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1、江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题20182018 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试数数学学（满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、一、 填空题：本大题共填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分分 1. 已知i为虚数单位，复数 z错误错误! !错误错误! !i的模为_a 2。 已知集合 A1，2 ,B1,1，4,且 AB,则正整数 a_2 3。 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 8x 的焦点坐标为_ 4. 苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班，其中，列车在车站停留0。5 分钟，假设乘客到达站
2、台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为_a 5。 已知 4 2，logax2a，则正实数 x_ 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法下面的流程图是秦九韶算法的一个实例若输入n，x 的值分别为 3，3，则输出v 的值为_（第 6 题)（第 9 题）7。 已知变量 x，y 满足错误错误! !则 z2x3y 的最大值为_ 8. 已知等比数列an的前n 项和为 Sn，且错误错误! !错误错误! !，a4a2错误错误! !，则a3的值为_ 9。 鲁班锁是中国传统的智力玩具， 起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它
3、的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计,结果保留)1江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题10。 如图,两座建筑物 AB,CD 的高度分别是 9m和 15m,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角CAD45,则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离BD_m.(第 10 题） (第 13 题）11。 在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 A(2，1)的圆 C 和直线 xy1
4、 相切，且圆心在直线 y2x 上,则圆 C 的标准方程为_12。 已知正实数 a，b,c 满足错误错误! !错误错误! !1,错误错误! !错误错误! !1，则 c 的取值范围是_13. 如图，ABC 为等腰三角形,BAC120，ABAC4，以 A 为圆心，1 为半径的圆分别交 AB,AC与点 E,F，P 是劣弧错误错误! !上的一点，则错误错误! !错误错误! !的取值范围是_x14. 已知直线 ya 分别与直线 y2x2,曲线 y2ex 交于点 A，B，则线段 AB 长度的最小值为_二、二、 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题小题, ,共计共计 9090 分解答时应写出文字说明
5、、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本小题满分 14 分）2已知函数 f（x）（错误错误! !cosxsinx） 2错误错误! !sin2x.(1) 求函数 f(x）的最小值，并写出 f(x)取得最小值时自变量x 的取值集合；（2） 若 x错误错误! !，求函数 f(x)的单调增区间2江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题16。 （本小题满分 14 分)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 E，F，G，H 分别是 A1D1,B1C1，D1D，C1C 的中点求证:（1） EF平面 ABHG;（2) 平面 ABHG平面 CFED.17。
6、 (本小题满分 14 分）如图，B,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连,B，C 之间的距离为 100km，海岛 A 在城市 B 的正东方向 50km处从海岛 A 到城市 C，先乘船按北偏西 角(b0）的离心率为错误错误! !,椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的最小值为 3( 21） （1) 求椭圆 C 的标准方程；(2） 已知过点 M(0，1）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由4江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题19。 (本小题满分 16 分)已知各项是正数的数列an的前 n 项和为 Sn.
7、*（1） 若 SnSn1错误错误! !(nN ，n2)，且a12.求数列an的通项公式；n1若Sn2对任意nN 恒成立，求实数的取值范围；（2） 数列an是公比为q（q0，q1）的等比数列，且an的前n项积为 10Tn。若存在正整数k，对*任意nN ，使得错误错误! !为定值，求首项a1的值5江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题20。 （本小题满分 16 分）已知函数 f（x)错误错误! !(1) 当 a2 时,求函数 f(x）的单调区间;x（2) 若方程 f（x）f（x）e3 在区间(0，）上有实数解，求实数a 的取值范围;(3) 若存在实数 m，n0，2，且|mn1，使得
