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1、主题主题1 1 一元二次方程及根的有关概念一元二次方程及根的有关概念【主题训练【主题训练1 1】(2014(2014怀化模拟怀化模拟) )若若(a-3) +4x+5=0(a-3) +4x+5=0是关于是关于x x的一元二次方程的一元二次方程, ,则则a a的值为的值为( () )A.3A.3B.-3B.-3C.C.3 3D.D.无法确定无法确定【自主解答【自主解答】选选B.B.因为方程是关于因为方程是关于x x的一元二次方程的一元二次方程, ,所以所以a a2 2- -7=2,7=2,且且a-30,a-30,解得解得a=-3.a=-3.2a7x【主题升华【主题升华】一元二次方程的有关定义及根一
2、元二次方程的有关定义及根1.1.一元二次方程满足的四个条件一元二次方程满足的四个条件. .A A整式方程整式方程B B只含有一个未知数只含有一个未知数C C未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2D D二次项系数不为二次项系数不为0 02.2.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号一元二次方程的项的系数包括它前面的符号, ,一次项的系数和常数项可以一次项的系数和常数项可以为为0.0.3.3.根能使方程左右两边相等根能使方程左右两边相等, ,已知一个根已知一个根, ,可代入确定方程中的字母系数可代入确定方程中的字母系数. .1.(20141.(2014武威凉州模拟武威凉州模拟) )下列方程中下
3、列方程中, ,一定是一元二次方程的是一定是一元二次方程的是( () )A.axA.ax2 2+bx+c=0+bx+c=0B.B. x x2 2=0=0C.3xC.3x2 2+2y-+2y- =0=0 D.xD.x2 2+ -5=0+ -5=0【解析解析】选选B.AB.A中的二次项系数缺少不等于中的二次项系数缺少不等于0 0的条件的条件,C,C中含有两个未知数中含有两个未知数,D,D中中的方程不是整式方程的方程不是整式方程. .12124x2.(20132.(2013牡丹江中考牡丹江中考) )若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+5 =0(a0)+bx+5 =0(a
4、0)的解是的解是x=1,x=1,则则2013-a-b2013-a-b的值是的值是( () )A.2 018A.2 018B.2 008B.2 008C.2 014C.2 014D.2 012D.2 012【解析【解析】选选A.xA.x=1=1是一元二次方程是一元二次方程axax2 2+bx+5=0+bx+5=0的一个根的一个根, , aa1 12 2+b+b1+5=0,a+b=-5,2013-a-b=2013-(a+b)=1+5=0,a+b=-5,2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.2013-(-5)=2018.3.(20143.(2014启东模拟启东模拟)
5、)一元二次方程一元二次方程2x2x2 2-3x-2=0-3x-2=0的二次项系数是的二次项系数是, ,一一次项系数是次项系数是, ,常数项是常数项是. .【解析【解析】项和系数都包括它前面的符号项和系数都包括它前面的符号, ,所以二次项系数是所以二次项系数是2,2,一次项系数是一次项系数是- -3,3,常数项是常数项是-2.-2.答案答案: :2 2-3-3-2-2主题主题2 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法【主题训练【主题训练2 2】(2013(2013义乌中考义乌中考) )解方程解方程x x2 2-2x-1=0.-2x-1=0.【自主解答【自主解答】移项得移项得:x:x2 2-2x
6、=1,-2x=1,配方得配方得:x:x2 2-2x+1=2,-2x+1=2,即即(x-1)(x-1)2 2=2,=2,开方得开方得:x-1=:x-1= , ,x=1x=1 , ,所以所以x x1 1=1+ ,x=1+ ,x2 2=1- .=1- .2222知识回顾二、一元二次方程的解法1. 一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个2.一元二次方程的几种解法(1)直接开平方法(2)因式分解法(3) 配方法 (4)公式法(1)直接开平方法Ax2=B(A0)(2)因式分解法1、提取公因式法2、平方差公式(3) 配方法当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方(4)公式法当b-4ac
