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1、3.2.3.2.空间向量的坐标空间向量的坐标xyzkijQPO一、空间向量基本定理：空间向量基本定理：如图，设如图，设i, j, k是空间三个两两垂直的向量，且有公共是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点起点O。对于空间任意一个向量。对于空间任意一个向量p=OP,设点设点Q为点为点P在在i, j所确定的平面上的所确定的平面上的正投影正投影，由平面基本定理可知，由平面基本定理可知，在在O,Q,k所确定的平面上，存在实数所确定的平面上，存在实数z，使得使得 OP=OQ+z k,而在而在i, j所确定的平面上，由平面向量基本定理所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前数对可知，存在有序之
2、前数对(x,y)，使得使得OQ=xi+yj.从而从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO如果如果I , j , k是空间三个两两垂直的向量，对空间是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量任一个向量p，存在一个有序实数组使得，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.xi,yj,zk为向量为向量p在在i, j, k上的分向量。上的分向量。系数系数x,y,z由向量由向量p唯一确定唯一确定思考：思考：在空间中，如果用任意三个不在空间中，如果用任意三个不共面向量共面向量a,b,c代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量i,j,k,能得能得到类似的结论吗？到类似的结论吗？空间向量基本
3、定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量p,存在有序存在有序实数组实数组x,y,z,使得使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zRa,b,c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，a,b,c都叫做都叫做基向量。基向量。二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的组个基底的如果空间的组个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这组，则这组基底叫做单位正交基底，常用基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表
4、表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一组单位正交基底组单位正交基底 i、j、k 。以点。以点O为原点，为原点，分别以分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了这样就建立了一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量都叫做坐标向量.通通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，A,对应一个向量对应一
5、个向量OA，于是存在唯一的有序实数，于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，使，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底在单位正交基底i, j, k中与向量中与向量OA对应的有对应的有序实数组序实数组(x,y,z)，叫做，叫做点点A在此空间直角坐标系中在此空间直角坐标系中的坐标，记作的坐标，记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标.三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算. .111222( , , ),( , , )ax y z bx y z设设则则121212(,);a bx x yy zz
6、 121212(,);a bx x yy zz 111(,)();axyzR 1 2121 2;a bx xy yz z 121212/,()a bxx yy zzR1 2121 20.abx xy yz z设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标点的坐标. . 空间向量坐标运算法则，关键是注意空空间向量坐标运算法则，关键
7、是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。坐标。二、距离与夹角二、距离与夹角2222111| aa axyz2222222| bb bxyz1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。|ABABABAB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxy
8、yzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时
9、，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b三、应用举例三、应用举例例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29 .A BdOABM（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。 、AB(, )P xy z,xy z解：点到的距离相等，则解：点到的距离相
10、等，则(, )P xy z 、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是 、AB(, )xy z46870 xyz例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0) ,1,1 ,4BE
11、11(0,0,0) ,0, 1 .4，DF1311,1(1,1,0)0,1 ,44BE 例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。1111ABCDA BC D11B E11114A BD F1BE1DFF1E1C1B1A1D1DABCxyzO1110, 1(0,0,0)0, 1 .44 ，DF111115001 1,4416 BEDF111717|, |.44 BEDF111111151516cos,.171717| |44 BEDFBEDFBEDF例题讲解：例题讲解：例例4、如图，、如图，M，N分别是四面体分别是四面体OABC的边的边OA，BC的
12、中点，的中点，P，Q是是MN的三等分点。用向量的三等分点。用向量OA，OB，OC表示表示OP和和OQ。BANCOMQP1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离.ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。，点分别是边的中点。求证：。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDN 所以所以22()110022ABMNABMAADDNABMAABADABDNaa MNAB同理，同理，MNCD 3.已知空间四边形已知空间四边形，求证：。，求证：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB证明：证明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OABCOAOCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC4.如图，已知正方体，如图，已知正方体， 和和 相交于相交于点，连结点，连结 ，求证：。，求证：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC