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1、 运用提公因式法分解因式的步骤运用提公因式法分解因式的步骤是什么？是什么？ 你能将你能将a2b2分解因式吗？你是分解因式吗？你是如何思考的？如何思考的？ 观察平方差公观察平方差公式式a2b2= (ab)(ab)=的的项、指数、符号有什么特点？项、指数、符号有什么特点？ （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，）左边是二项式，每项都是平方的形式， 两项的符号相反两项的符号相反（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两）右边是两个多项式的积，一个因式是两 数的和，另一个因式是这两数的差数的和，另一个因式是这两数的差（3）在乘法公式中，）在乘法公式中，“平方差平方差”是计算结果，是计算结果， 而在分解
2、因式，而在分解因式， “平方差平方差”是得分解是得分解因因 式的多项式式的多项式 由此可知如果多项式是两数差的形式，并由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式个多项式可以运用平方差公式分解因式 在边长为在边长为a的正方形中挖掉一个边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（则这个等式是（ ） Aa2b2=(ab)(ab) B(
3、ab)2=a2+2ab+b2 C(ab)2=a22abb2 D(a+2b)(ab)=a2+ab2b2abba例例1 把下列各式因式分解：把下列各式因式分解：（1）( x + z )- ( y + z )（2）4( a + b) - 25(a - c)（3）4a - 4a（4）(xy + z) (xyz )（5）9(m+n)2(m-n)2（6）5x3y(x-y)+20 x3y3(y-x)3（4）原式）原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)- (x-y-z) =2x (2y + 2z) =4x (y + z )（3）原式）原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：（解：（1）原
4、式）原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+y+2z)(x-y)（2）原式）原式=4( a + b) - 25(a - c) =2(ab) 5(a-c)2(ab)-5(a-c) =(7a2b5c)(3a2b5c) （5）原式）原式=3(m+n)2(m-n)2=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)=(4m+2n) (2m+4n)=4 (2m+n) (m+2n)（6）原式）原式=5x3y(x-y)-10 x4y3(x-y)2 =5x3y(x-y)1-2xy2(x-y) =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)
5、例例2 若若n是整数，证明是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数的倍数证明：证明： (2n+1)2-(2n-1)2 =（2n12n-1）（）（2n1-2n1） =4n2 =8n因为因为n是整数，所以原式是是整数，所以原式是8的倍数的倍数（1） 652-642 （2） 5.42-4.62解：解：652-642 =(65+64)(65-64) =1291 =129解：解：5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =80例例3 计算下列各式的值：计算下列各式的值：(3x+2y)(3-2y)=41.5=69x2-4y2 =6解解1： 例例4 已知已知x和
6、和y满足方程组满足方程组 ，求求9x24y2的值？的值？3x+2y=46x-4y=33x+2y=43x-2y=1.53x+2y=46x-4y=3由得：由得：(x+2y)(x-2y)=5 将代入得：将代入得：x+2y=5 + 得：得：x=3代入得：代入得：y=1解：解：（2006年莆田）解方程组：年莆田）解方程组：x24y2=5，x2y=1 所以，原方程组的解为：所以，原方程组的解为：x=3，y=1已知，已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式，求代数式 x2- y2-2y+2x的值的值解：解： x2y22y+2x =x2y2（2x2y） =（x +y）（）（ x y ）2（xy） =（ x
7、 y ）（）（ x y 2） =59=45baba 观察图形，根据图形的面积关系，不需观察图形，根据图形的面积关系，不需要其他的线，便可以得到一个用来分解因式要其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是的公式，这个公式是_（1）x4-2x2+1解：原式解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2（2）(x2+y2)2-4x2y2解：原式解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) =(x+y)2(x-y)2例例5 分解因式分解因式（3）3abx2+6abxy+3aby2解：原式解：原式=3ab（x22xy
8、y2）=3ab(x+y)2（4）（）（m+n）2-4m（m+n）+4m2 解：原式解：原式=（m+n）2-22m（m+n）+（2m)2 =（ mn2m ）2 =（mn）2(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-x-2(x-2)(x-1)x2-3x+2(x+2)(x-1)x2+x-2(x+2)(x+3)x2+5x+6(x+2)(x-3)x2-x-6(x-2)(x+3)x2+x-6(x-2)(x-3)x2-5x+6(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab12345678=x2+px+q= x2+(a+b)x+ab=xxabax+bx=(a+b)x(x+a)(x+b)1x2+
