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1、v25章章 用列举法求概率用列举法求概率(1) 12月月15日日列举法就是把要数的对象一一列列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法举出来分析求解的方法复习回顾：复习回顾： 一般地，如果在一次试验中，一般地，如果在一次试验中，有有n种可能的结果种可能的结果，并且它们发生的，并且它们发生的可能性都相等可能性都相等，事件事件A包含在其中的包含在其中的m种结果种结果，那么事件那么事件A发生的概率为：发生的概率为：nmAP)(求概率的步骤：求概率的步骤：(1)列举出一次试验中的所有结果列举出一次试验中的所有结果(n个个)；(2)找出其中事件找出其中事件A发生的结果发生的结果(m个个)；(3)运
2、用公式求事件运用公式求事件A的概率：的概率：nmAP)(一般地一般地,如果在一次试验中如果在一次试验中,有有n种可能的结果种可能的结果,并且它们发生的并且它们发生的可能性都相等可能性都相等,事件事件A包含其包含其中的中的m种结果种结果,那么事件那么事件A发生的概率为发生的概率为nmAP)(事件事件A发生的可发生的可能种数能种数试验的总共可能试验的总共可能种数种数 当一次试验涉及当一次试验涉及两个因素两个因素时，且时，且可能出现的可能出现的结果较多结果较多时，为不重复不时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法列表法。 什么时候用什么时候用“列表法列表法
3、”方便？方便？列举法求概率列举法求概率枚举法枚举法在一次试验中，如果可能出现的结果在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概果的方法，分析出随机事件发生的概率。率。所谓列举法，就是把事件发生的所有可能所谓列举法，就是把事件发生的所有可能的结果一一列举出来，计算概率的一种数的结果一一列举出来，计算概率的一种数学方法。学方法。想一想，什么时候用想一想，什么时候用“列表法列表法”方便，什么时候用方便，什么时候用“树形图树形图”方便？方便？ACDEHI
4、HI HIBCDEHI HI HIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI1234561(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)2(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)3(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)4(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)5(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)6(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)第一个第二个当一次试验涉及当一次试验涉及两个因素两
5、个因素时，且可能时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列出所有可能的结果，通常用列表法列表法当一次试验涉及当一次试验涉及3个因素或个因素或3个以上个以上的因素的因素时，列表法就不方便了，为不时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用通常用树形图树形图用列举法求概率解：解：在甲袋中，在甲袋中，P（取出黑球）（取出黑球） 28872在乙袋中，在乙袋中，P（取出黑球）（取出黑球） 45153131 72所以，选乙袋成功的机会大。所以，选乙袋成功的机会大。2020红，红，8 8黑黑1
6、.甲袋甲袋2020红红,15,15黑黑,10,10白白乙袋乙袋球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑只黑球，你选哪个口袋成功的球，你选哪个口袋成功的机会大机会大呢？呢？ 3.掷两枚硬币，求下列事件的概率：掷两枚硬币，求下列事件的概率：(1)两枚硬币全部正面朝上；两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上；两枚硬币全部反面朝上；(3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；“掷两枚硬币掷两枚硬币”共有几种结果？共有几种结果？
7、正正正正正正反反反反正正反反反反为了不重不漏地列出所有这些结果为了不重不漏地列出所有这些结果,你有什么好办法么？你有什么好办法么？列表法，也可以用树形图法列表法，也可以用树形图法4.掷两枚硬币，求下列事件的概率：掷两枚硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币正面全部朝上）两枚硬币正面全部朝上（2）两枚硬币全部反面朝上）两枚硬币全部反面朝上（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，它们是：正正、正反、反正、反反。举出来，它们是：正正、正反、反正、反反。所有的结果共有所有的结果共
8、有4个，并且这四个结果出现的可个，并且这四个结果出现的可能性相等。能性相等。（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件朝上（记为事件A）的结果只有一个，即）的结果只有一个，即“正正正正”所以所以P（A）=14（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件上（记为事件B）的结果只有一个，即）的结果只有一个，即“反反反反”所以所以P（B）=14（3）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有）的结果共有2个，
9、个，即即“正反正反”“”“反正反正”所以所以P（C）= =2412例例2.掷两枚硬币掷两枚硬币,求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)两枚硬币全部正面朝上两枚硬币全部正面朝上;(2)两枚硬币全部反面朝上两枚硬币全部反面朝上;(3)一枚硬币正面朝上一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上一枚硬币反面朝上.问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？解解:其中一枚硬币为其中一枚硬币为A,另一枚硬币为另一枚硬币为B,则所有可能结果如则所有可能结果如表所示表所
10、示:正反正(正,正)(正,反)反(反,正)(反,反)AB总共总共4种结果种结果,每种结果出现的可能性相同每种结果出现的可能性相同.(1)所有结果中所有结果中,满足两枚硬币全部正面朝上的结果只满足两枚硬币全部正面朝上的结果只有一个有一个,即即”(正正,正正)”,所以所以P(两枚硬币全部正面朝上两枚硬币全部正面朝上)=41探究探究31甲转盘甲转盘乙转盘乙转盘4共共 12 种可能的结果种可能的结果与与“列表列表”法对比，结果怎么样？法对比，结果怎么样？ 甲转盘指针所指的数字可能是甲转盘指针所指的数字可能是 1、2、3， 乙转盘指针所指的数字可能是乙转盘指针所指的数字可能是 4、5、6、7。甲甲123
11、乙乙4 56725 6 74 5 6 74 5 6 741.求指针所指数字之和为偶数的概率。求指针所指数字之和为偶数的概率。问题：利用分类列举法可以知道事件发生问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，对于列举复杂事件的发生情的各种情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？况还有什么更好的方法呢？28.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：事件的概率：（1）两个骰子的点数相同）两个骰子的点数相同;（2）两个骰子点数的和是）两个骰子点数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为）至少有一个骰子的点数为2。 6.同时掷两个质地相同的骰子，计算
12、下列事件的概率：同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同；两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是两个骰子的点数和是9； (3)至少有个骰子的点数是至少有个骰子的点数是2。解：1234561(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)2(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)3(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)4(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)5(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)6(1,6) (
13、2,6) (3,6) (4,6) (5,5) (6,6)二二一一此题用列树图的方法好吗？此题用列树图的方法好吗？P(点数相同）点数相同）=61366P(点数和是9）=P(至少有个骰子的点数是至少有个骰子的点数是2 ）=913643611分析：当一次试验要涉及两个因素（例如分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用通常采用列表法列表法。把两个骰子分别标记为第把两个骰子分别标记为第1个和第个和第2个，列表如下：个，列表如下：6，66，56，46，36，2
