机械臂的轨迹规划.pdf

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1、机械臂运动的轨迹规划机械臂运动的轨迹规划摘摘 要要空间机械臂是一个机、电、 热、控一体化的高集成的空间机械系统。随着科技的发展，特别是航空飞机、机器人等的诞生得到了广泛的应用，空间机械臂作为在轨迹的支持、服务等以备受人们的关注。本文将以空间机械臂为研究对象，针对空间机械臂的直线运动、关节的规划、 空间直线以及弧线的轨迹规划几个方面进行研究， 对机械臂运动和工作空间进行了分析，同时对机械臂的轨迹规划进行了验证，利用 MATLAB 软件对机械臂的轨迹进行仿真，验证算法的正确性和可行性， 同时此路径规划方法可以提高机械臂的作业效率，为机械臂操作提高理论指导，为机器人更复杂的运动仿真与路径规划打下基础

2、。本文一共分为四章：第一章，首先总结了机械臂运动控制与轨迹规划问题的研究现状及研究方法， 归纳了各种轨迹规划的算法及其优化方法，阐述了机械臂的研究背景和主要内容。第二章， 对机械臂的空间运动进行分析研究， 采用抽样求解数值法蒙特卡洛方法，进行机械臂工作空间求解，同时在MATLAB 中进行仿真，直观展示机械臂工作范围， 为下一章的轨迹规划提供理论基础； 同时通过 D-H 参数法对机械臂的正、逆运动分析求解，分析两者的区别和联系。第三章， 主要针对轨迹规划的一般性问题进行分析，利用笛卡尔空间的轨迹规划方法对机械臂进行轨迹规划， 同时利用 MATLAB 对空间直线和空间圆弧进行轨迹规划，通过仿真验证

3、算法的正确性和可行性。第四章，总结全文，分析本文应用到机械臂中的控制算法，通过MATLAB 结果可以得出本文所建立的算法正确性，能够对机械臂运动提供有效的路径，而且改进了其他应用于空间机械臂的路径规划问题。【关键词关键词】 运动分析 工作空间 算法研究 轨迹规划ABSTRACTABSTRACTSpace manipulator is a machine, electricity, heat, charged with high integration ofspace mechanical system integration. With the development of science a

4、ndtechnology, especially the birth of aviation aircraft, a robot has been widely used, thetrajectory of space manipulator as the support and services to peoples attention.This article will space manipulator as the research object, according to the linearmotion of the space manipulator, joint plannin

5、g, space of the straight line and curve,the trajectory planning of several aspects of mechanical arm movement and workingspace are analyzed, and the trajectory planning of manipulator is verified, thetrajectory of manipulator is to make use of MATLAB software simulation, verify thecorrectness and fe

6、asibility of the algorithm, at the same time this path planningmethod can improve the efficiency of mechanical arm, improve the theoreticalguidance for mechanical arm operation, simulation and path planning for robot morecomplicated movement.This article is divided into four chapters altogether:The

7、first chapter, first summarizes the mechanical arm motion control and pathplanning problem research status and research methods, summarizes the variety oftrajectory planning algorithm and the method of optimization, and expounds theresearch background and main content of mechanical arm.The second ch

8、apter, the paper studied the space motion of mechanical arm, thenumerical method, monte carlo method are deduced with the method of sampling,the workspace for mechanical arm is, at the same time the simulation in MATLAB,intuitive display mechanical arm work scope, providing theoretical basis for the

9、 nextchapter of trajectory planning. At the same time through d-h method of positive andinverse kinematic analysis of the mechanical arm, analyze the difference and contact.The third chapter, mainly aims at the general problem of trajectory planning isanalyzed, using cartesian space trajectory plann

10、ing method for trajectory planning,mechanical arm at the same time, MATLAB is used to analyse the spatial straight lineand arc trajectory planning, through the simulation verify the correctness andfeasibility of the algorithm.The fourth chapter, summarizes the full text, analysis of the control algo

11、rithm isapplied to the mechanical arm in this paper, through the MATLAB results can beconcluded that the correctness of algorithm, can provide effective path ofmechanical arm movement, and improved the other used in space manipulator pathplanning problem.key wordsmotion analysis,work space,trajector

