《(浙江专版)2018年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系学案 新人教A版选修2-1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(浙江专版)2018年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系学案 新人教A版选修2-1.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.11.1错误错误! !11.1命题预习课本 P23，思考并完成以下问题1命题、真命题、假命题的概念分别是什么？2在命题“若p，则q”的形式中，p、q分别叫做命题的什么？新知初探命题错误错误! !点睛(1）判断一个语句是命题的两个要素：是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；可以判断真假（2）命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明 ,假命题只需举出一个反例即可错误错误! !1判断下列命题是否正确（正确的打“,错误的打“”）(1）“集合a，b，c有 3 个子集”是命题（）(2）“x3x20是命题(）答案：(1)（2）2语句“若ab，则acbc”()A不是命题C是假命题答
2、案：BB是真命题 D不能判断真假23下列语句中，是假命题的是()A一条直线有且只有一条垂线B不相等的两个角一定不是对顶角C直角的补角必是直角D两直线平行，同旁内角互补答案：A4命题“一个正整数不是合数就是素数的条件p为_，结论q为_答案：一个正整数不是合数就是素数命题的判断典例判断下列语句是否是命题,并说明理由(1）错误错误! !是有理数；(2)3x5；（3)梯形是不是平面图形呢?(4)xx70。解（1）“错误错误! !是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题（2）因为无法判断“3x5”的真假，所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题（4)因为xx7错误错误
3、! !错误错误! !0，所以“xx70”是真的，故是命题222222判断语句是否是命题的策略（1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题(2)对于含变量的语句 ,要注意根据变量的取值范围 ,看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能,就不是命题活学活用判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形;(2)任何集合都是它自己的子集；(3）对顶角相等吗？（4)x3。解：（1）是陈述句，能判断真假，是命题（2）是陈述句，能判断真假，是命题(3)不是陈述句,不是命题（4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假典例判断下列命题的真假，并
4、说明理由（1）正方形既是矩形又是菱形；(2）当x4 时，2x10；(3)若x3 或x7，则（x3)(x7）0；（4)一个等比数列的公比大于 1 时，该数列一定为递增数列解（1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形（2)是假命题，x4 不满足 2x10.(3)是真命题，x3 或x7 能得到（x3)(x7）0。(4)是假命题，因为当等比数列的首项a10，公比q1 时，该数列为递减数列命题真假的判定方法(1）真命题的判定方法:真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法（2）假命题的
5、判定方法:通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法活学活用下列命题中真命题有（）mx2x10 是一元二次方程；抛物线yax2x1 与x轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集22A1 个C3 个B2 个 D4 个解析：选 A中当m0 时,是一元一次方程；中当44a1 时，方程ax2x10 有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；（4）已知x，y为非零自然数，当yx2 时，y4,x2。解(1)若一个数是 6，则它是 12 和 18 的公约数，是真命题(2）若a1,则方程ax2x10 有两个不等实根，是假命题（3)若一个四边形是平行四边
6、形,则它的对角线互相平分，是真命题（4）已知x，y为非零自然数，若yx2，则y4,x2，是假命题22把一个命题改写成“若p,则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论 ,有时一个结论需多个条件 ,还要注意有的命题改写形式不唯一活学活用把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断命题的真假(1）奇数不能被 2 整除;（2）当(a1) (b1) 0 时，ab1；（3）两个相似三角形是全等三角形；（4)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行解:(1）若一个数是奇数,则它不能被 2 整除，是真命题（2）若(a1) (b1) 0，则ab1,是真
7、命题(3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形,是假命题(4）在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题2222层级一学业水平达标1下列语句不是命题的有（）若ab，bc，则ac；x2；34；函数ya(a0，且a1)在 R 上是增函数A0 个C2 个B1 个 D3 个x解析：选 C是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题2下列命题是真命题的是（)A所有质数都是奇数B若错误错误! !错误错误! !，则abC对任意的xN,都有xx成立D方程xx20 有实根解析：选 B选项 A 错，因为 2 是偶数也是质数；选项 B 正确;选项 C 错；因为当x0
8、时232x3x2不成立;选项 D 错，因为12870，所以方程x2x20 无实根3已知a，b为两条不同的直线，,为两个不同的平面，且a，b,则下列命题中，假命题是（)A若ab，则B若，则abC若a，b相交,则，相交D若，相交,则a，b相交解析：选 D由已知a，b,若，相交,a,b有可能异面4给出命题“方程xax10 没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(）A4C0 B2 D322解析：选 C方程无实根时，应满足a4b1，则 0logab1。2其中是真命题的是_（填序号)解析:是假命题，反例：x2错误错误! !和x错误错误! !，tan错误错误! !错误错误! !，tan错误错误!