14、6，15，65，55，45，35，25，14，64，54，44，34，24，13，63，53，43，33，23，12，62，52，42，32，22，11，61，51，41，31，21，1654321654321第2个第1个解：由表可看出，同时投掷两个骰子，可能解：由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。个，它们出现的可能性相等。（1）满足两个骰子点数相同（记为事件）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的）的结果有结果有6个个61366)(AP（2）满足两个骰子点数和为）满足两个骰子点数和为9（记为事件（记为事件B）的结果有的结果有4个个91364)
15、(BP（3）满足至少有一个骰子的点数为）满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件（记为事件C）的结果有）的结果有11个。个。3611)(CP没有变化没有变化思考思考43.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的在每个岔口都会随机地选择一条路径，它获得食物的概率是多少？概率是多少？蚂蚁蚂蚁食物食物9.一个口袋内装有大小相等的一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同个白球和已编有不同号码的号码的3个黑球，从中摸出个黑球，从中摸出2个球个球.摸出两个黑球的摸出两个黑球的概率是多少？概率是多少？黑黑2黑黑1
16、白白黑黑3黑黑1黑黑3黑黑2黑黑3白白黑黑1黑黑2白白黑黑1黑黑3白白黑黑2解：设三个黑球分别为：黑解：设三个黑球分别为：黑1、黑、黑2、黑、黑3，则：，则：第一个球：第一个球：第二个球：第二个球：P（摸出两个黑球）（摸出两个黑球）=1262148.在盒子中有三张卡片，随机抽取两张，可能拼在盒子中有三张卡片，随机抽取两张，可能拼出菱形出菱形(两张三角形两张三角形)也可能拼出房子也可能拼出房子(一张三角一张三角形和一张正方形形和一张正方形)。游戏规则是：。游戏规则是： 若若拼成菱形，甲胜拼成菱形，甲胜；若；若拼成房子，乙胜拼成房子，乙胜。 你认为这个游戏公平吗？你认为这个游戏公平吗？11.甲、乙
17、两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数点数之积为奇数，那么甲得之积为奇数，那么甲得1分分；如果；如果点数之积为偶数，那么乙得点数之积为偶数，那么乙得1分分。连续投连续投10次，谁得分高，谁就获胜。次，谁得分高，谁就获胜。(1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由；请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由；(2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。123456111=121=231=341=451=561=6212=222=432=642=852=1062=12313=
18、323=633=943=1253=1563=18414=424=834=1244=1654=2064=24515=525=1035=1545=2055=2565=30616=626=1236=1846=2456=3066=36列出所有可能的结果：列出所有可能的结果：123456123456w用表格表示用表格表示(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5
19、)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)当一次试验要涉及两个因素当一次试验要涉及两个因素, ,并且可能出并且可能出现的结果数目较多时现的结果数目较多时, ,为了不重不漏的列为了不重不漏的列出所有可能的结果出所
20、有可能的结果, ,通常采用通常采用解解:由表中可以看出由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张在两堆牌中分别取一张,它可它可 能出现的结果有能出现的结果有36个个,它们出现的可能性相等它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数满足两张牌的数字之积为奇数( 的有的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这这9种情况种情况,所以所以 P(A)=4136912.在在6张卡片上分别写有张卡片上分别写有16的整数，随机地抽取一的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第
21、一次取出的数字的概率是多少？字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？1234561(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)二二 一一解解: 列出所有可能的结果：列出所有可能的结果：P(第二次取出的数字能够整除第
22、一次取出的数字第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字)=1873614 32. 32. 在在6 6张卡片上分别写有张卡片上分别写有1 16 6的整数，随的整数，随机地抽取一张后放回，在随机地抽取一张。机地抽取一张后放回，在随机地抽取一张。那么第二次取出的数字能够整除第一取出的那么第二次取出的数字能够整除第一取出的数字的概率是多少？数字的概率是多少？6，66，56，46，36，26，15，65，55，45，35，25，14，64，54，44，34，24，13，63，53，43，33，23，12，62，52，42，32，22，11，61，51，41，31，21，1654321654321第2个第
