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1、有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2012届JS高三第一轮复习数学（文）数列第五课时：俞雪峰俞雪峰等比数列及其性质等比数列及其性质有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。本节课的学习目的学习目的：通过复习探究等比数列的项与项之间的几类关系使同学们能较深入理解等比数列的本质，从而为全面理解和掌握等比数列的有关内容打下坚实的基础。本节课的学习方法学习方法：与等差数列进行比较，通过类比的方法复
2、习等比数列。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。数数 列列等等 差差 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式 引申引申中项中项 性质性质 0qqaa,2n1nn 1n1nqaa mnmnqaa daa,2n1nn d)1n(aa1n d)mn(aamn Rd 公公差差0q 公比公比类比类比若若m+n=p+t(m,n,p,t m+n=p+t(m,n,p,t N N* *),),则则a am m+a+an n=a=ap p+a+at t若若m+n=p+t(m,n,p,t m+
3、n=p+t(m,n,p,t N N* *),),则则a am ma an n=a=ap pa at t212nnnaaa221nnnaaa等等 比比 数数 列列有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。一、等比数列的定义及一、等比数列的定义及通项公式通项公式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。通项公式通项公式 数学表达数学表达式式定定 义义等比数列等比数列 等差数列等差数列名称名称如果一个数
4、列从第如果一个数列从第2项项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等那么这个数列叫做等差数列差数列.这个常数叫做这个常数叫做等差数列的公差，用等差数列的公差，用d表示表示an+1-an=dan = a1 +（n-1）d如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它前项起，每一项与它前一项的比都等于一项的比都等于同一同一个常数个常数,那么这个数那么这个数列叫做等比数列列叫做等比数列.这这个常数叫做等比数列个常数叫做等比数列的公比，用的公比，用q表示表示qaann 111nnqaa有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，
5、以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。名称名称推导推导过程过程dnaan) 1(1daa12 d2aa13 d3aa14 由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得： 法法1 1：不完全：不完全归纳归纳法法d)1n(aa1n 11nnqaa na 4a法法1 1：不完全：不完全归纳归纳法法qaaqaa1212 3a由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得： a a1 1q q2 2a a1 1q q3 3a a1 1q qn-1n-1等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式有利于学习和创新
6、的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列推导推导过程过程dnaan) 1(11n1nqaa daa,2n12 daa23 daa34 把这把这n-1个式子个式子相加相加，得：，得： 法法2 2：累加法：累加法d)1n(aa1n daa1nn 当当n=1时，上式成立时，上式成立 *1nNn,d)1n(aa qaa,2n12 法法2 2： 累乘累乘 法法qaa23 qaa1nn 把这把这n-1n-1个式子个式子相乘相乘，得：，得：1n1nqaa 当当n=1时，上
7、式成立时，上式成立 *1n1nNn,qaa 通项通项公式公式有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。考点一：等比数列的基本考点一：等比数列的基本运算运算有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例1：在等比数列：在等比数列an中：中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,932,8,naqanaqaaqaaa 已知求已知，求 ；已知求 ；已知求q(3)(4)答案：（1）n=
8、 5 （2）a5= （3）a1=729 （4）q=16321n1nqaa 解题思路分析：解题思路分析：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1n1nqaa 解后反思：解后反思：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例2：在等比数列：在等比数列an中：中：362,16,naaa已知求1n1nqaa 解解：2n1nn12135162221a2q21a2qaa16qaa 解后反思：利用通项公式
9、由已知的基本量转化为解解后反思：利用通项公式由已知的基本量转化为解方程组。所谓函数与方程的思想。方程组。所谓函数与方程的思想。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。二、等比数列通项公式的引申二、等比数列通项公式的引申有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式引申引申 *mnNm,nd)mn(aa *,n mnmaa qn mN