9、 !1,2错误错误! !错误错误! !，但 tan2错误错误! !tan错误错误! !。1是假命题,反例：y 是奇函数，但其图象不过原点x是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题答案：8若命题“ax2ax30 不成立”是真命题,则实数a的取值范围是_解析：ax2ax30 不成立，ax2ax30 恒成立当a0 时，30 恒成立;当a0 时，则有错误错误! !解得3a0。综上，3a0.答案：3,09把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么(1）乘积为 1 的两个实数互为倒数;（2）奇函数的图象关于原点对称;（3)与同一直线平行的两个平面平行解：（1)“若两个实
10、数乘积为 1,则这两个实数互为倒数”它是真命题222p:两个实数乘积为 1；q：两个实数互为倒数（2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称它是真命题p:一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称(3）“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”它是假命题，这两个平面也可能相交p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行10已知A:5x1a，B：x1,请选择适当的实数a,使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x错误错误! !1,解得a4;1a，则x1”由命题为真命题可知5若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x1，则x错误错误!
11、!”由命题为真命题可知错误错误! !1，解得a4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a1，则有真命题“若x1，则x错误错误! !”层级二应试能力达标1在空间中，下列命题正确的是(）A平行直线的平行投影重合B平行于同一平面的两条直线平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析：选 DA 中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合B 中两直线也可以相交或异面C 中两平面可以相交D 正确故选 D。2下面的命题中是真命题的是（）Aysinx的最小正周期为 2B若方程axbxc0（a0）的两根同号，则错误错误! !0C如果MN，那么
12、MNMD在ABC中，若ABABBCBC0，则B为锐角解析：选 Bysinx错误错误! !,T错误错误! !，故 A 为假命题；当MN时，MNN，故 C为假命题；在三角形ABC中，当ABABBCBC0 时，向量ABAB与BCBC的夹角为锐角，B应为钝角，故 D 为假命题故选 B。3下列命题为真命题的是()A若错误错误! !错误错误! !，则xyB若x1，则x1C若xy，则x错误错误! !D若xy，则x0 时,设a1，把(0,0)代入xy10 得10 不成立，xy10 表示直线的右上方区域(包括边界），命题为真命题答案：a0二元一次不等式xay10 表示直线xay10 的右上方区域(包含边界)真6
13、定义“正对数”：lnx错误错误! !现有四个命题：若a0，b0，则 ln (a)blna;若a0，b0，则 ln （ab)lnalnb；若a0，b0，则 ln错误错误! !lnalnb;若a0,b0，则 ln (ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)解析:对于 ,当a1 时,a1，则 ln (a）lnablnablna；当 0a1时,0a1，则 ln （a)0，blna0，即 ln （a)blna,故为真命题同理讨论a，b在(0,)内的不同取值，可知为真命题1对于，可取特殊值ae，b ，则 ln (ab)0，lnalnb101，故为假命e题综上可知,真命题有。答案
14、:7已知p:x2x2m的解集为 R；q:函数f（x)（73m）2bbbbbbbx是减函数若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围解：若命题p为真命题，由x2x2（x1) 1m,可知m1；若命题q为真命题，则 73m1，即m2.命题p和q中有且只有一个是真命题,则p真q假或p假q真,即22m1，m2或错误错误! !所以 1m2.故实数m的取值范围是（1，2）8试探究命题“方程axbx10 有实数解为真命题时,a，b满足的条件解：方程axbx10 有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a0 时，方程axbx10 为bx10，只有当b0 时，方程有实数解x错误错误
15、! !；222当a0 时，方程axbx10 为一元二次方程，方程有实数解的条件为b4a0.综上知,当a0，b0 或a0，b4a0 时，方程axbx10 有实数解222211.2 & 1.1。3四种命题四种命题间的相互关系预习课本 P48,思考并完成以下问题1一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么?2什么样的两个命题有相同的真假性?3两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？错误错误! !1四种命题的概念一般地,对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件 ,那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样
16、的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时 ,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题2四种命题结构3四种命题之间的关系4四种命题的真假性之间的关系（1）两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；（2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系错误错误! !1判断下列命题是否正确（正确的打“”，错误的打“）（1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()（2）原命题与逆命题之间的真假性没有关系（）答案:(1）(2）2已知a,bR，命题“若ab1，则a2b2错误错误! !”的否命题是（A若a2b2错误
17、错误! !，则ab1B若ab1，则a2b2错误错误! !C若ab1,则a2b210，那么x0.解：(1）逆命题 :如果一条直线垂直于平面 ,那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线(2）逆命题:如果x0，那么x10；否命题：如果x10，那么x0；逆否命题：如果x0，那么x10.四种命题真假的判断典例判断下列命题的真假(1）“若xy0，则x，y不全为零的否命题（2)“正三角形都相似”的逆命题（3）“若m0，则xxm0 有实根”的逆否命题解（1）原命题
18、的否命题为“若xy0,则x，y全为零”真命题(2）原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”假命题(3)原命题的逆否命题为“若xxm0 无实根，则m0因为方程xxm0 无实根，所以判别式14m0，解得m错误错误! !，故m0，为真命题一题多变1变设问若本例（3）改为判断“若m0，则xxm0 有实根的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若xxm0 有实根，则m0”因为方程xxm0 有实根，所以判别式14m0，所以m错误错误! !,故逆命题为假命题2变条件若本例（3)改为判断“若m0，则mxx10 有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？22222222222解:原命题的逆