23、1个1873614)(AP53.有两把不同的锁和有两把不同的锁和三把钥匙三把钥匙，其中，其中两把钥匙恰好能分别打开两把钥匙恰好能分别打开这两把锁这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去，第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？cbBABAaBA解解: 设有设有A,B两把锁和两把锁和a,b,c三把钥匙三把钥匙,其中钥匙其中钥匙a,b分别分别可以打开锁可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下列出所有可能的结果如下:P(一次打开锁一次打开锁)= =623154.有甲、乙两把不同的锁，各配有有甲、乙两把不同的
24、锁，各配有2把钥匙。求从这把钥匙。求从这4把把钥匙中任取钥匙中任取2把，能打开甲、乙两锁的概率。把，能打开甲、乙两锁的概率。B1A2B2A2B2A1A1B2A1B2B1A1A2A2B1B1解解:设有设有A1,A2，B1, B2四把钥匙四把钥匙,其中钥匙其中钥匙A1,A2可以可以打开锁甲打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙可以打开锁乙.列出所有可能的结列出所有可能的结果如下果如下:P(能打开甲、乙两锁能打开甲、乙两锁)= =81223钥匙钥匙1 钥匙钥匙2 掷两枚硬币，不妨设其中掷两枚硬币，不妨设其中一枚为一枚为A，另一枚为另一枚为B，用用列表法列表法列举所有可能出现的结果列举所有可能出现的结果:
25、BA还能用其它方法列举还能用其它方法列举所有结果吗？所有结果吗？正正反反正正反反正正正正正正反反反反正正反反反反反反正正第一枚第一枚第二枚第二枚反反正正反反正正共共4种可能的结果种可能的结果此图类似于树的形状此图类似于树的形状,所以称为所以称为 “树形图树形图”。P（正正）（正正）=41P（一正一反）（一正一反）=433333：甲口袋中装有：甲口袋中装有2 2个相同的小球，它们分别写有个相同的小球，它们分别写有字母字母A A和和B;B;乙口袋中装有乙口袋中装有3 3个相同的小球，它们个相同的小球，它们分别写有字母分别写有字母C C、D D和和E;E;丙口袋中装有丙口袋中装有2 2个相同的个相同
26、的小球，它们分别写有字母小球，它们分别写有字母H H和和I.I.从从3 3个口袋中各个口袋中各随机地抽取随机地抽取1 1个小球。个小球。（1 1）取出的）取出的3 3个小球上恰好有个小球上恰好有1 1个、个、2 2个、和个、和3 3个元个元音字母的概率分别是多少？音字母的概率分别是多少？（2 2）取出的）取出的3 3个小球上全是辅音字母的概率是多个小球上全是辅音字母的概率是多少？少？分析：当一次试验要涉及分析：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如个或更多的因素（例如从从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用不重不
27、漏地列出所有可能结果，通常采用树形图树形图。31.31.如图如图, ,袋中装有两个完全相同的球袋中装有两个完全相同的球, ,分别标分别标有数字有数字“1”1”和和“2”.2”.小明设计了一个游戏小明设计了一个游戏: :游游戏者每次从袋中随机摸出一个球戏者每次从袋中随机摸出一个球, ,并自由转动并自由转动图中的转盘图中的转盘( (转盘被分成相等的三个扇形转盘被分成相等的三个扇形).).游戏规则是游戏规则是: :w如果所摸球上的数字与转盘转出的数如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为字之和为2,2,那么游戏者获胜那么游戏者获胜. .求游戏者求游戏者获胜的概率获胜的概率. .123解解: :每次游
28、戏时每次游戏时, ,所有可能出现的结果如下所有可能出现的结果如下: :总共有总共有6 6种结果种结果, ,每种结果出现的可能性相每种结果出现的可能性相同同, ,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为和为2 2的结果只有一种的结果只有一种:(1,1),:(1,1),因此游戏者因此游戏者获胜的概率为获胜的概率为1/6.1/6.转盘转盘摸球摸球1 11 12 2(1,1)(1,1)(1,2)(1,2)2 2(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)3 3(1,3)(1,3)(2,3)(2,3)123v例3：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B;乙口袋中装