12、y planning,algorithm research目录目录摘 要 .- 1 -ABSTRACT.- 2 -第一章 绪论 .- 5 -第一节 研究背景及意义 .- 5 -第二节 国内外发展现状 .- 6 -一、国内现状.- 6 -二、国外现状.- 6 -第二章 机械臂的运动分析 .- 8 -第一节 机械臂的正运动学分析 .- 8 -第二节 机械臂的逆运动学求解 .- 10 -第三章 五轴机械臂轨迹规划与仿真 .- 11 -第一节 轨迹规划一般问题 .- 11 -第二节 关节空间的轨迹规划 .- 12 -一、三次多项式插值法.- 12 -二、五次多项式插值.- 15 -第三节 笛卡尔空间的

13、轨迹规划 .- 17 -一、空间直线轨迹规划.- 18 -二、空间圆弧的轨迹规划.- 21 -三、一般空间轨迹规划.- 25 -第四章 总结与展望 .- 30 -参考文献.- 31 -第一章第一章 绪论绪论第一节第一节 研究背景及意义研究背景及意义随着宇宙空间的开发，70 年代美国提出了在宇宙空间利用机器人系统的概念， 并且在航天飞机上实施。当初的空间机器人是由航天飞机舱内的宇航员通过电视画面操纵的。随着空间技术的进一步发展使得未来空间操作任务急剧增加，空间站的建立、维修，卫星的回收、释放等工作会越来越多。如果所有这些工作都依靠宇航员来完成，其成本将十分高昂，也是十分危险的，因为恶劣的太空环境

14、会给宇航员的空间作业带来巨大的威胁。 宇航员的舱外作业需要庞大而复杂的环境控制系统、生命保障系统、物质供给系统、救生系统等的支持，这些系统不但具有很高的技术难度，而且成本巨大。 用空间机器人代替宇航员进行太空作业不仅可以使宇航员避免在恶劣太空环境中工作时可能受到的伤害， 还可以降低成本，提高空间探索的效益。空间机械臂是空间机器人的一种，已被考虑在未来的空间活动中承担大型空间站的在轨安装及对失效飞行器的的捕捉与维修， 土壤和岩石的取样等；并期望其在无人状态下承担未来空间实验室或工厂的日常工作。根据空间作业的需要， 空间机器人上一般都安装了一个或多个模仿人手臂的多自由度机器臂。 随着我国国民经济与

15、国防工业技术的迅速发展，对航天器的需求量日益增加，对其能力的要求日臻提高。特别是空间站在轨服务、深空探测等空间技术领域的迅速发展， 对于空间机械臂技术的需求越来越迫切，而且对其工作能力和性能要求越来越高，对其安全性、寿命等方面也提出了越来越高的要求。此外，受国外在高技术领域的技术限制与封锁，使得我们必须坚持自力更生、独立自主的高技术研发道路，坚持自主创新的思想， 加速并加强空间机械臂技术的研发工作1。将机器人用于空间服务， 一项关键技术就是路径规划。路径规划研究是机器人研究领域中的一个重要分支,是机器人导航中最重要的任务之一。对已知静态环境中机器人路径规划的研究已经进行了将近 40 年， 路径

16、规划问题的研究有很大的价值。 多年的研究工作在取得进展的同时， 愈加证明了路径规划是一个复杂的难题。 路径规划算法的计算量取决于任务、环境的复杂性以及对规划路径质量的要求， 一个好的路径规划算法应该兼顾对规划速度和路径质量的期望。随着研究的深入， 各种新的路径规划方法层出不穷，使路径规划研究一直活跃在机器人学领域。目前国内对空间机械臂研究还处于起步阶段， 因此开展空间机械臂相关领域的研究将极大促进我国空间科学试验、空间维护与建设、深空探测等空间技术的发展。本论文根据课题的技术要求，将空间机械臂路径规划作为切入点，研究路径规划问题，其研究成果具有重要的理论指导意义和工程应用价值。第二节第二节 国