8、f（m）f（n）,求证：1错误错误! !e.6江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题附加题附加题(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)21.21. 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两四小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 41:几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，AB,AC与圆O分别切于点B，C,P为圆O上异于点B，C的任意一点，PDAB,垂足为D，PEAC
9、，垂足为E，PFBC，垂足为F。2求证：PFPDPE.B。 选修 42:矩阵与变换(本小题满分 10 分）4已知 M错误错误! !,错误错误! !,求 M .C。 选修 44:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为错误错误! !(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为错误错误! !，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AOB的面积7江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题D. 选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分)2222已知a,b，cR,abc1，若x1|x1|(abc） 对一切实数a
10、，b，c恒成立，求实数x的取值范围【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分,共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分）如图， 已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面， 其交线为 AB， 且 ABBP2,ADAE1，AEAB,且 AEBP.(1） 求平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角的余弦值；(2) 线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于错误错误! !？若存在，试确定点 N 的位置;若不存在，请说明理由23. （本小题满分 10 分)在正整数集上定义函数 yf（n） ，满
11、足 f（n)f（n1）122f(n1） ,且 f(1）2。（1） 求证：f(3)f(2）错误错误! !；（2) 是否存在实数 a，b，使 f(n）错误错误! !1，对任意正整数 n 恒成立，并证明你的结论参考答案参考答案1。 错误错误! !2. 23。（2,0）4. 错误错误! !5。 错误错误! !6。 487. 98. 错误错误! !9。 3010。1811。 (x1） (y2) 2 12。 错误错误! !13。 11，9 14. 错误错误! !215。解析:(1) f（x)（错误错误! !cosxsinx） 2错误错误! !sin2x3cosx2 3sinxcosxsinx2 3sin2
12、x错误错误! !错误错误! !错误错误! !sin2x(2 分）82222江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题cos2x 3sin2x22cos错误错误! !2.（4 分）当 2x错误错误! !2k,即 xk错误错误! !（kZ）时，f(x）取得最小值 0，此时自变量x的取值集合为错误错误! !。 （7 分)（2） 由（1）知f（x)2cos错误错误! !2.令2k2x错误错误! !22k(kZ),(8 分)解得错误错误! !kx错误错误! !k（kZ） ， （10 分)又x错误错误! !,令k1,x错误错误! !，错误错误! !，令k0，x错误错误! !,所以函数f(x)在错
13、误错误! !上的单调增区间是错误错误! !和错误错误! !。(14 分)16。 解析： （1) 因为 E，F 是 A1D1，B1C1的中点，所以 EFA1B1。在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1B1AB，所以 EFAB.(3 分）又 EF平面 ABHG，AB 平面 ABHG,所以 EF平面 ABHG。(6 分)(2）在正方体 ABCDA1B1C1D1中,CD平面 BB1C1C,又 BH 平面 BB1C1C,所以 BHCD。 （8 分)设 BHCFP，易知BCHCC1F,所以HBCFCC1。因为HBCPHC90，所以FCC1PHC90.所以HPC90,即 BHCF.(11 分）又 DCC
14、FC，DC,CF 平面 CFED，所以 BH平面 CFED。又 BH 平面 ABHG，所以平面 ABHG平面 CFED。(14 分)17。 解析： （1） 由题意,轮船航行的方位角为 ,所以BAP90，AB50，则 AP错误错误! !错误错误! !，BP50tan(90)错误错误! !错误错误! !，所以 PC100BP100错误错误! !。(4 分)由 A 到 P 所用的时间为 t1错误错误! !错误错误! !，10050cos由 P 到 C 所用的时间为 tsin275错误错误! !错误错误! !， （6 分）所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数关系为f（）t1t2错误错误! !