7、0时，x=aacbb242知识回顾返回一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0 (a0)对应练习1：1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式 .其中二次项系数 ，常数项 . 2. 当m 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程. 当m 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.x2+3x-3=01-322知识回顾对应练习2：1.一元二次方程3x2=2x的解是 .2.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是 .4.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则 的值为 .4a+cb3.已知m是方程
8、x2-x-2=0的一个根，那么代数式m2-m = .x1=0,x2=32m=-222知识回顾对应练习3：解下列方程1.(x+5)(x-5)=7 2.x(x-1)=3-3x3.x2-4x+4=0 4.3x2+x-1=05.x2-x-12=0 6.x2+6x=87.m2-10m+24=0返回【备选例题【备选例题】(2014(2014齐齐哈尔模拟齐齐哈尔模拟) )方程方程a a2 2-4a-7=0-4a-7=0的解是的解是. .【解析【解析】a a2 2-4a-7=0,-4a-7=0,移项得移项得:a:a2 2-4a=7,-4a=7,配方得配方得:a:a2 2-4a+4=7+4,-4a+4=7+4,
9、(a-2)(a-2)2 2=11,=11,两边直接开平方得两边直接开平方得:a-2=:a-2= ,a=2 ,a=2 . .答案答案: :a a1 1=2+ ,a=2+ ,a2 2=2-=2- 11111111【主题升华【主题升华】一元二次方程解法选择一元二次方程解法选择若没有特别说明若没有特别说明, ,解法选择的基本顺序是直接开平方法解法选择的基本顺序是直接开平方法因式分解法因式分解法公式公式法法. .配方法使用较少配方法使用较少, ,除非题目有明确要求才使用除非题目有明确要求才使用. .1.(20131.(2013鞍山中考鞍山中考) )已知已知b0,b0,关于关于x x的一元二次方程的一元二
10、次方程(x-1)(x-1)2 2=b=b的根的情况是的根的情况是( () )A.A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.没有实数根没有实数根D.D.有两个实数根有两个实数根【解析【解析】选选C.(x-1)C.(x-1)2 2=b=b中中b0,b0,没有实数根没有实数根. .2.(20132.(2013吉林中考吉林中考) )若将方程若将方程x x2 2+6x=7+6x=7化为化为(x+m)(x+m)2 2=16,=16,则则m=m=. .【解析【解析】在方程在方程x x2 2+6x=7+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方的两边同时
11、加上一次项系数的一半的平方, ,得得x x2 2+6x+3+6x+32 2=7+3=7+32 2, ,配方配方, ,得得(x+3)(x+3)2 2=16.=16.所以所以,m=3.,m=3.答案答案: :3 33.(20123.(2012永州中考永州中考) )解方程解方程:(x-3):(x-3)2 2-9=0.-9=0.【解析【解析】移项得移项得:(x-3):(x-3)2 2=9,=9,两边开平方得两边开平方得x-3=x-3=3,3,所以所以x=3x=33,3,解得解得:x:x1 1=6,x=6,x2 2=0.=0.四、一元二次方程根与系数的关系若方程ax2+bx+c=0 (a0)有两根为x1
12、, x2则有x1+x2=- x1.x2=abca知识回顾主题主题3 3 根的判别式及根与系数的关系根的判别式及根与系数的关系【主题训练【主题训练3 3】(2013(2013广州中考广州中考) )若若5k+200,5k+200,则关于则关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+4x-+4x-k=0k=0的根的情况是的根的情况是( () )A.A.没有实数根没有实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根D.D.无法判断无法判断【自主解答【自主解答】选选A.=16+4k= (5k+20),A.=16+4k= (5k+20),5k+20
13、0,0,5k+200,0-4ac0时时, ,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根. .(2)(2)当当=b=b2 2-4ac=0-4ac=0时时, ,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根. .(3)(3)当当=b=b2 2-4ac0-4acxx2 2).).121212xx11xxx x；21212(xx )4x x1.(20131.(2013福州中考福州中考) )下列一元二次方程有两个相等实数根的下列一元二次方程有两个相等实数根的是是( () )A.xA.x2 2+3=0+3=0B.xB.x2 2+2x=0+2x=0C.(x+1)C.(x+1)2 2=0=0D.(x+3)