17、内外发展现状国内外发展现状一、国内现状一、国内现状我国的工业机器人从 80 年代“七五”科技攻关开始起步，目前已基本掌握了机器人操作机的设计制造技术、控制系统硬件和软件设计技术、运动学和轨迹规划技术，生产了部分机器人关键元件，开发出喷漆、弧焊、点焊、装配、搬运等机器人； 但总的来看，我国工业机器人技术及其工程应用的水平和国外比还是有一定的距离，如：可靠性低于国外产品；机器人应用工程起步较晚，应用领域窄，生产线系统技术与国外比有差距。我国的智能机器人和特种机器人在“863”计划的支持下，也取得不少成果。其中最突出的是水下机器人，6000 米水下无缆机器人的成果居世界领先水平，还开发出直接遥控机器

18、人、双臂协调控制机器人、爬壁机器人、管道机器人等机种； 在机器人视觉、 力觉、 触觉、 声觉等基础技术的开发应用上开展了不少工作，有一定的发展基础。但是在多传感器信息融合控制技术、遥控加局部自主系统遥控机器人、只能装配机器人、机器人化机械等的开发应用方面则刚刚起步，与国外先进水平差距较大。二、国外现状二、国外现状美国是机器人的诞生地，早在 1962 年就研制出世界上第一台工业机器人，比起号称“机器人王国”的日本起步至少早五六了年。1971 年，通用汽车公司又第一次用机器人进行点焊。西欧时仅次于日美机器人的生产基地，也是日美机器人的重要市场。早在1966 年，美国 Unimation 公司的尤尼

19、曼特机器人和 AMF 公司的沃莎特兰机器人就进入英国市场。接着，英国 Hall Automation 公司研制出自己的机器人 RAMP。德国工业机器人的总数占世界第三。德国对于一些有危险、有毒、有害的工作岗位，必须以机器人替代普通人的劳动。同时提出了 1985 年以后要向高级的、带感觉的智能型机器人转移目标。1954 年：美国人戴沃尔制造了世界第一台可编程的机械手。1959 年：戴沃尔与美国发明家英格伯格联手制造出第一台工业机器人。1962 年：美国 AFM 公司生产出万能搬运机器人，与 Unimation 公司生产的万能伙伴机器人一样成为真正商业化的工业机器人。1967 年：日本川崎重工公司

20、与丰田公司分别从美国购买了工业机器人Unimat 和 Verstran的生产许可，开始对机器人的研究和制造。1968 年：美国斯坦福研究所公布他们研制的机器人 Shakey。1973 年：世界上机器人和小型计算机第一次携手合作，诞生了机器人 T3。1979 年：日本山梨大学发明了平面关节机器人 SCARA。1984 年：英格伯格在此推出机器人 Helpmate，这种机器人能在医院为病人送饭送药和送邮件。1996 年：本田公司推出仿人型机器人 P2，双足行走机器人的研究达到了一个新的高度。2002 年：美国 iRobot 公司推出了吸尘器机器人 Roombar，为世界上商业化最成功的家用机器人。

21、2006 年：微软公司推出 Microsoft Robitics Studio 机器人，从此机器人模块化平台同一化的趋势越来越明显。在工业机器人技术方面，工业机器人有操作机(机械本体)、控制器、伺服驱动系统和检测传感器装置构成，是一种仿人操作、自动控制、可重复编程、能在三维空间完成各种作业的机电一体化自动化生产设备。第二章第二章 机械臂的运动分析机械臂的运动分析机械臂的运动是其轨迹出现的直接原因。 所以轨迹规划的前提是机械臂的运动分析1。本文通过对机械臂的正运动学和逆运动学进行求解，分析两者的区别和联系。 通过对五轴机械臂关于坐标系几何关系，针对常见轨迹规划方案中起始和终止阶段进行研究，分析研

22、究结果。第一节第一节 机械臂的正运动学分析机械臂的正运动学分析机械臂从关节空间到末端笛卡尔空间的变换是正向运动学描述。 由坐标系中已知的各个关节角度，求解机械臂末端相对应于原点坐标系的位置和位姿。设矩阵 A 表示机械臂连杆的齐次变换：Ai Rot(Z,i)Trans(i,0,ldi)Trans(an1,0,0)Rot(X,i)sinicosisincoscosicosi1ii1sinisini1cosisini1000sini1cosi10sini1di(2-1)cosi1di1ai1由于机械臂全是旋转关节。对于文中采用的机械臂而言有五个其次变换矩阵，则末端连杆坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩

23、阵r11r210T A A A A A 512345r310r12r22r320r13r23r330pxpy(2-2)pz1式即为机械臂的运动方程，它反应各关节变量与机械臂末端位姿之间的关系，上式左边的五个矩阵含有五个关节变量q 1,2,3,4,5T。方程右边为描述机械臂末端关节位置和姿态的齐次矩阵，由刚体姿态的描述可知r11，r12，r13，r21，r22，r23，r31，r32，r33分别为机械臂末关节坐标系的三个坐标轴与机械臂基坐标系三个坐标轴的方向余弦，px，py，pz为机械臂末关节的坐标原点在机械臂基坐标系中的三维坐标。机械臂正运动学求解就是已知各连杆的关节变量求解末端连杆的位姿矩阵

24、。即已知关节变量q 1,2,3,4,5T，求解上式机械臂运动学方程中等式右边矩阵各元素的值10。0将上式中的机械臂五个关节的齐次变换矩阵带入，即计算出5T中各元素值为：r11r210T 5r310r12r22r320r13r23r330pxpy(2-3)pz1其中：r11 c1c234c5 s1s5r12 c1c234s5 s1c5r13 c1c23s4c1s23c4r21 s1c234c5c1s5r22 s1c234s5c1c5r23 s1c23s4 s1s23c4r31 s234c5r32 s234s5r11 c234px c1c23a3c1c2a2 s1ld2c1a1py s1c23a3

25、 s1c2a2c1ld2 s1a1pz s23a3 s2a2ld1其中，c1 cos1，s1 sin1，c234 cos(234)，s234 sin(234)。第二节第二节 机械臂的逆运动学求解机械臂的逆运动学求解机械臂的逆运动学解是对其运动学正解的反解，因而已知量和求解量相反，即已知机械臂末端的位置姿态对机械臂进行驱动， 使各个关节从此刻的姿态运动到与末端位姿相对应的位置，进而得到关节变量11。机械臂的运动学正、 逆求解实质是机械臂关节空间与工作空间之间的非线性映射关系，两者可相互转换。关系图如下所示。杆件参数关节角量运动学正解末端执行器位姿关节角量逆解选取运动学逆解杆件参数图 1 关节空间

26、与工作空间的关系机械臂的逆运动学问题，指已知机械臂的末端位姿，即已知齐次变换矩阵05T，求解各转动关节的角度i。机械臂的逆运行学问题，可以理解为通过运动学方程：050234T 1T(1)12T(2)3T(3)4T(4)5T(5)(2-4)求解i。整理式，将含有1的部分移到方程的左边02341T(1)15T 1T() T() T()2233445T(5)(2-5)0T转置，上式可以表达成为：将10 c1s1sc11 00000 r11r00211d1r310100r12r22r320r13r23r330pxpy15T(2-6)d11假设上式的两边元素和式相等，得到： s1pxc1py 0(2-7

27、)可以得出1的解。第三章第三章 五轴机械臂轨迹规划与仿真五轴机械臂轨迹规划与仿真目前关于空间轨迹规划的方法主要有三种， 三次多项式插值，高阶多项式插值以及样条曲线等方法。主要讨论轨迹在关节空间中的位移、速度与加速度等变量的关系。规划实质是根据需求，计算出预定的轨迹曲线，在轨迹规划时可以再运动学与动力学的基础上进行规划，所以规划是建立在运动学和动力学基础上的。图 2 机械臂的 matlab 生成第一节第一节 轨迹规划一般问题轨迹规划一般问题轨迹规划的一般方法是在机械臂末端的初始和目标位置之间用多项式函数“内插”来抵近给定的路径，并沿着时间轴产生一系列的可供操作机使用的“控制设定点”3。其中关节坐

28、标和笛卡尔坐标都可以对路径端点进行给出。一般是在笛卡尔坐标中给出，由于在笛卡尔坐标中机械臂末端形态更容易观察。所以通常采用笛卡尔方法。在给定的两端之间， 常有多条可能路径。 可以沿着直线和光滑多项式曲线运动。本文将讨论插值法，研究满足路径约束的简单轨迹规划3。第二节第二节 关节空间的轨迹规划关节空间的轨迹规划机械臂关节空间的轨迹规划解决机械臂从起始位姿到终止位姿去取放物体的问题.机械臂末端移动的过程并不重要，只要求运动是平滑的且没有碰撞产生.在关节空间中进行轨迹规划时，算法简单、工具移动效率高、关节空间与直角坐标空间连续的对应关系是不存在的，因此机构的奇异性问题一般不会发生。对于无路径的要求，