15、错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !， （8 分)函数 f()的定义域为错误错误! !，其中锐角 的正切值为错误错误! !。（2） 由(1)知 f()错误错误! !错误错误! !，错误错误! !，所以 f(）错误错误! !.令 f()0，解得cos错误错误! !。 （10 分）设 0错误错误! !，使cos0错误错误! !。当 变化时,f(） ，f（）的变化情况如下表：(,0)0错误错误! !f（)09江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题f（)极小值（12 分）所以当 0时函数 f()取得最小值，此时BP错误错误! !错误错误! !17。68(km） 故在
16、BC 上选择距离 B 为 17。68km处为登陆点，所用时间最少(14 分）18。 解析：(1) 由题意知错误错误! !错误错误! !,所以 a错误错误! !c.(1 分)又椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的最小值为3(错误错误! !1)，所以 ac3错误错误! !3,(2 分）222解得 c3,a3错误错误! !，所以 b a c 9,（4 分）所以椭圆 C 的标准方程为错误错误! !错误错误! !1.（6 分)(2) 当直线 l 的斜率为 0 时，令 y1，则 x4，22此时以 AB 为直径的圆的方程为 x (y1) 16； （7 分)22当直线 l 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的
17、方程为x y 9。 （8 分）联立错误错误! !解得 x0,y3，即两圆过点 T(0,3） 猜想:以 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3) （9 分)对一般情况证明如下：设过点 M（0,1）的直线 l 的方程为 ykx1，与椭圆 C 交于点 A(x1，y1),B（x2,y2） ，则错误错误! !22消去 y,整理得（12k ）x 4kx160，所以 x1x2错误错误! !，x1x2错误错误! !。(12 分)因为TA，错误错误! !（x1，y13）(x2,y23）x1x2y1y23(y1y2)9x1x2（kx11)（kx21)3（kx11kx21）9(k 1）x1x24k（x1x2）16错误
18、错误! !错误错误! !16错误错误! !160，所以 TATB.所以存在以 AB 为直径的圆恒过定点 T，且定点 T 的坐标为(0,3)(16 分）19。 解析:(1） 当 n2 时，SnSn1错误错误! !,所以 Sn1Sn错误错误! !，1两式相减得 an1an （a错误错误! !a错误错误! !） ，3即 an1an3，n2;(2 分）当 n2 时，S2S1错误错误! !，即 a错误错误! !3a2100,解得 a25 或 a22（舍)，所以 a2a13，即数列错误错误! !为等差数列，且首项 a12，所以数列错误错误! !的通项公式为 an3n1.（5 分)由知 an3n1，所以 S
19、n错误错误! !错误错误! !.*由题意可得 错误错误! !错误错误! !对一切 nN 恒成立，记cn错误错误! !，则cn1错误错误! !，n2，所以cncn1错误错误! !，n2。(8 分）当n4 时,cncn1；当n4 时，c4错误错误! !，且c3错误错误! !,c2错误错误! !，c1错误错误! !，所以当n3 时，cn错误错误! !取得最大值错误错误! !，所以实数的取值范围为错误错误! !。 （11 分）n1（2） 由题意，设ana1q(q0，q1)，a1a2an10Tn，两边取常用对数，得Tnlga1lga2lgan.令bnlgannlgqlga1lgq，102江苏省苏州市 2
20、018 届高三数学第一次模拟考试试题则数列错误错误! !是以 lga1为首项，lgq为公差的等差数列 （13 分)若错误错误! !为定值，令错误错误! !，则错误错误! !,22即(k1) klgqn(k1)k错误错误! !0 对nN 恒成立，因为q0,q1，所以问题等价于错误错误! !将错误错误! !错误错误! !代入（k1)k0，解得0 或1。因为kN ，所以0,1，所以a错误错误! !q。又an0，所以a1错误错误! !.（16 分)20.解析：(1） 当 a2 时，f(x）错误错误! !322当 x0 时,f（x）x x ,f(x)3x 2xx（3x2)，令 f(x）0，解得 x0 或
21、 x错误错误! !（舍)，所以当 x0 时，f（x）0,所以函数 f（x)在区间（，0)上为减函数;(2 分)xx当 x0 时，f（x)e2x，f(x）e2，令 f（x）0,解得 xln2，所以当 0 xln2 时,f（x)ln2 时，f(x)0，所以函数 f(x）在区间（0，ln2）上为减函数，在区间（ln2，)上为增函数,且 f（0）10.（4分）综上,函数 f（x)的单调减区间为(,0)和(0，ln2）,单调增区间为（ln2，） （5 分)32x(2) 设 x0，则x0)，3则 g(x)2x12错误错误! !错误错误! !，(7 分）x令 g（x）0,因为 x0，所以 2x 3x30，故
22、解得 x1。当 x（0,1)时，g（x） 0；当 x(1，）时，g（x)0，所以函数 g(x）在区间（0,1）上单调递减,在区间(1，）上单调递增,故函数 g(x）在 x1 处取得最小值 g（1)5。 （9 分)要使方程 ag(x）在区间（0,)上有解，当且仅当ag(x）ming(1）5,综上，满足题意的实数 a 的取值范围为5，)(10 分）x（3） 由题意知 f(x)ea.当 a0 时，f(x)0，此时函数 f（x)在0，）上单调递增，由 f（m)f(n）,可得 mn,与条件|mn1 矛盾,所以 a0。(11 分）令 f（x）0，解得 xlna.当 x（0，lna)时,f（x）0；当 x（