29、有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E;丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从3个口袋中各随机地抽取1个小球。v（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个、和3个元音字母的概率分别是多少？v（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用树形图。解：根据题意，画出如下的解：根据题意，画出如下的“树形图树形图”甲甲乙乙丙丙ABCDEHICDEHI HIHI HI HI从树形图看出，所有可能出现的结果共有从树形图看出，所有可能出现的结果共有12个个ACHAC
30、IADHADIAEHAEIBCHBCIBDHBDIBEHBEIv（1）只有一个元音的字母的结果（红色）有5个125(一个元音）Pv有两个元音的字母的结果（绿色）有4个v有三个元音的字母的结果（蓝色）有1个31124(两个元音）P121(三个元音）Pv（2）全是辅音字母的结果（黑色）有2个61122(三个辅音）P这个游戏对小亮和小明公这个游戏对小亮和小明公平吗？怎样才算公平平吗？怎样才算公平 ? 30.小明和小亮做扑克游戏，桌面上放小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌有两堆牌,分别是分别是红桃和黑桃的红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议小明建议:”我从红桃中抽取我从红桃中抽取一张牌一张
31、牌,你从黑桃中取一张你从黑桃中取一张,当两张牌数当两张牌数字之积为奇数时，你得字之积为奇数时，你得1分，为偶数我分，为偶数我得得1分分,先得到先得到10分的获胜分的获胜”。如果你是如果你是小亮小亮,你愿意接受这个游戏的规则吗你愿意接受这个游戏的规则吗? 你能求出小亮得分的概率吗你能求出小亮得分的概率吗?123456123456w用表格表示用表格表示(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)
32、(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)4. 4. 同时抛掷三枚硬币同时抛掷三枚硬币, ,求下列事件的概率求下列事件的概率: :(1) (1) 三枚硬币全部正面朝上三枚硬
33、币全部正面朝上; ;(2) (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; ;(3) (3) 至少有两枚硬币正面朝上至少有两枚硬币正面朝上. .正正 反反 正正 反反 正正 反反 正正 反反正正反反正正反反正正反反抛掷硬币试验抛掷硬币试验解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,抛掷抛掷3 3枚枚硬币的结果有硬币的结果有8 8种种, ,它们出现的它们出现的可能性相等可能性相等. . P(A) P(A)(1)(1)满足三枚硬币全部正面朝满足三枚硬币全部正面朝上上( (记为事件记为事件A)A)的结果只有的结果只有1 1种种18= P(B) P(B)38=(2
34、)(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上币反面朝上( (记为事件记为事件B)B)的结果有的结果有3 3种种(3)(3)满足至少有两枚硬币正面朝满足至少有两枚硬币正面朝上上( (记为事件记为事件C)C)的结果有的结果有4 4种种 P(C) P(C)48=12=第第枚枚 当一次试验中涉及当一次试验中涉及3 3个因素或更多的因素时个因素或更多的因素时, ,用列用列表法就不方便了表法就不方便了. .为了不重不漏地列出所有可能的结果为了不重不漏地列出所有可能的结果, ,通常采用通常采用“树形图树形图”. .树形图的画法树形图的画法: :一个试验一个试验第一个因数第一个因
35、数第二个第二个第三个第三个 如一个试验如一个试验中涉及中涉及3 3个因数个因数, ,第第一个因数中有一个因数中有2 2种种可能情况可能情况; ;第二个第二个因数中有因数中有3 3种可能种可能的情况的情况; ;第三个因第三个因数中有数中有2 2种可能的种可能的情况情况, ,AB123123a b a b a b a b a b a b则其树形图如图则其树形图如图. .n=2n=23 32=122=12树形图树形图注意注意用树状图和列表的方法求概率的前提用树状图和列表的方法求概率的前提:各种结果出现的可能性务必相同各种结果出现的可能性务必相同.5.(1) 5.(1) 列表法和树形图法的优点是什么列
36、表法和树形图法的优点是什么? ? (2)(2)什么时候使用什么时候使用“列表法列表法”方便方便? ?什么时候使什么时候使用用“树形图法树形图法”方便方便? ? 利用利用树形图树形图或或表格表格可以清晰地表示出可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果某个事件发生的所有可能出现的结果; ;从而从而较方便地求出某些事件发生的概率较方便地求出某些事件发生的概率. . 当试验包含当试验包含两步两步时时, ,列表法列表法比较方便比较方便, ,当然当然, ,此时也可以用树形图法此时也可以用树形图法; ; 当试验在当试验在三步或三步以上三步或三步以上时时, ,用用树形图树形图法法方便方便. .6.6.