29、应尽量在关节空间进行轨迹规划。一、三次多项式插值法一、三次多项式插值法三次多项式与其一阶导数函数， 总计有四个待定系数， 对起始点和目标点两者的角度、角角速度同时给出约束条件，本文采用的是三次多项式插值法5。可以对通过空间的n个点进行分析并进行轨迹规划， 让速度和加速度在运动过程中保持轨迹平滑。本文算法可以实现对(n1)段中的每一段三次多项式系数求解，为了方便，对其进行归一化处理。(1)时间标准化算法根据三次多项式轨迹规划流程，对每个关节进行轨迹规划时需要对(n1)段的轨迹进行设计，为了能对(n1)个轨迹规划方程进行同样处理，本文首先设计了时间标准化算法将时间进行处理，经过处理后的时间t0,1

30、。首先定义：t：标准化时间变量，t0,1；：未标准化时间，单位为秒；i：第i段轨迹规划结束的未标准化时间，iii1；机械臂执行第i段轨迹所需要的实际时间：t (i1)/(ii1)，其中i1,i,t0,1。时间归一化后的三次多项式为：y A0 A1t A2t2 A3t3(2)机械臂轨迹规划算法实现过程已知初始位置为1；给定初始速度为 0；已知第一个中间点位置2，它也是第一运动段三次多项式轨迹的终点；为了保证运动的连续性，需要设定2所在点为三次多项式轨迹的起点，以确保运动的连续；为了保证2处速度连续，三次多项式在2处一阶可导；为了保证2处加速度连续，三次多项式在2处二阶可导；以此类推，每一个中间点

31、的位置i(2 i (n1)，都一定要在其原运动段轨迹的终点，并且也是它后运动段的起点。i1的速度保持连续；i1的加速度保持连续；点位置n。给定终点速度，设其为 0。(3)约束条件第一个三次曲线为：(t) a10 a11t a12t2 a13t3第二个三次曲线为：(t) a20 a21t a22t2 a23t3第三个三次曲线为：(t) a30 a31t a32t2 a33t3第(n1)个三次曲线为：(t) a(n1)0a(n1)1t a(n1)2t2a(n1)3t3在同一时间段内，三次曲线每次的起始时刻t 0，停止时刻t tn，其中i 1.n。在标准化时间t 0处，设定1为第一条三次多项式运动段

32、的起点，可以得出：110；在标准化时间t 0处，三次多项式运动段第一条的初始速度是已知变量，所以得出：1 a11 0；第一中间点位置2与第一条三次多项式运动段在标准化时间t tn时的终3点相同，所以可以得出：2 a10a11tf1a12t2f1a13tf1；第一中间点位置2与第一运动段在标准化时间t 0时起点相同，所以得出：2 a20； a 2a t3a t2 a；三次多项式在2处一阶可导，因此可得出：21112 f113 f121 2a 6a t 2a；三次多项式在2处二阶可导，因此可得出：21213 f122第二个空间点的位置3与第二运动段在标准化时间t12时的终点相同，所3以有：3 a2

33、0a21tf 2a22t2a tf 223 f 2；第二个中间点的位置3应与第三运动段在标准化时间t 0时起点相同，所以有：3 a30； a 2a t3a t2 a；三次多项式在3处一阶可导，从而有：32122 f 223 f 231 2a6a t 2a；三次多项式在3处二阶可导，从而有：32223 f 232第(n2)个中间点位置n1和第(n1)运动段在标准化时间tf (n2)时的终3点相同，所以有：n1 a(n2)0a(n2)1tf (n2)a(n2)2t2atf (n2)(n2)3 f (n2)。第(n2)个中间点位置n1应与下一运动段在标准化时间t 0时的起点位置相同，所以有n1 a(