23、lna，)时，f（x） 0,所以函数 f(x)在（0，lna)上单调递减,在(lna，）上单调递增若存在 m，n0，2 ，f(m）f（n)，则lna 介于 m，n 之间,（12 分）不妨设 0mlnan2.因为 f(x）在(m,lna）上单调递减,在(lna，n）上单调递增,且 f(m)f（n),所以当 mxn 时,f（x）f(m）f(n） ，由 0mn2，|mn1，可得 1m，n,所以 f(1）f(m)f(n)又 f（x）在（m，lna）上单调递减，且 0mlna，所以 f(m)f(0） ，所以 f(1)f(0)同理 f(1)f(2）,(14 分）112江苏省苏州市 2018 届高三数学第一
24、次模拟考试试题即错误错误! !解得e1aee，所以 1错误错误! !e。 （16 分）21。 A解析：连结 PB，PC。因为PCF，PBD 分别为同弧 BP 上的圆周角和弦切角，所以PCFPBD.(2 分）因为 PDBD，PFFC，所以PDBPFC,所以错误错误! !错误错误! !.（5 分)同理PBFPCE。又 PEEC，PFFB,所以PFBPEC，所以错误错误! !错误错误! !.（8 分)2所以错误错误! !错误错误! !，即 PF PDPE.(10 分)B. 解析：矩阵 M 的特征多项式为2f(）12，2223.(2 分)1令f（）0，解得13，21,所以属于1的一个特征向量为 1错误
25、错误! !，属于2的一个特征向量为2错误错误! !。 （5 分）令 m1n2，即错误错误! !m错误错误! !n错误错误! !,所以错误错误! !解得m4，n3。 （7 分)4444所以 M M (4132）4（M 1)3(M 2)444(错误错误! !1）3(错误错误! !2）43 错误错误! !3(1） 错误错误! !错误错误! !。(10 分）2C。 解析：由题意知曲线C的直角坐标方程是y2x， （2 分）直线l的普通方程为xy40.（4 分）联立方程组错误错误! !解得A（2，2)，B(8，4）,所以AB6错误错误! !,（7 分）因为原点到直线xy40 的距离d错误错误! !2错误错
26、误! !,所以SAOB错误错误! !6错误错误! !2错误错误! !12.(10 分）222D。 解析:因为a，b，cR，abc1,2222所以由柯西不等式得(abc) (abc）（111)3.(4 分)2因为x1|x1|（abc) 对一切实数a,b，c恒成立，所以x1|x1|3。当x1 时， 2x3， 即x错误错误! !； 当1x1 时， 23 不成立； 当x 1 时， 2x3,即x错误错误! !。综上所述,实数x的取值范围为错误错误! !错误错误! !.（10 分)22。 解析: （1） 因为平面 ABCD平面 ABEP,平面 ABCD平面 ABEPAB， BPAB， 所以 BP平面 AB
27、CD.又 ABBC,所以直线 BA，BP，BC 两两垂直, 以 B 为原点，分别以BA，BP，BC 所在直线为 x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 P（0，2,0)，B（0，0，0),D(2，0,1）,E（2，1，0),C（0，0，1)因为 BC平面 ABPE，所以错误错误! !（0，0，1）为平面 ABPE 的一个法向量(2 分)错误错误! !（2，2,1),错误错误! !(2，0，0）,设平面 PCD 的一个法向量为 n(x，y，z)，则错误错误! ! 即错误错误! !令y1,则z2，故 n（0,1，2) （4 分）设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为,则 cos错误错误!
28、!错误错误! !错误错误! !,显然 0错误错误! !，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为错误错误! !。(6 分)2（2) 设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 .5设错误错误! !错误错误! !(2，2,)(01)，错误错误! !错误错误! !错误错误! !(2，22，） (7 分)由(1)知平面PCD的一个法向量为 n（0，1，2） ，所以 cos错误错误! !，n错误错误! !错误错误! !错误错误! !，2即 9810,解得1 或错误错误! !（舍去) （9 分）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为错误错误! !.(10
29、 分)12江苏省苏州市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题23. 解析： （1） 因为 f（n） f（n1）122f(n1) ，所以 f(n1）错误错误! !。由 f(1)2,代入得 f（2）错误错误! !错误错误! !,f(3）错误错误! !错误错误! !，所以 f(3）f（2）错误错误! !错误错误! !错误错误! !.（2 分)(2） 由 f（1)2，f(2)错误错误! !，可得 a错误错误! !，b错误错误! !.(3 分)以下用数学归纳法证明：存在实数 a错误错误! !，b错误错误! !，使 f（n)错误错误! !1 成立当 n1 时,显然成立；(4 分）当 nk 时，假设存在 a错误错误! !,b错误错误! !，使得 f（k)错误错误! !1 成立，(5 分)那么当 nk1 时,f（k1）错误错误! !错误错误! !错误错误! !1错误错误! !错误错误! !1，即当 nk1 时,存在 a错误错误! !，b错误错误! !，使得 f（k1)错误错误! !1 成立(9 分）由可知,存在实数 a错误错误! !,b错误错误! !，使 f(n)错误错误! !1 对任意正整数 n 恒成立分）13(10