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1、相似三角形的证相似三角形的证明明一、相似三角形的性质一、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .相似三角形对应中线的比相似三角形对应中线的比, ,对应角平分线的对应角平分线的 比，对应高的比比，对应高的比, ,对应周长的比都等于相似比对应周长的比都等于相似比. .相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方. .二二.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法定理定理1 1 两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似. .推论推论1 1 平行于三角形一边直线截其它两边平行于三角形一边直线截其它两边( (
2、或其延长线或其延长线),),所截得的三角形与原三角形相似所截得的三角形与原三角形相似; ;定理定理2 2 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. .定理定理3 3 两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三角形相似且夹角相等的两个三角形相似; ;定理定理4 4 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. .1. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证： MAD MEAABCDEM分析：分析：已知中与线段有关的条件仅有已知中与线段有关的条件仅有AM=B
3、C/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。证明：BAC=90 M为斜边BC中点 AM=BM=BC/2 B= MAD又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADEB=EMAD= E又 DMA= AMEMAD MEA1. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证： AM2=MD MEABCDEM分析：分析：AM是是 MAD 与与 MEA 的公共边，故是对应边的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。的比例中项。 MAD MEA 即AM2
4、=MDMEAMMD =MEAM 思考：证明等积式的一般方法是什么思考：证明等积式的一般方法是什么?2.如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO EC.ABCDEFO分析：欲证 ED2=EOEC，即证：只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。EDEO =ECED 证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO ECEDEO =ECED 3.过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .ABC
5、DEFG 分析：要证明 EA2 = EF EG ，即 证明 成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.证明： ADBF ABBC AED FEB AEB GEDEAEG =ABDG EFEA =BEED= ABDG EAEG =EFEA EAEG =EFEA 4.已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.ADEFBC分析：因ABCABD，所以要证 即证 ，需证BDFDAF.AFDFACABADBDACABAFDFADBD证明：
6、 BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是AC的中点，ED=EC EDC= C EDC = BDFAFDFADBD BDF= C= BAD又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD ADBDACABAFDFACAB5.D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，直线的延长线上一点，直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求证：求证：BDCE=CDBFFEDCBA由由BDCE=CDBF，得，得分析：分析：但但DBF与与 DCE不相似不相似因此，需作辅助线构造相似三角形因此，需作辅助线构造相似三角形BD
7、BFCECD=5.D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点，直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求求证证:BDCE=CDBFFEDCBAG方法一：方法一： 过点过点C作作CGAB,交交DF于于G 则则DCG DBF 故故再证再证CG=CE 即可即可CDCGBFBD=FEDCBAG方法二：方法二： 过点过点C作作CGDF,交交AB于于G 故故再证再证FG=CE 即可即可5.D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，直线的延长线上一点，直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求证求证BDCE=CDBFBDBFFGCD=FEDCBAG5.D为为ABC的底边
8、的底边BC的延长线上一点，直线的延长线上一点，直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AF.求证：求证：BDCE=CDBF方法三：方法三： 过点过点B作作BGDF,交交DF的延长线于的延长线于G 故故再证再证BG=BF 即可即可则则DCE DBG DCCEBGDB=6.如图：如图： 已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC ，EF是是AD的中垂线，的中垂线，EF 交交BC的延长线于的延长线于F .求求证：证：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：由由FD2=FCFB，得，得FDFBFDFC=但但FD、FC、FB都都在同一直线上，无在同一直线上，无法利用相似三角形法利用相似三角形.由于由于FD
9、=FA，替换后，替换后可形成相似三角形可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要证只要证FABFCA即可即可. 7.7.已知已知,ABCD,ABCDEF，（1）图中有几对相似的三角形？）图中有几对相似的三角形？（2）线段）线段AB、CD与与EF有怎样的等量关系？有怎样的等量关系？FABCDEEDCEBAADCAFEBDAEDFCDEFABAEACAECEEFCDABCDAEACEFCDAECEABCD1111证比例式（或乘积式）的常用方法证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式(1)找相似三角形（或平行线）找相似三角形（或平行线）(2)没有相似三角形（或平行线）没有相似三角形（或平行线）,利用等比例利用等比例转化转化,或利用等线段转化或利用等线段转化,或等积转化或等积转化,或构造辅或构造辅助线转化助线转化 不经历风雨，怎么见彩虹不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功没有人能随随便便成功! !