37、甲口袋中装有甲口袋中装有2 2个相同的小球个相同的小球, ,它们分别写有字母它们分别写有字母A A和和B;B;乙口袋中装有乙口袋中装有3 3个相同的小球个相同的小球, ,它们分别写有字母它们分别写有字母C. C. D D和和E;E;丙口袋中装有丙口袋中装有2 2个相同的小球个相同的小球, ,它们分别写有字母它们分别写有字母H H和和I, I,从从3 3个口袋中各随机地取出个口袋中各随机地取出1 1个小球个小球. .(2)(2)取出的取出的3 3个小球上全是个小球上全是辅音字母的概率是多少辅音字母的概率是多少? ?(1)(1)取出的取出的3 3个小球上个小球上, ,恰好有恰好有1 1个个,2,2
38、个个和和3 3个元音字母的概率分别是多少个元音字母的概率分别是多少? ?取球试验取球试验甲甲乙乙丙丙ABCDECDEH I H I H I H IHI H I解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可所有可能的结果有能的结果有1212种种, ,它们出现的它们出现的可能性相等可能性相等. . P( P(一个元音一个元音)=)=(1)(1)只有只有1 1个元音字母结果有个元音字母结果有5 5个个512 P( P(两个元音两个元音)=)=有有2 2个元音字母的结果有个元音字母的结果有4 4个个41213= P( P(三个元音三个元音)=)=全部为元音字母的结果有全部为元音字母的结果有1
39、 1个个112 P( P(三个辅音三个辅音)=)=(2)(2)全是辅音字母的结果有全是辅音字母的结果有2 2个个16=212AEEIIIIII 7. 7.甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球. .由哪两人先打呢由哪两人先打呢? ?他们决他们决定用定用 “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决定的游戏来决定, ,游戏时三人每游戏时三人每次做次做“石头石头” “剪刀剪刀”“”“布布”三种手势中的一种三种手势中的一种, ,规定规定“石头石头” 胜胜“剪刀剪刀”, , “剪刀剪刀”胜胜“布布”, , “布布”胜胜“石石头头”. . 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少问一次比赛能淘汰一人的概率是
40、多少? ?石石剪剪布布石石游戏开始游戏开始甲甲乙乙丙丙石石石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,游戏的结果游戏的结果有有2727种种, ,它们出现的可能性相等它们出现的可能性相等. . 由规则可知由规则可知, ,一次能淘汰一人的结果应是一次能淘汰一人的结果应是: :“石石剪石石剪” “剪剪布剪剪布” “布布石布布石”三类三类. . 而满足条件而满足条件( (记为事件记为事件A)A)的结果有的结果有9 9种种 P(A)= P(A)=13=9278.8
41、.经过某十字路口的汽车经过某十字路口的汽车, ,它可能继续直行它可能继续直行, ,也可能向也可能向左转或向右转左转或向右转, ,如果这三种可能性大小相同如果这三种可能性大小相同, ,当有三辆当有三辆汽车经过这个十字路口时汽车经过这个十字路口时, ,求下列事件的概率求下列事件的概率: :(1)(1)三辆车全部继续直行三辆车全部继续直行; ;(2)(2)两辆车向右转两辆车向右转, ,一辆车向左转一辆车向左转; ;(3)(3)至少有两辆车向左转至少有两辆车向左转. .答案答案: :192. (1)(2)(3)127727第第一一辆辆左左右右左左右右左直右左直右第第二二辆辆第第三三辆辆直直直直左左右右
42、直直左左右右直直左直右左直右左直左直右右左直右左直右左左直直右右左直右左直右左直左直右右左直右左直右左左直右直右共有共有27种行驶方向种行驶方向解：画树形图如下：解：画树形图如下：271()1( 全部继续直行）全部继续直行）P9. 9. 用数字用数字1 1、2 2、3,3,组成三位数组成三位数, ,求其中恰有求其中恰有2 2个相同的个相同的数字的概率数字的概率. .1 2 31组数开始组数开始百位百位个位个位十位十位123123123231 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果
43、有所有可能的结果有2727种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. .其中恰有其中恰有2个数字相同的结果有个数字相同的结果有18个个. P( P(恰有两个数字相同恰有两个数字相同)=)=182723=10.10.把把3 3个不同的球任意投入个不同的球任意投入3 3个不同的盒子内个不同的盒子内( (每盒装每盒装球不限球不限), ),计算计算: (1): (1)无空盒的概率无空盒的概率; (2); (2)恰有一个空盒的概恰有一个空盒的概率率. .1 2 3盒盒1投球开始投球开始球球球球球球123123123盒盒2盒盒31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