34、n1)0； 三次多项式在第(n2)个中间点处一阶可导，从而：2 a(n1)(n2)12a(n2)2tf (n2)3a(n2)3tf (n2) a(n1)1(3-1) 三次多项式在第(n2)个中间点处二阶可导，从而： 2a(n1)(n2)26a(n2)3tf (n2) 2a(n1)2(3-2) 因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间tn时的位置n为：3n a(n1)0a(n1)1tfna(n1)2t2fna(n1)3tfn(3-3)因此可以得出所有轨迹终点在标准化时间tn时的速度n为：2 an(n1)12a(n1)2tfn3a(n1)3tfn(3-4)以上公式改写为矩阵为：CM1。由该矩阵计算M1

35、可以求出轨迹规划的全部参数，(由五轴机械臂运动学逆解求出)于是求得(n1)段的运动方程，从而使五轴机械臂末端执行器经过所给定的位置坐标。通过以上分析可以确定机械臂在满足速度要求的两个位姿之间运动时各个关节轴的角度变化曲线。如下图 3 所示是 MATLAB 仿真分析三次多项式插值：机械臂某关节角在 4 秒内由初始点 A 经过中间点 B 到达终点 C 的变化情况。三个位置点的速度和角速度如下所示：A30 20AB 6030BC 40 20C图中实线为角度变化曲线，虚线为角速度变化曲线。关节角度曲线平滑，而速度曲线在中间点 B 处出现突变。706050403020100-10-20-3000.511

36、.52时 间 (s)2.533.54角度(deg)图 3 三次多项式插值法二、五次多项式插值二、五次多项式插值五次多项式共有六个待定系数， 要想六个系数得到确定， 至少需要六个条件。五次多项式可以看作是关节角度的时间函数， 因此其一阶可导和二阶可导分别可以看作是关节角速度和关节角加速度的时间函数。五次多项式及一阶、 二阶导数公式如下：(t)C0C1t C2t2C3t3C4t4C5t5(3-5)C 2C t 3C t24C t35C t4(3-6)(t)12345 2C 6C t 12C t220C t3(3-7)(t)2345为了求得待定系数C0,C1,C2,C3,C4,C5,对起始点和目标点

37、同时给出关于角度和角加速度的约束条件：2345(3-8)(t )C0C1t0C2t0C3t0C4t0C5t00345(t )C0C1tfC2t2fC3tfC4tfC5tf(3-9)fC 2C t 3C t24C t35C t4(3-10)(t )12 03 04 05 00C 2C t 3C t24C t35C t4(3-11)(t )12 f3 f4 f5 ff 2C 6C t 12C t220C t3(3-12)(t )23 04 05 00 2C 6C t 12C t220C t3(3-13)(t )23 f4 f5 ff、分别表示起式中(t0)、(tf)分别表示起始点和目标点的关节角，

38、(tf)(t0) 、 分别表示起始点和目标点的关节角加速始点和目标点的关节角速度，(tf)(t0)度。将起始时间设为 0，即t0 0得到解为：C00C10 0C 2212)t (3 )t220f200(8f0f0ffC3(3-14)2t3f 2C 30030f(14f160)tf(302f)tf42t4f6)t ( )t212f120(6f0f0ffC 52t5f为了对比三次多项式关节插值算法和五次多项式插值算法的效果， 同样要求机械臂从起始点开始运动，经过 4 秒到达终点， 仿真时起始点和目标点的关节角速度为 0。中间点的关节角加速度还可以对相邻两段轨迹角加速度进行平均值求解， 使该值为中间

39、点的瞬时加速度12。 利用 MATLAB 对五次多项式插值进行仿真，将结果与三次多项式插值进行对比，发现三个位置点的速度、角速度两种方法相同，同时增加角加速度约束：A 30A 20 2AB 60B 30 4BC 40C 20 2C仿真结果如图 4 所示， 图中实线和虚线分别表示角度变化曲线、 角速度变化曲线。 点线则表示角加速度曲线。 其中关节角度和角速度曲线显示的都相对平滑，而角加速度曲线在中间点 B 处变化稍大。 结果分析得出， 多项式插值法虽然计算量有所增加，但是其关节空间轨迹平滑、运动稳定，且阶数越高满足的约束项越多。10050Joint(deg)0-50-100-15000.511.