9、8x+12=2x2-11x-12=3x2-7x+12=4x2-4x-12=(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)5x2+13x+12= (x+1)(x+12)6x2-x-12= (x-4)(x+3)将下列各式因式分解：将下列各式因式分解：对二次三项式对二次三项式x2+px+q进行因式分解，进行因式分解，应重点掌握以下三个问应重点掌握以下三个问题：题： mx+my-nx-ny ，两组，得（，两组，得（mx+my）-（nx+ny）解解1：原式：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)，两组，得（，两组，得
10、（mx-nx）+(my-ny)解解2：原式：原式= （mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)= (m-n) (x+y)把下列各式因式分解：把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1解：（解：（1）原式）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)（2）原式）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)（3）9a4-4a2+4a-1解：解：9a4-4a2+4a-1= 9a4-(4a2-4a+1) = 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+
11、1)= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24= (x2+x-2)(x2+x-12)+24= (x2+x) 2-14(x2+x)+48= (x2+x-6)(x2+x-8)= (x+3)(x-2)(x2+x-8)（2007年株洲市）年株洲市）分解因式分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10 解：令解：令x4+x2=m，则原式可化为，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 = m2-m-12+10 = m2-m-2 = (m-2)(m+1) = (x4+x2-2)(x4+x2+
12、1) = (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) = (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1) 如果如果a+b=0，求，求a3 2b3+ a2b 2ab2的值的值 原式原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )= (a +b) ( a2 - 2b2 )=0解：解：4x4+1 = 4x4+4x2+1-4x2 =（2x2+1）2-（2x）2 =（ 2x2+1+ 2x）（）（ 2x2+1-2x）因式分解：因式分解：4x4+1多多项项式式二项式二项式立方和差立方和差添项添项三项式三项式完全平方式完全平方式十字相乘法十字相乘法拆项法拆
13、项法多于三项的多项式多于三项的多项式分组分解分组分解分组后提公因式分组后提公因式分组后运用公式分组后运用公式分组后十字相乘分组后十字相乘提取公因式提取公因式平方差平方差2(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) =_3(a+b) 2+2(a+b)-15 =_4-1-2a-a2=_5x2-6x+9-y2 =_6x2-4y2+x+2y=_79x2+6xy+y2+3x+y =_89x2+6xy+y2+3x+y-2=_1a3-ab2 =_a(a+b)(a-b)2x(a-b)(a+b+5)(a+b-3)-(a+1) 2 (x-3+y)(x-3-y)(x+2y)(x-2y+1)(3x+y)(3x+y+1
14、)(3x+y+2)(3x+y-1)一、分解因式一、分解因式二、分解因式二、分解因式172-2(13x-7)228a2b2-2a4b-8b3解：解：72-2(13x-1)2解：解：8a2b2-2a4b-8b3=262-(13x-7) 2=2(6+13x-7)(6-13x+7) =2(13x-1)(-13x+13)=-26(13x-1)(x-1) =2b(4a2b-a4-4b2)=-2b(a4-4a2b+4b2)=-2b(a2-2b) 2三、因式分解三、因式分解(x+2)(x-3)1x2-x- 6 =(x+2)(x-5)2x2-3x-10=(x-7)(x+4)3x2-3x-28=(x-1)(x-3
15、)4x2-4x+3=(x+2)(x+3)(x-3)(x+7)5x2+5x+6=6x2+4x-21=(y+12)(y-3)7y2+9y-36=(y-7)(y+16)(y+16)(y+3)8y2+9y-112=9y2+19y+48=4若若a+b=4，a2+b2=10 求求a3+a2b+ab2+b3的值的值解：原式解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2) a+b=4，a2+b2=10 原式原式=410=405已知已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求，求2x2+4xy+2y2的值的值解：由题意：解：由题意：(x+y)2-2(x+y)
16、+1=0 (x+y-1)2=0即即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =212=21（1）5a2(3a2)； （2）3bc(4ac)； （3）2(pq)(3p2q)；（；（4）(a3)(m2)2（1）(16b)(16b)； （2）3(2xy)(2xy)； （3）(0.7p12)(0.7p12)；（；（4）3(xy)(xy)3（1）(15t)2；（；（2）(m7)2； （3）(y1/2)2； （4）(mn)2；（；（5）(5a8)2；（；（6）(abc)24（1）原式）原式=3.14（21+62+17）=314； （2）原式）原式=（758+258）（）（7582
17、58） =1016500=508 0005（1）（）（ab）2；（；（2）(p+2)(p2)； （3）y(2xy)2；（；（4）3a(xy)(xy)6（1）V =I(R1+R2+R3)，代入，代入R1，R2，R3的的 值，得值，得V=2207所求面积所求面积S=R24r2=（R2r）（）（R 2r），代入），代入R，r的数值后得的数值后得S=175.84cm2822x22=4(x1)或或x2(x2)2=4(x1)9m=1210(2n1) 2n21=2n1222n11= (2n11)22211. 1x -2 = (x+2)(x-2) 2 5x -3 = ( 5x+3)( 5x-3).（）；（ ）