14、(x-1)=0D.(x+3)(x-1)=0【解析【解析】选选C.C.选项选项一元二次方程的解一元二次方程的解A A项项方程可化为方程可化为x x2 2=-3,=-3,方程无解方程无解B B项项可化为可化为x(x+2)=0,x(x+2)=0,方程的解为方程的解为x x1 1=0,x=0,x2 2=-2=-2C C项项方程的解为方程的解为x x1 1=x=x2 2=-1=-1D D项项方程的解为方程的解为x x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-32.(20132.(2013珠海中考珠海中考) )已知一元二次方程已知一元二次方程: :x x2 2+2x+3=0,+2x+3=0,x x2 2-2x
15、-3=0,-2x-3=0,下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.都有实数解都有实数解B.B.无实数解无实数解, ,有实数解有实数解C.C.有实数解有实数解, ,无实数解无实数解D.D.都无实数解都无实数解【解析【解析】选选B.B.一元二次方程一元二次方程的判别式的值为的判别式的值为= b= b2 2-4ac=4-12=-80,-4ac=4-12=-80,-4ac=4+12=160,所以所以方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根. .3.(20133.(2013黄冈中考黄冈中考) )已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-6x+c=0-6x+c=0有一个根为有一个根
16、为2,2,则另一根为则另一根为( () )A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.8D.8【解析【解析】选选C.C.由题意由题意, ,把把2 2代入原方程得代入原方程得:2:22 2-6-62+c=0,2+c=0,解得解得c=8,c=8,把把c=8c=8代入方代入方程得程得x x2 2-6x+8=0,-6x+8=0,解得解得x x1 1=2,x=2,x2 2=4.=4.4.(20134.(2013武汉中考武汉中考) )若若x x1 1,x,x2 2是一元二次方程是一元二次方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0的两个根的两个根, ,则则x x1 1x x2 2的值的值是是( () )A.-
17、2A.-2B.-3B.-3C.2C.2D.3D.3【解析【解析】选选B.xB.x1 1x x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2=-3.=-3.ca5.(20145.(2014芜湖模拟芜湖模拟) )关于关于x x的方程的方程axax2 2-(3a+1)x+2(a+1)=0-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实有两个不相等的实根根x x1 1,x,x2 2, ,且有且有x x1 1-x-x1 1x x2 2+x+x2 2=1-a,=1-a,则则a a的值是的值是( () )A.1A.1B.-1B.-1C.1C.1或或-1-1D.2D.2【解析【解析】选选B.B.由题意由题意:x:
18、x1 1+x+x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2= ,= ,因为因为x x1 1- -x x1 1x x2 2+x+x2 2=1-a,=1-a,所以所以 - =1-a,- =1-a,即即 =1-a,=1-a,解得解得a a1 1=1,=1,a a2 2=-1.=-1.当当a=1a=1时时, ,原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根, ,不合题意不合题意, ,舍去舍去. .所以所以a=-1.a=-1.3a1a2a2a3a1a2a2aa 1a例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；01214222kxkx
19、解：=9881618161224142222kkkkkk(1).当0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即 89k(2).当 = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即 89k(3).当 0 ，方程有没有实数根, 8k+9 03、证明方程根的情况说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方程根的情况4)2(2 m五、一元二次方程与其他知识结合1.一元二次方程与分式结合223|3|xxx典型题:若分式 的值为零, 则x的值是 .知识回顾2.一元二次方程与几何图形
20、结合典型题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是 .知识回顾1、列一元二次方程解应用题的步骤。2、某商店一月份的利润是500元，如果 平均每月的增长率为x， 则二月份的利润是多少元？ 三月份的利润是多少元？四月份的利润是多少元？五月份的利润是多少元？第n月份的利润是多少元？一 选择题A 1000(1-x) 2=2500B 1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=2500C 1000(1+x)+1000(1+x)2=2500D 1000(1+x)2=2500C2 某厂一月份的产值为10万元,第一季度的总产值为70万元,设平均每月的增长
21、率为X,根据题意列出方程是( )A 10(1-x) 2=70C 10+10(1+x)+10(1+x)2=70B 10(1+x)+10(1+x)2=70D 10(1+x)2=70C3.一元二次方程与实际应用结合典型题: 某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量是x，则经过一年木材存量达到 ，经过两年木材存量达到 .知识回顾返回问题1： 阳江市政府考虑在两年后 实现 市财政 收入 翻一翻，那么这两年中财政 收入 的 平均年 增长率 应 是多少？翻二翻，翻三翻呢？翻n翻呢？列 出方程即可 问题2： 某服装厂花1200元购进一批服装，按40% 的利润定价，无人购
22、买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折才售完，经结算，这批服装共赢利280元，若两次打折相同，每次打了几折？列 出方程即可 复习：列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。实际问题与一元二次方程（三）面积、体积问题则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、 如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20 x 米2注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2所列的方程是不是32 20(32
23、20 )540 xx？图中的道路面积不是3220 xx米2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米2所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，2521000,xx其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米2)草坪面积=32 20 100= 540（米2）答：所求道路的宽为2米。122,50 xx解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）1.如图是宽为20米,长为32米的矩形
24、耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，则570)220)(232(xx化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.主题主题4 4 一元二次方程的应用一元二次方程的应用【主题训练【主题训练4 4】(2013(2013泉州中考泉州中考) )某校为某校为培养青少年科技创新能力培养青少年科技创新能力, ,举办了动漫制举办了动漫制作活动作活动, ,小明设计了点做圆周运动的一个小明设计了点做圆周运动
25、的一个雏型雏型. .如图所示如图所示, ,甲、乙两点分别从直径的两端点甲、乙两点分别从直径的两端点A,BA,B以顺时以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动针、逆时针的方向同时沿圆周运动. .甲运动的路程甲运动的路程l(cm(cm) )与时间与时间t(st(s) )满足关系满足关系: :l= t= t2 2+ t(t0),+ t(t0),乙以乙以4cm/s4cm/s的速度匀速运动的速度匀速运动, ,半圆的长度为半圆的长度为21cm.21cm.1232(1)(1)甲运动甲运动4s4s后的路程是多少后的路程是多少? ?(2)(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时, ,它们运
26、动了多少时间它们运动了多少时间? ?(3)(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始运动到第二次相遇时, ,它们运动了多少时间它们运动了多少时间? ?【自主解答【自主解答】(1)(1)当当t=4t=4时时, ,l= = 4 42 2+ + 4=14(cm).4=14(cm).答答: :甲运动甲运动4s4s后的路程是后的路程是14cm.14cm.(2)(2)设它们运动了设它们运动了msms后第一次相遇后第一次相遇, ,根据题意根据题意, ,得得: : +4m=21, +4m=21,解得解得m m1 1=3,m=3,m2 2=-14(=-14(不合题意不合题意, ,舍去舍去).).答答: :