40、52Time(s)2.533.54图 4 五次多项式插值法第三节第三节 笛卡尔空间的轨迹规划笛卡尔空间的轨迹规划在机械臂的笛卡尔空间轨迹规划中， 中间点即插补点的坐标可以通过插补算法得到。得到中间点后，在把中间点的位姿转换成相应的关节角，再通过对关节角的控制， 使得机械臂的末端能按照预先规划的路径运动。机械臂的笛卡尔空间轨迹规划位姿控制过程大致如下所示：轨迹上几轨迹中机械臂个给定点插补点机械臂轨迹规的位姿的位姿轨运动划器学逆解(插补求解算法)各关节角机械臂关节角控制机械臂按照规划的轨迹运动图 5 机械臂笛卡尔空间轨迹规划控制过程空间直线和空间弧线的轨迹规划是笛卡尔空间中不可或缺的两部分。 因为

41、空间的曲线可以分割为许多直线和弧线； 但是也有会出现直线或弧线连接处尖角问题， 为了使运动轨迹连续平滑， 本文采用圆弧过度来平滑尖角。 在笛卡尔空间中，空间直线和空间弧线的轨迹规划是最常见的两部分， 其他空间曲线可以通过这两者来逼近。一、空间直线轨迹规划一、空间直线轨迹规划所谓空间直线插补就是在该直线起始点位姿已知的情况下，对轨迹中间点(插补点)的位姿坐标进行求解6。直线插补法：设已知起始点的位置坐标分别为：p0(x0, y0,z0)，pf(xf, yf,zf)，p0和pf为相对基础坐标系计算其长度：L (x0 xf)2(y0 yf)2(z0 zf)2(3-15)求间隔内行程，需要分匀速、加速

42、、减速三种情况进行讨论：匀速：设速度为v，则插补周期Ts内行程为d1 vTs；加速：设加速度为a，起始点速度为v0，则在插补周期内的行程为：v112d2 v0TsaTs2；整个加速度的路程为：s v0，时间记为6：t20；a22a计算总时间：t t1t2t3；计算插补点数：N t；Ts对插补点所在段进行判断(匀速段、加速段、减速段)，使各轴的增量得到确定，对各插补点坐标进行实时计算。根据坐标值，通过运动学逆解求出各关节角。利用五次多项式插值法对关节角的插值计算。从以上各式分析可以看出， 机械臂完成一个空间轨迹的过程， 是实现估计离散点的过程。让其尽量逼近，使机械臂轨迹尽可能的符合规划好的运动轨

43、迹，本次采用定时插补法。为了使机械臂的性能更好， 让末端执行器的轨迹更平滑， 在相邻两个插值点的关节角间选取插补函数使关节轴运动更加稳定。此方法将笛卡尔空间、关节空间相结合。如：工具末端沿着一个直线运动，通过上面的计算把直线段上插补199 次即整体直线轨迹分为 200 个点， 每个坐标点进行逆运动学求解得到 200 组关节角度值。 最后通过关节空间轨迹规划的方法将相邻的两组关节角之间进行角度插补， 从而使工具末端的轨迹平滑且能很好的控制每个关节的角速度和角加速度8。在 MATLAB 中利用上述直线插补方法对机械臂进行正方形轨迹规划仿真， 机械臂的末端由起始点 A，经过 B 点、C 点、D 点返

44、回 A 点。其中点 A、B、C、D的位姿分别用齐次变换矩阵表示为：10TA 0010TC 00014101060TB 001180001000000129060(3-16)011800010000012901060TD 00118000100141060(3-17)01180001正方形的每个边长为 120mm，每个边上插补 30 步，总仿真时间为 120s。正方形轨迹的仿真结果如图 6 所示， 通过运动学求解得到五个关节角的位移数据并生成相关的数据曲线，如图 7 所示。位 姿 1时 关 节 角 1轨 迹 规 划 曲 线0-2-4-6关节变量值/o-8-10-12-14-16-18-2000.

