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1、微分方程例题选解微分方程例题选解1.求解微分方程xln xdy(y ln x)dx 0 , y |xe解：原方程化为3。2dy11y ，dxxln xx11dxdx1 通解为y exln xexln xdx Cx1ln x112dx C ln x Cln xxln x 2311由x e，y ，得C 1，所求特解为y ln x。2ln x2222.求解微分方程x y xy y 0。解：令y ux，y u xu，原方程化为u xu u u，分离变量得积分得2du1dx，2xu1 ln x C，u原方程的通解为y x。ln xC32233.求解微分方程(x xy )dx (x y y )dy。解：此
2、题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。原方程化为x dx xy dx x ydy y dy 0，由x dx xy dx x ydy y dy32233223141221dx (y dx x2dy2)dy44241d(x4 2x2y2 y4)，44224得d(x 2x y y ) 0，原方程的通解为x 2x y y C。注：此题也为齐次方程。24.求解微分方程y1(y)。解：设p y，则y 分离变量得4224dpdp，原方程化为1 p2，dxdxdp dx，积分得arctan p x C1，1 p2于是y p tan(x C1)， 积分得通解为y lncos(xC1)C2。5.求解微分方
3、程y2y2y 0。解：特征方程为r 2r 2 0，特征根为r 1i，x通解为y e (C1cos xC2sin x)。22x6.求解微分方程y y (2x1)e。解：对应齐次方程的特征方程为r r 0，特征根为r1 0，r21，齐次通解为Y C1C2e。可设待定特解y* (ax b)e2xx2，代入原方程得2x3a 2(ax b) 2x 1，比较系数得a 1，b 1，从而y* (x 1)e原方程的通解为y C1C2e (x1)ex7.求解微分方程y y 4xe。2x2x，。解：对应齐次方程的特征方程为r 1 0，特征根为r11，r2 1，齐次通解为Y C1e C2exx。x可设待定特解y* x
4、(ax b)e，代入原方程得2a 2(2ax b) 4x，比较系数得a 1，b 1，从而y* (x x)e，原方程的通解为y C1e C2e(x x)e。3x8.求解微分方程y6y9y e (6x2)。解：对应齐次方程的特征方程为r 6r 9 0，特征根为r1 r2 3，齐次通解为Y (C1C2x)e。可设待定特解y* x (ax b)e23x3xxx2x2x2，代入原方程得6ax 2b 6x 2，323x比较系数得a 1，b 1，从而y* (x x )e，原方程的通解为y (C1C2x)e(x x )e。9.利用“凑微分”的方法求解微分方程(xy y sin y)dx (x cos y)dy
5、 0。解： 由(xy y sin y)dx (x cos y)dy3x323x xydx ydx sin ydx xdy cos ydy xydx sin ydx (ydx xdy) d sin y (xy sin y)dx d(xy sin y)，d(xy sin y) dx，原方程化为xy sin y积分得ln(xy sin y) x lnC，x从而通解为xy sin y Ce。10. 选择适当的变量代换求解微分方程x yy ( x y1)tan x。解：设u 22x2 y2，则u x yy，原方程化为uu (u 1)tan x，u1)du tan xdx，u 1积分得u ln(u 1)
6、lncosx C，分离变量得(1原方程的通解为x2 y2 ln( x2 y21)lncosx C。11. 利用代换y ux将方程ycos x 2ysin x 3ycos x e化简， 并求出原方程的通cosx解。解：由u ycosx，得u ycosx ysin x，u ycosx 2ysin x ycosx。x原方程化为u 4u e，ex其通解为u C1cos2x C2sin2x ，5cos2xex 2C2sin x 原方程的通解为y C1。cosx5cosxx2xx12. 设二阶常系数线性微分方程y ay by ce的一个特解为y e (1 x)e。 试确定常数a, b, c，并求该方程的通
7、解。解：由题设特解知原方程的特征根为1 和 2，所以特征方程为(r 1)(r 2) 0，即r23r 2 0，于是a 3，b 2。x将y1 xe代入方程，得(x 2)e 3(x 1)e 2xe ce，c 1。原方程的通解为y C1e C2e xe。x2xxx2xxx13. 已知y1 xe e，y2 xe e，y3 xe e e是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。解：由题设特解知原方程的通解为y C1e所以特征方程为故可设此微分方程为xx2xxxxxxC2e2x xex，特征根为1和 2，(r 1)(r 2) 0，即r2 r 2 0，y y 2y f (x)，xx将y xe代入
