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1、第1章 直角三角形勾股定理 2002年世界数学家大会在我国召开，年世界数学家大会在我国召开，我国著名的数学家华罗我国著名的数学家华罗庚曾建议庚曾建议“发射发射”一种勾股定理的图形一种勾股定理的图形(如图如图).作为与外星人联作为与外星人联系的符号语言。系的符号语言。很多学者认为如果宇宙很多学者认为如果宇宙“人人”也拥有文明的话，那么他们一定也拥有文明的话，那么他们一定会认识这个图形，因为四大文明古国都对这个图形所表示的会认识这个图形，因为四大文明古国都对这个图形所表示的意义有所研究和了解意义有所研究和了解.今天，让我们一同来探索勾股定理。今天，让我们一同来探索勾股定理。讲授新课讲授新课勾股定理
2、的认识及验证一 让让我们一起穿越回到我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看看他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面老朋友家做客，看看他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）（如图）：ABC问题问题1 正方形正方形A、B、C面积之面积之间有什么样的数量关系？间有什么样的数量关系？ABCSSS正方形正方形正方形ABC一直角边2另一直角边2斜边2+= 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？问题3在网格中有一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(
3、每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： C15 5423132S C177443252S左图：右图：方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： C14231 1132S C14431 1252S 左图：右图：你还有其他办法求C的面积吗？根据前面求出的C的面积直接填出下表： A的面积B的面积C的面积左图右图4 1325916 9ABCSSS正方形正方形正方形问题4 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？一直角边2另一直角边2斜边
4、2+=直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2. 由上面的几个例子，我们猜想：abc下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.下面我们用拼图法来证明这个猜想：下面我们用拼图法来证明这个猜想： 用用4 4个两直角边长分别为个两直角边长分别为a a、b b，斜边长为，斜边长为c c的的直角三角形和一个边长为直角三角形和一个边长为c c的正方形拼成一个边的正方形拼成一个边长为长为a+ba+b的大正方形如下图的大正方形如下图: :ababababccccCCCC222cba把同学们拼成的图形展示出来，如图所示把同学们拼成的图形展示出来
5、，如图所示设每个直角三角形的两直角边长为设每个直角三角形的两直角边长为a,b(其中其中ba),设斜边长为设斜边长为c.902142909041KHI,18041KHI即D,H,E在一条直线上同理E,I,F在一条直线上；G,K,D在一条直线上；G,J,F在一条直线上。因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为（a+b)，它的面积为 ,又正方形DEFG的面积为.2142abcabcbaba22222即222cba,EIHDHK证：由于abcba214)(222)(ba 勾股定理：勾股定理：如果直角三角形的两如果直角三角形的两直角边分别为直角边分别为a,b，斜边为，斜边为c，那么，那么222abcA
6、CBcba几何语言几何语言: : . .勾股定理作用：勾股定理作用： .在在RtABC中，中，ACB=90, 则：则：a2+b2=c2a2+b2c=a2 = .b2 = .c2- -b2a=c2- -a2b=c2- -b2c2- -a2在直角三角形中已知两边，求第三边。在直角三角形中已知两边，求第三边。c2 = .a2 + b2在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾2+股2=弦2小贴士 例1 如图，在RtABC中， C=90. （1）若a=b=5,求c; （2）若
7、a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得222255505 2;cab(2)据勾股定理得2222213.bca 利用勾股定理进行计算二CABacb（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，A=30,求a,c. 【变式题1】在RtABC中， C=90.解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52， 解得5x ，5 .a(2)2.ca因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得5 3 .x 5 310 3 .ac， 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.归纳
8、b=15，A=30【变式题2】 在RtABC中，AB4，AC3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB22437;BC 22435.BC 图图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳, 例2 、如图，如图，AB=AC=13cm,BC=10cm,ADBC于点于点D.你能算出你能算出BC边上的高边上的高AD的长吗的长吗? 解解 在在ABC中中, AB=AC=13,BC=10,ADBC, BD= BC=5 在在RtADB中中, 由
9、勾股定理得由勾股定理得, AD= 故故AD的长为的长为12cm。 ABCD2251322BDAB =12211Rt ABC的两条直角边的两条直角边a=3， b=4，则斜边，则斜边c是是 . .2.2.已知直角三角形的两边长分别为已知直角三角形的两边长分别为3cm和和5cm，则第三边长为则第三边长为 cm。3.3.长方形的一边长是长方形的一边长是5，对角线是，对角线是13，则，则另一条边另一条边是是 . .5或或 41234课堂小结课堂小结勾股定理内容在RtABC中， C=90,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论