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1、第四讲 因数与倍数（数的整除特征）【知识概述】整除是指整数a除以整数b（0除外）除得的商正好是整数而余数是零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a)，记作bla，读作“b整除a”或“a能被b整除”。它与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b（b子0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a)。因此整除与除尽的区别是：整除是指被除数、除数以及商都是整数，而余数是零；除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。整除的一些性质为：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与
2、a-b也能被c整除。（2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。（3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除。反过来也成立。有关数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征是：个位数字为0，2，4，6，8的整数。（2）能被5整除的数的特征是：个位数字为0，5的整数。（3）能被2，5整除的数的特征是：个位数字为0的整数。（4）能被3（或9）整除的数的特征是：各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数的整数。（5）能被2,3，5整除的数的特征是：个位数字为0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的整数。（6）能被4，25整除的数的特征是：末两位能被4，25整除的整数
3、。如2168，因为68能被4整除（或者说68是4的倍数），我们就说2168能被4整除，但不能被25整除。而如2175就能被25整除，但不能被4整除。而2100既能被25整除，也能被4整除。（7）能被8，125整除的数的特征是：末三位能被8，125整除的整数。如23625，因为625是125的倍数，不是8的倍数，所以23625能被125整除，而不能被8整除。（8）能被11整除的数的特征是：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例题精学例1 在内填上适当的数字，使：（1）34能同时被2，3，4，5整除；（2）736能被24整除。【思路分析】（1）题目要求34能
4、同时被2，3，4，5整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，所以34只要能被3，4，5整除，就一定能被2，3，4，5整除。先考虑能被5整除的条件。个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除345，所以个位必须是0。最后考虑能被3整除的条件，340的各个数位上的数字和是3的倍数，3+4+0=7+，这时十位数字只能是2或5，8。又因为50不能被4整除，所以十位数字是2或8。（2）题目要求736能被24整除，24=38，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3，8整除就行了。先考虑被8整除的条件，736的末三位数所组成的数36能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个
5、位数字为0时，由于要求7360能被3整除，所以7+3+6+0=16+能被3整除，这样千位教字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7368能被3整除，所以7+3+6+8=24+能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9。同步精练1. 五位数841中的固内填什么数字，才能被3整除且含有约数5，写出这些数。2. 在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能小。3. 既能被2整除，又是3的倍数，还有约数5的最小两位数是多少?最大的两位数是多少？例2 四位数72能同时被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？【思路分析】要使四位数7门2同能同时被
6、2，3，5整除，个位上的数是几？又要使四位数7同2能被3整除，百位上可取哪些数?为什么？满足这些条件的四位数有4个。同步精练1. 个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？2. 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。3. 四位数6a3b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个?分别是多少?例3有一个两位数不能被3，6，9整除，加上8后就能够被3，6，9整除了，请问这个两位数最大是多少?【思路分析】能被3整除的数的特征是各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。能被9整除的数的特征也是各位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。能被6整除的数的特征是各
7、位上的数字之和能被3整除，而且这个数是偶数，这个数就能被6整除。能被3，6，9整除的数就一定能被18整除。加8后被18整除的最大两位数是82。同步精练1.已知一个五位数是154ab，能被72整除，求a与b的积。2.有一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，知道这个数十位上的数字是1，个位上的数字是2。又知道这个数如果减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除。求这个四位数。3.用1，2，38，9这九个数字组成数字不重复的三位数。第二个数是第一个数的两倍，第三个数是第一个数的三倍。在所有这些三位数中，最大的一个三位数与最小的一个三位数之差是多少？例4 商店里有6只不同的货箱，
8、分别装有货物15，16，18，19，20，31千克。两个顾客买走其中5箱货物，而一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的那箱货物重量是多少千克？【思路分析】要求商店里剩下的货物是多少千克，就要知道两个顾客买走的5箱货物是多少千克。根据“一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍”可知：两个顾客买走的5箱货物的总重量应是3的倍数。计算6箱货物的总重量是15+16+18+19+20+31=119（千克），119除以3余2；因为卖出的5箱货物的总重量是3的倍数，所以剩下的那箱货物重量除以3也应余2。可见，剩下的货物重量为20千克。同步精练1. 把一张纸剪成6块，从所得的纸片中取出若干块，每块
9、各剪成6块；再从所有的纸片中取出若干块，每块各剪成6块如此进行下去，到剪完某次停止。所得的纸片总数有可能是2000，2001，2002，2003这四个数中的（ ）。2. 一位后勤人员买了72台微波炉，可是由于他吸烟不小心，灭星落在账本上，把这笔账的总数烧去两个数字。账本是这样的：72台微波炉，共679元（为被烧掉的数字，微波炉单价为整数），请把处数字填补上，并求出微波炉的单价。3. 希希买了9支铅笔，2支圆珠笔，3本练习本和5块橡皮，她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意，售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了。”请问售货员的账算错了没有？为什么？练习卷一、填空。1.用
10、2，7，0三个数字可组成不同的三位数，其中：（1）是2的倍数的有（ ）；（2）有约数5的有（ ）（3）能被3整除的有（ ）。2.用1，5，6可以排成（ ）个不同的三位数，这些三位数中：（1）含有质因数3的三位数有（ ）；（2）含有质因数5的三位数有（ ）；（3）既含有质因数2，又含有质因数3的三位数有（ ）。3.用7，2，3，6四个数字组成的各位数字互不相同的四位数中，既能被8整除，又有约数9的最小数是（ ）。4.既能被3整除，又是5的倍数的两位数中，最大的奇数是（ ）。5.在里填上合适的数字，使七位数1994能同时被9，8，25整除。二、解决问题。1.把915连续写多少次，所组成的数就能被9
11、整除，并且这个数最小?2. 从0，1，2，4，7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有多少个？3. 有0，1，4，7,9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？4. 有一个四位数，它的个位数字与千位数字之和为10，且个位数字是质数又是偶数，去掉个位数字与千位数字，剩下的那个两位数是质数。又知道这个四位数还能被72整除。求这个四位数。5. 一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。甲是这样的四位数中最大的，乙是最小的，则甲、乙两数的千位数字与个位数字（共四个数字）的总和是多少?6. 小王买了3支铅笔，5支圆珠笔，8本笔记本和12块橡皮，总共用去2元5角钱。已知铅笔4分一支，圆珠笔3角6分一支，问营业员的账有没有算错？7.某校组织了9个学雷锋活动小组，各组人数如下：组别123456789人数579101113141723一天上午有8个小组去参加车站与敬老院“献爱心”活动。其中去敬老院的人数是去车站的6倍。剩下的一个小组到部队慰间，这是第几组?