27、甲、乙从开始运动到第一次相遇时甲、乙从开始运动到第一次相遇时, ,它们运动了它们运动了3s.3s.1232213( mm)22(3)(3)设它们运动了设它们运动了nsns后第二次相遇后第二次相遇, ,根据题意根据题意, ,得得: : +4n=21 +4n=213,3,解得解得n n1 1=7,n=7,n2 2=-18(=-18(不合题意不合题意, ,舍去舍去).).答答: :甲、乙从开始运动到第二次相遇时甲、乙从开始运动到第二次相遇时, ,它们运动了它们运动了7s.7s.213( nn)22【主题升华【主题升华】一元二次方程解应用题的六个步骤一元二次方程解应用题的六个步骤1.1.审审审清题意审
28、清题意, ,找出等量关系找出等量关系. .2.2.设设直接设未知数或间接设未知数直接设未知数或间接设未知数. .3.3.列列根据等量关系列出一元二次方程根据等量关系列出一元二次方程. .4.4.解解解方程解方程, ,得出未知数的值得出未知数的值. .5.5.验验既要检验是否是所列方程的解既要检验是否是所列方程的解, ,又要检验是否符合实际情况又要检验是否符合实际情况. .6.6.答答完整地写出答案完整地写出答案, ,注意单位注意单位. .1.(20131.(2013天水中考天水中考) )从一块正方形的木板上锯掉从一块正方形的木板上锯掉2m2m宽的长方形木条宽的长方形木条, ,剩下的剩下的面积是
29、面积是48m48m2 2, ,则原来这块木板的面积是则原来这块木板的面积是( () )A.100 mA.100 m2 2B.64 mB.64 m2 2C.121 mC.121 m2 2D.144 mD.144 m2 2【解析【解析】选选B.B.设正方形原边长是设正方形原边长是x,x,根据题意可得根据题意可得:(x-2)x=48,:(x-2)x=48,解得解得x x1 1=8,x=8,x2 2=-=-6(6(不合题意不合题意, ,舍去舍去),),所以原边长是所以原边长是8,8,面积是面积是64m64m2 2. .2.(20142.(2014怀化模拟怀化模拟) )我国政府为解决老百姓看病难问题我国
30、政府为解决老百姓看病难问题, ,决定下调药品的价决定下调药品的价格格. .某种药经过两次降价某种药经过两次降价, ,由每盒由每盒6060元调至元调至48.648.6元元, ,则每次降价的百分率为则每次降价的百分率为. .【解析【解析】设每次降价的百分率为设每次降价的百分率为x,x,则根据题意则根据题意, ,得得60(1-x)60(1-x)2 2=48.6,=48.6,解得解得x x1 1=1.9(=1.9(不合题意不合题意, ,舍去舍去),x),x2 2=0.1=10%.=0.1=10%.答案答案: :10%10%3.(20133.(2013百色中考百色中考) )为响应为响应“美丽广西清洁乡村
31、美丽广西清洁乡村”的号召的号召, ,某校开展某校开展“美丽美丽广西清洁校园广西清洁校园”的活动的活动, ,该校经过精心设计该校经过精心设计, ,计算出需要绿化的面积为计算出需要绿化的面积为498m498m2 2, ,绿化绿化150m150m2 2后后, ,为了更快地完成该项绿化工作为了更快地完成该项绿化工作, ,将每天的工作量提高为原来的将每天的工作量提高为原来的1.21.2倍倍. .结果一共用结果一共用2020天完成了该项绿化工作天完成了该项绿化工作. .(1)(1)该项绿化工作原计划每天完成多少该项绿化工作原计划每天完成多少m m2 2? ?(2)(2)在绿化工作中有一块面积为在绿化工作中
32、有一块面积为170m170m2 2的矩形场地的矩形场地, ,矩形的长比宽的矩形的长比宽的2 2倍少倍少3m,3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米请问这块矩形场地的长和宽各是多少米? ?【解析【解析】(1)(1)设该项绿化工作原计划每天完成设该项绿化工作原计划每天完成xmxm2 2, ,则提高工作则提高工作量后每天完成量后每天完成1.2xm1.2xm2 2, ,根据题意根据题意, ,得得 =20,=20,解得解得x=22.x=22.经检验经检验,x=22,x=22是原方程的根是原方程的根. .答答: :该项绿化工作原计划每天完成该项绿化工作原计划每天完成22m22m2 2. .(2)(2)设矩形宽为设矩形宽为ymym, ,则长为则长为(2y-3)m,(2y-3)m,根据题意根据题意, ,得得y(2y-3)=170,y(2y-3)=170,解得解得y=10y=10或或y=-8.5(y=-8.5(不合题意不合题意, ,舍去舍去).).2y-3=17.2y-3=17.答答: :这块矩形场地的长为这块矩形场地的长为17m,17m,宽为宽为10m.10m.150498 150 x1.2xOABCPQ5、如图，AO=BO=50cm，OC是射线，蚂蚁甲以2cm/s的速度从A爬到B，蚂蚁乙以3cm/s的速度从O到C，问：经过几秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积为450cm2?拔尖提高返回