44、3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. . P( P(无空盒无空盒)=)=(1)(1)无空盒的结果有无空盒的结果有6 6个个62729=(2)(2)恰有一个空盒的结果有恰有一个空盒的结果有1818个个 P( P(恰有一个空盒恰有一个空盒)=)=182723=11. 11. 一个家庭有三个孩子，若一个孩子是一个家庭有三个孩子，若一个孩子是男孩还是女孩的可能性相同男孩还是女孩的可能性相同(1)(1)求这个家庭的求这个家庭的3 3个孩子都是男孩的概率；个孩子都是男孩的概率
45、；(2)(2)求这个家庭有求这个家庭有2 2个男孩和个男孩和1 1个女孩的概个女孩的概率；率；(3)(3)求这个家庭至少有一个男孩的概求这个家庭至少有一个男孩的概率率解解: :(1)(1)这个家庭的这个家庭的3 3个孩子都是男孩的概率为个孩子都是男孩的概率为1/8;1/8;(2)(2)这个家庭有这个家庭有2 2个男孩和个男孩和1 1个女孩的概率个女孩的概率为为3/8;3/8;(3)(3)这个家庭至少有一个男孩的概率为这个家庭至少有一个男孩的概率为7/8.7/8.w“配配紫色紫色”游戏游戏w小升为学校联欢会设计了一个小升为学校联欢会设计了一个“配紫色配紫色”游戏游戏: :w下面是两个可以自由转动
46、的转盘下面是两个可以自由转动的转盘, ,每个转盘被每个转盘被w分成相等的几个扇形分成相等的几个扇形. .w游戏规则是游戏规则是: :游戏者同时转动两个转盘游戏者同时转动两个转盘, ,如果转盘如果转盘A A转出转出了红色了红色, ,转盘转盘B B转出了蓝色转出了蓝色, ,那么他就赢了那么他就赢了, ,因为红色和蓝因为红色和蓝色在一起配成了色在一起配成了紫色紫色. .w(1)(1)利用列表的方法利用列表的方法表示游戏者所有可能表示游戏者所有可能出现的结果出现的结果. .w(2)(2)游戏者获胜的概游戏者获胜的概率是多少率是多少? ?红白黄蓝绿A盘B盘用下图所示的转盘进行用下图所示的转盘进行“配紫色
47、配紫色”游戏，游戏者获胜的概率是多少？游戏，游戏者获胜的概率是多少？开始开始灰灰蓝蓝 （灰，蓝）（灰，蓝）绿绿 （灰，绿）（灰，绿）黄黄 （灰，黄）（灰，黄）白白蓝蓝 （白，蓝）（白，蓝）绿绿 （白，绿）（白，绿）黄黄 （白，黄（白，黄）红红蓝蓝 （红，蓝）（红，蓝）绿绿 （红，绿）（红，绿）黄黄 （红，黄）（红，黄）总共有总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够够 配成紫色的结果只有一种：配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏（红，蓝），故游戏者获胜的概率为者获胜的概率为19 。用树状图或列用树状图或列表法求概率时，表法求概率时，各种结果出
48、现各种结果出现的可能性务必相同。的可能性务必相同。如图是配紫游戏中的两个转盘，你能用列表的方法求出配成紫色的概率是多少？41123w表格可以是：表格可以是：w“配配紫色紫色”游戏游戏w游戏者获胜的概率是游戏者获胜的概率是1/6.1/6.第二个第二个转盘转盘第一个第一个转盘转盘黄蓝绿红(红,黄)(红,蓝)(红,绿)白(白,黄)(白,蓝)(白,绿)如图是配紫游戏中的两个转盘，你能用列表的方法求出配成紫色的概率是多少？A盘红B盘蓝B盘红A盘蓝31413121416112121314131 12：口袋中一红三黑共：口袋中一红三黑共4 4个小球，个小球，第一次从中取出一个小球后放第一次从中取出一个小球后
49、放回，再取第二次回，再取第二次, ,求求 “两次取出两次取出的小球都是黑球的小球都是黑球”的概率的概率. . 一一次取出两个小球次取出两个小球, ,求求“两个小球都两个小球都是黑球是黑球”的概率。的概率。419115.15.小升是个小马虎小升是个小马虎, ,晚上睡觉时晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小升正好穿的是相同的上学，问小升正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？一双袜子的概率是多少？解：设两双袜子分别为解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则则B1A1B2A2开始开始A2 B1 B2A
50、1 B1 B2A1 A1 B2A1 A2 B1所以穿相同一双袜子的概率为所以穿相同一双袜子的概率为31124 . .甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球. .由哪两人先打呢由哪两人先打呢? ?他们他们决定用决定用 “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决定的游戏来决定, ,游戏时三游戏时三人每次做人每次做“石头石头” “剪刀剪刀”“”“布布”三种手势中的一种三种手势中的一种, ,规定规定“石头石头” 胜胜“剪刀剪刀”, , “剪刀剪刀”胜胜“布布”, , “布布”胜胜“石头石头”. . 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少问一次比赛能淘汰一人的概率是多少? ?石石剪剪布布石石游戏开始游戏