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2(a-b)22：完全平方公式的结构特点是什么？：完全平方公式的结构特点是什么？完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1、必须是、必须是三项式三项式（或可以看成三项的）（或可以看成三项的） 2、有两个、有两个同号同号的平方项的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍）简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍
10、在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。课堂小结课堂小结(1) a24a+4 (2)1+4a2 (3) 4b2+4b1 (4)a2+ab+b2 (1) x2+12x+36 (2) 2xyx2y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x24x+1 (5) ax2+2a2x+a3 (6) 3x2+6xy3y21.下列多项式是不是完全平方式？为什么下列多项式是不是完全平方式？为什么巩固练习巩固练习2.分解因式：分解因式：思考题思考题: :1 1、多项式、多项式: :(x+y)(x+y)2 2-2(x-2(x2 2-y-y2 2)+(x-y)+(x-y)2 2能能用用完全平方公式分解吗完全平方公式分解吗
11、? ?2 2、在括号内补上一项，使多项、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：式成为完全平方式：X X4 4+4x+4x2 2+( )+( )1.1.利用因式分解计算：利用因式分解计算：1001002 2-99-992 2+98+982 2-97-972 2+96+962 2-95-952 2+ + +2+22 2-1-12 2解：解：原式原式= =（100+99100+99)(100-99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(98+97)(98-97） + + +(+(2+1)(2-1)2+1)(2-1) =199+195+191 + =199+195+191 + +3+3
12、 =5050 =50502 2.(2014.(2014江西中考江西中考) )因式因式分解分解:2a:2a2 28 8_._.3 3.(2014.(2014珠海中考珠海中考) )因式分解因式分解: : =_.=_.22ayax 4.4.（20142014东阳中考）因式分解：东阳中考）因式分解：x x3 3-x=_.-x=_.5.5.（20142014盐城中考）因式分解盐城中考）因式分解: : =_=_92x7.7.（20142014黄冈中考）黄冈中考）分解因式分解因式:x:x2 2-x=_.-x=_.11.11.（20142014黄冈中考）黄冈中考）分解因式：分解因式：2a2a2 24a+24a
13、+28.8. 计算计算: 765: 7652 217172352352 2 1717 解：解：7657652 217172352352 2 1717 =17(765 =17(7652 2 2352352 2)=17(765+235)(765 )=17(765+235)(765 235)235) =17 =17 1000 1000 530=9010000530=90100009.20109.20102 2+2010+2010能被能被20112011整除吗整除吗? ? 解：解：201020102 2+2010=2010(2010+1)=2010 +2010=2010(2010+1)=2010 20
14、112011 2010 20102 2+2010+2010能被能被20112011整除整除. .b a 将一个正方形的一角剪去一个小正方将一个正方形的一角剪去一个小正方形，观察剪剩下的部分，你能在只能剪一形，观察剪剩下的部分，你能在只能剪一刀的情况下，将剩余部分重新拼接成一个刀的情况下，将剩余部分重新拼接成一个特殊四边形吗？特殊四边形吗？=a2-b2(a+b) (a-b)a-ba+b aba2 - b2= (a+b)(a-b) aba2 - b2= (a+b)(a-b)a-ba+ba-ba+b aba2 - b2= (a+b)(a-b) aba-b2b2aa2 - b2= (2a+2b)(a-
15、b) =(a+b)(a-b) 121414、用平方差公式进行简便计算、用平方差公式进行简便计算: :（1 1）999-998999-998（2 2）229-171 229-171 （3 3）91918989（4）把）把9991分解成两个整数的积。分解成两个整数的积。 3 32 2-1-12 2=8=81 1， 5 52 2-3-32 2=8=82 2，（1 1） 7 72 2-5-52 2=_=_，（2 2） 9 92 2-7-72 2=_=_（3 3）（）（ ）2 2-9-92 2=8=85;5;请归纳上述各式所反映的一般规律，并加以请归纳上述各式所反映的一般规律，并加以说明理由。说明理由。
16、838411（2n+1)2-(2n-1)2=8n1616、（、（20052005年浙江省）在日常生活中如上网等年浙江省）在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。便记忆又不易破译。例如例如用多项式用多项式x x4 4-y-y4 4因式分解的结果因式分解的结果（x-y)(x+y)(xx-y)(x+y)(x2 2+y+y2 2) )来设置密码，当取来设置密码，当取x=9,y=9x=9,y=9时，可得时，可得一一个六位数的密码个六位数的密码“018162018162”。你知。你知道这是怎么来的吗道这是怎么来的吗? ?小明选用
17、多项式小明选用多项式4x4x3 3-xy-xy2 2，取，取x=10,y=10 x=10,y=10时。用时。用上述方法产生的密码是什么上述方法产生的密码是什么? ?( (写出一个即可写出一个即可) )2 2、计算、计算： 2525 265 2652 21351352 2 25 25选做题：选做题：1、分解因式：、分解因式：22cbacba4 4、已知、已知x+y=7,x-y=5x+y=7,x-y=5, ,求代数式求代数式 x x2 2-y-y2 2-2y+2x-2y+2x的值的值. .5 5、若、若n n是整数是整数, ,证明证明(2n+1)(2n+1)2 2-(2n-1)-(2n-1)2 2
18、是是8 8的倍数的倍数. .3 3、1991993 3-199-199能被能被200200整除吗整除吗? ?还能被哪些整数整除还能被哪些整数整除? ?6 6、英国数学家狄摩根在青年时代、英国数学家狄摩根在青年时代, ,曾有人问他曾有人问他:“:“今今年多大年龄？年多大年龄？”狄摩根想了想说：狄摩根想了想说：“今年，我的年今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是龄和我弟弟年龄的平方差是141141，你能算出我的年龄，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为假设狄摩根的年龄为x x岁，他岁，他弟弟的年龄为弟弟的年龄为 y y岁，你能算出他们的年龄吗？岁，你能算出他们的年龄吗？