19、否命题为“若mxx10 无实根，则m0因为方程mxx10 无实根,则m0，所以判别式14m0，则m错误错误! !,故m0，为真命题22解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可等价命题的应用典例证明：已知函数f(x)是(，）上的增函数，a，bR，若f（a)f(b）f(a）f(b），则ab0。证明法一:原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f（a)f(b）f(a）f(b)”若ab0，则ab,ba。又f（x）在(，）上是增函数，f(a)f（b），f（b)f(a
20、），f(a）f（b)f（a)f(b)即原命题的逆否命题为真命题原命题为真命题法二：假设ab0,则ab，ba。又f（x）在（,)上是增函数,f(a)f(b)，f(b）f(a)f（a）f(b)2，则2222m2n22由于mn2，则mn错误错误! !(mn） 错误错误! !2 2，所以mn2。故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题层级一学业水平达标1命题“若m10,则m100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A原命题、否命题C原命题、逆否命题B原命题、逆命题 D逆命题、否命题2222222解析:选 C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题2已知a,b，cR，命题“
21、若abc3，则abc3”的否命题是(）A若abc3，则abc3B若abc3，则abc3C若abc3,则abc3D若abc3，则abc3解析：选 Aabc3 的否定是abc3,abc3 的否定是abc3.3与命题“能被 6 整除的整数，一定能被 3 整除”等价的命题是()A能被 3 整除的整数，一定能被 6 整除B不能被 3 整除的整数,一定不能被 6 整除C不能被 6 整除的整数,一定不能被 3 整除D不能被 6 整除的整数，能被 3 整除解析：选 B即写命题“若一个整数能被 6 整除,则一定能被 3 整除的逆否命题4若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(）A互逆命题C
22、互为逆否命题 B互否命题 D以上都不正确222222222222222222222解析：选 A设p为“若A,则B”，那么q为“若綈A，则綈B”,r为“若綈B，则綈A故q与r为互逆命题5原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则z1z2”，关于其逆命题，否命题,逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A真，假，真C真,真，假 B假，假，真 D假，假，假解析：选 B因为原命题为真，所以它的逆否命题为真;若z1|z2，当z11，z21 时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的故选 B.6命题“正数的绝对值等于它本身的逆命题是_，这是_(填“真”或“假)命题解析：逆命题即将
23、原命题条件和结论互换位置答案：如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数假7已知命题“若m1xm1，则 1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_解析：由已知得,若 1x2 成立，则m1xm1 也成立错误错误! !1m2.答案：1，28下列命题中:若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补;对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内
24、接四边形，则它的对角互补 ；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断答案：和,和和，和和，和9写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断真假(1)等高的两个三角形是全等三角形；（2）弦的垂直平分线平分弦所对的弧解：（1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；否命题：若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等,是真命题;逆否命题：若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高，是假命题(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假
25、命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题10判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x（2a1）xa20 的解集非空，则a1”的逆否命题的真假解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数,若a1，则关于x的不等式x(2a1）xa20 的解集为空集”判断其真假如下：抛物线yx（2a1）xa2 的图象开口向上，判别式（2a1） 4（a2)4a7.因为a1，所以 4a7bc不成立,故原命题为假命题由等价命题同真同假,知其逆否命题也为假命题逆命题“设a，b,cR,若acbc，则ab为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有 2 个真命题
26、，故选 C。2命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的（）A逆命题C逆否命题222222222222222222B否命题 D无关命题解析：选 A由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选 A。3原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是（）A原命题是真命题C否命题是真命题 B逆命题是假命题 D逆否命题是真命题解析：选 C原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形是真命题,所以否命题是真命题，故选 C.4命题“若错误错误! !，则 tan1的逆否命题是()A若错误错误! !,则 tan1 B
27、若错误错误! !,则 tan1C若 tan1，则错误错误! ! D若 tan1，则错误错误! !解析：选 C否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题,可知 C 正确5 命 题 “ 若x 1, 则x0” 的 逆 命 题 是 _ ， 逆 否 命 题 是_答案:若x0，则x1若x0，则x16在原命题“若ABB，则ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_解析：逆命题为“若ABA，则ABB”；否命题为“若ABB,则ABA”；逆否命题为“若ABA，则ABB;全为真命题答案：417已知a，b，cR，证明：若abc1，则a,b,c中至少有一个小于 .31证明：原命题
28、的逆否命题为：已知a，b，cR，若a，b，c都不小于 ，则ab3c1。由条件a错误错误! !，b错误错误! !，c错误错误! !，三式相加得abc1,显然逆否命题为真命题所以原命题也为真命题即已知a，b，cR,若abc0）在1，2上单调递增，所以a2g(x)2a2，于是有错误错误! !即a3.故实数a的取值范围为3，）22尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This art
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