45、511.5时 间 t/s22.53图 6 关节角位移轨迹曲线关 节 角 1时 关 节 角 1速 度 轨 迹 曲 线5040关节角1的关节速度0/s3020100-10-2000.511.5时 间 t/s22.53位 姿 1时 关 节 角 1加 速 度 轨 迹 曲 线605040关节角1的加速度0/s23020100-10-20-3000.511.5时 间 t/s22.53图 7 关节角速度与加速度轨迹仿真图由上述仿真图可以看出， 每个关节角度曲线均可划分为 4 段， 每段关节角度变化平稳光滑， 只在正方形四个顶点出变化最大，故还需要对顶点附近的关节角进行空间轨迹规划。二、空间圆弧的轨迹规划二、

46、空间圆弧的轨迹规划在笛卡尔空间圆弧轨迹规划中，为了计算方便，运用坐标变换，即先在圆弧所在平面建立一个新的直角坐标系， 在这个直角坐标系中计算圆弧的各插补点在新坐标系中的值。然后再将这些值返回到原来的坐标系中，算出各插补点在原来坐标系中的值。 圆弧插补的位移曲线也是采用抛物线过度的线性函数，归一化因子的求解与上述一样8。三点确定一段弧。设机械臂末端执行器从起始位置P1经过中间点P2到达终点P3，如果这三点不共线，就一定存在从起始点P1经过中间点P2到达终点P3的圆弧轨迹规划算法。具体算法如下：先求得圆弧的圆心P0(x0, y0,z0)和半径r。P3(x3, y3,z3)三点确定平面 M，其方程为

47、：1(x1, y1,z1)、P2(x2, y2,z2)和Px x3x1 x3x2 x3y y3y1 y3y2 y3z z3z1 z3 0(3-18)z2 z3(y1 y3)(z2 z3)(y2 y3)(z1 z3)(x x3)将其展开可得：(x2 x3)(z1 z3)(x1 x3)(z2 z3)(y y3)(3-19)(x1 x3)(y2 y3)(x2 x3)(y1 y3)(z z3) 0TZP2WSVP1MP0P3UOYX图 8 空间圆弧插补示意图过P1P2的中点且与P1P2垂直的平面 T 的方程为：11x(x1 x2)(x2 x1)y(y1 y2)(y2 y1)22(3-20)1z (z1

48、 z2)(z2 z1) 02过点P2P3的中点且垂直P2P3的平面 S 的方程为：11x(x2 x3)(x3 x2)y(y2 y3)(y3 y2)22(3-21)1z (z2 z3)(z3 z2) 02联立上式，求得圆心P0(x0, y0,z0)。圆弧的半径为：r (x0 x1)2(y0 y1)2(z0 z1)2(3-22)以圆心P0(x0, y0,z0)为原点建立圆弧所在平面的新坐标ORUVW， U 轴为 P0P3坐标系原点P0与点P3的连线。单位方向向量为u ；P0P3 P1P2P2P3W 轴为平面 T 与平面 S 的交线，其单位方向向量为：w ；根 P1P2P2P3据右手法则，V 轴在

49、W 轴和 U 轴的叉乘方向，其单位向量为13：v wu(3-23)根据齐次坐标变换可得齐次坐标矩阵TR为：uxuTRyuz0vxvyvz0wxwywz0 xoyo(3-24)zo1其逆矩阵TR1可以根据齐次变换矩阵求解逆得到：uxR uyuzvxvyvzwxxoy(3-25)P wyoowzzo可以得到：T1RRT0RTPo；1将点P1、P2、P3以及圆心Po从原来坐标系中的值转换到圆心所在P0UVW新坐标系中。设原来的坐标系中的值分别为(x1, y1,z1)、(x2, y2,z2)、(x3, y3,z3)、(xo, yo,zo)， 在新坐标中值分别为(u1,v1,w1)、(u2,v2,w2)

50、与(u3,v3,w3)，则求解：u1x1vy1TR11w1z111u2x2vy2TR12w2z211u3x3vy3TR13(3-26)w3z311由上式推到知uo vo w0 w1 w2 w3 0，u1 r；求圆弧角度。由于在 MATLAB 中内部函数(x,y)的求解范围在-1800-1800之间。则：v rsin当v3 0时，则3 Atan2(v3,u3)3u rcos(3-27)w 0将插补结果返回到原坐标中，设点p在原坐标系中坐标值为(x, y,z)，则有：xuyv TR (3-28)zw 1 1由以上结果可以得到圆弧上各插补点的位置， 各插补点的三个位姿角度可以各自按照位移曲线为抛物线