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1、人教版九年级上册人教版九年级上册垂径定理垂径定理 垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,并且平并且平分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDE垂径定理的本质是垂径定
2、理的本质是满足其中任两条，必满足其中任两条，必定同时满足另三条定同时满足另三条（1）一条直线过圆心）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧）这条直线平分弦所对的劣弧判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对
3、的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 练习练习1:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。10DCEOAB例例1 1：如图，圆：如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ，DCDC2 2，直径，直径CEABCEAB于于D D，求半径求半径OCOC的长。的长。DCEOAB反思：反思：在在 O
4、中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量：CDBAO1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.118422AEAB 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形
5、，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 3.如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。EDOCAB4.4.如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=8cmOC=8cm，则，则AB=AB= ；OABC30308 85 54 4DF垂径定
6、理的应用垂径定理的应用例例2 2如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. .n解解: :连接连接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半
7、径约为一弓形弦长为一弓形弦长为cmcm，弓形所在的圆的半径为，弓形所在的圆的半径为7cm7cm，则弓形的高为，则弓形的高为. . 64 D DC CBOADO OA AB BC4 4、如图，点、如图，点A A、B B是是O O上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是O O上的动点（上的动点（P P与与A A、B B不重合）不重合）, ,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF= = 。?O?A?B?P?E?F4船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,
8、,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、米、船舱顶部为长方形并高出水面船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经米的货船要经过这里过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 如图，如图，O O的直径为的直径为1010，弦，弦AB=8,PAB=8,P为为ABAB上上的一个动点，那么的一个动点，那么OPOP长的长的取值范围取值范围是是 。?O?P?A?BC4533cmOP5cm3cmOP5cm 如图，如图，ABAB为为O O的一条直径，它把的一条直径，它把O O分成上、分成上、下两个半圆
9、，从上半圆上一点下两个半圆，从上半圆上一点C C作弦作弦CDAB, CDAB, OCDOCD的平分线交的平分线交O O于于P P，当点，当点C C在半圆上（不在半圆上（不包括包括A A、B B两点）移动时，点两点）移动时，点P P的位置会发生怎样的位置会发生怎样的变化？的变化？试说明理由试说明理由？?E?O?A?B?C?D?P达标检测达标检测一、填空一、填空1 1、已知、已知ABAB、CDCD是是O O中互相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且ABAB把把CDCD分成分成3cm3cm和和7cm7cm的两部分，则圆心的两部分，则圆心O O和弦和弦ABAB的距离为的距离为 cm.cm.2 2、已知、
10、已知O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦MNEF,MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MNMN和和EFEF之间的距离为之间的距离为 . .3 3、已知、已知O O中，弦中，弦AB=8cmAB=8cm，圆心到，圆心到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，则此圆的半径，则此圆的半径为为 . .4 4、在半径为、在半径为25cm25cm的的O O中，弦中，弦AB=40cmAB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是点的距离是 . . 5 5、 O O的直径的直径AB=20cm, BAC=30AB=20cm, BA
11、C=30则弦则弦AC=AC= . .14cm或2cm25cm10cm和40cm10 3 cm 运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a a，弦，弦心距心距d d，弓形高，弓形高h h，半径，半径r r之间有以下关系：之间有以下关系：ABC DO2222adr d+h=r hrd2a1 1、两条辅助线：、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个、一个RtRt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理：、两个定理： 垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理