8、方程，得f (x) (1 2x)e，x故所求方程为y y 2y (1 2x)e。2u2u2214. 设u f (r)满足方程22 4，其中r x y，求f (r)。xy2ux2y2ux2uy2x2f (r)，22f (r) 3f (r)，22f (r)3f (r)，解：xrrxryrr2u2u1 f (r)f (r) 4，22rxyf (r) erdr14erdr11dr C1(2r2C1)，r1f (r) (2r2C1)dr r2 C1lnr C2。r15. 设函数f (t)在0,)上连续，且满足方程f (t) e求f (t)。2t2t11212x y )dxdydf (r)rdr 2rf
9、(r)dr解：由于f (0222202024t2f (1x2 y2)dxdy2222x y 4t2x y 4t所以f (t) e4t22t1 2rf (r)dr，022求导得f (t) 8te4t8t f (t)，f (t) e8tdt22 8tdt8te4tedt C e4t(4t2C)，由f (0) 1，得C 1，因此f (t) (4t 1)e。16. 设f (x)连续可微，f (0) 1，确定f (x)，使曲线积分24t2x f (x)ydx f (x)dyL与路径无关，并计算I (1,1)(0,0)x f (x)ydx f (x)dy。解：由曲线积分与路径无关，得f (x) x f (
10、x)， dxdxxf (x) e( xedx C) (x 1) Ce，由f (0) 1，得C 2，从而f (x) x 1 2e于是I x，10(1,1)(0,0)(12e)ydx(x 1 2e)dy2e1dy xx2。e17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差， 若室温为20 c时，一物体由100 c冷却到60 c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100 c降低到30 c。解：设在时刻t物体的温度为T(t)，则有00000dT k(T 20)，且T(0) 100，T(20) 60dtdT分离变量得 kdt，T 20积分得ln(T 2
11、0) kt lnC，kt即T 20Ce，kt由T(0) 100得C 80，T 2080e，ln2kt再由T(20) 60得60 2080e，k ，20故T 2080eln2t20，ln2t20令T(t) 30，得30 2080e，t 60。00共经过 60 分钟方可使此物体的温度从开始时的100 c降低到30 c。18. 设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点(1, 0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A。试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。解：设在时刻t，B位于点(x, y)处，则dy(1 vt) y，dx xd2ydt v两
12、边对x求导，得x，（1）dxdx2dsdt1 dy dx dy 1 ，1，由于2v dtdx2vdxdtdxd2y1dy21 () 0，代入（1）式得所求微分方程为xdxdx22其初始条件为y |x1 0,y|x11。19. 在xOy面的第一象限内有一曲线过点(1,1)，曲线上任一点P处的切线与x轴及线段22OP所围三角形的面积为常数k，求此曲线的方程。ydxdy解：设P(x, y)处的切线方程为Y y ，(X x)，在x轴上的截距为a x dydxdx12kydxx 2，)y 2k，化为由题设知(x dyydyyk2kydy其通解为x e(2)edy CCy，yyk2由x 1，y 1， 得C
13、 1k， 所求曲线方程为x (1 k)y， 即xy (k 1)y k。y20. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k 6.010） 。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设，飞机的质量m 9000kg，着陆时的水平速度v0 700km/h。从飞机触地时开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)。根据牛顿第二定律，得mdx 6ydy11dvdvdv dxdv kv，由于 v，因此有dtdtdx dtdxmdv，kmm积分得x(t) v(t)C，由v(0) v0，x(0) 0，得C v0，从而kkmx(t) v0v(t)，km90007001.05(km)。当v(t) 0时，x(t) v06k6.010所以，飞机滑行的最长距离是1.05km。