10、d)1m(aa1m d)1n(aa1n d)mn(aamn d)mn(aamn 可得可得已知等差数列已知等差数列a an n中，公中，公差为差为d d，则，则a an n与与a am m（n,m Nn,m N* *）有何关系？有何关系？已知等比数列已知等比数列a an n中，公中，公比为比为q q，则，则a an n与与a am m（n,m Nn,m N* *）有何关系？有何关系？an=a1qn-1am=a1qm-1mnmnqaa *mnmnNm,nqaa 可得可得有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任
11、的合作环境。*636333323:,16222 22nmnmnnnnaa qn mNaa qqqaaq另 解例例2：在等比数列：在等比数列an中：中：362,16,naaa已知求有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。三、等比中项三、等比中项有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 如果在如果在a与与b中间插入中间插入一个数一个数A，使，使a，A，b成成等差数列，那么等差数列，那么A叫做叫做a
12、与与b的的等差中项等差中项。 如果在如果在a a与与b b中间插入中间插入一个数一个数G，使，使a a，G，b b成成等比数列，那么等比数列，那么G叫做叫做a a与与b b的等比中项。的等比中项。2baAabG在等差数列在等差数列aan n 中中: :212nnnaaa注意：注意：1.1.两个数的等比中项有两个，两个数的等比中项有两个，它们互为相反数；它们互为相反数；2.这两个数必须这两个数必须满足同号的条件，即满足同号的条件，即ab0在等比数列在等比数列aan n 中：中： 221nnnaaa等差中项等差中项等比中项等比中项1、两个数的等差中项只有一个、两个数的等差中项只有一个2、任意两个数
13、都有等差中项、任意两个数都有等差中项有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。考点二、等比数列的判定考点二、等比数列的判定)2(1nqaann或)(*1Nnqaann(判断一个数列是否为等判断一个数列是否为等比数列的首选方法：定义比数列的首选方法：定义)0na有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。证明证明：Sn2an+1， Sn+12an+1+1， Sn+1Snan+1 (2an+1+1)(2
14、an+1)2an+12an. an+1 2an+12an an+12an 又S1a12a1+1，a110.由式可知，an0，由 知an是等比数列， 所以通项公式：所以通项公式：an2n-1.例例3、已知数列、已知数列an的前的前n项和项和Sn2an1，求证：求证：an是等比数列，并求出通项公式是等比数列，并求出通项公式2aan1n有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。四、等比数列的性质四、等比数列的性质有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为
15、中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。等差数列的性质等差数列的性质 等比数列的性质等比数列的性质已知已知an是等差数列，是等差数列，若若m + n=p + t（m，n，p，t N*）则：则：am+an=ap+at.已知已知an是等比数列，是等比数列，若若m + n=p + t（m，n，p，t N*）则：则：am an=ap at.a1，a2，a3，an-2，an-1，an，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a1an=a2an-1=a3an-2=有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信
16、任的合作环境。考点三：等比数列性质的应用考点三：等比数列性质的应用有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例4 4、在等比数列、在等比数列aan n 中中，且，且an0， a a2 2a a4 4+2a3a5+a4a6=36, 求a3+a5= _ .6解：由性质可得解：由性质可得 a2a4=a3a3=a32a4a6=a5a5=a52 所以所以 a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业
17、文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例5 5 (2010 (2010全国全国) )已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列aan n ，a a1 1a a2 2a a3 3=5,a=5,a7 7a a8 8a a9 9=10,=10,则则a a4 4a a5 5a a6 6=( )=( ) 5 B. 7 C. 6 D. 45 B. 7 C. 6 D. 422分析分析: :利用等比数列的性质求解；利用等比数列的性质求解；解：由等比数列的性质知解：由等比数列的性质知a a1 1a a2 2a a3 3=(a=(a1 1a a3 3)a)a2 2=a=a3 32 2=5,=5,a
18、 a7 7a a8 8a a9 9=(a=(a7 7a a9 9)a)a8 8=a=a3 38 8=10,=10,所以所以a a2 2a a8 8= ,= ,所以所以a a4 4a a5 5a a6 6=(a=(a4 4a a6 6)a)a5 5=a=a3 35 5=( )=( )3 3=( )=( )3 3=5 ,=5 ,故选故选A.A.13501650228a a有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求
19、为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。数数 列列等等 差差 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式 任意两项任意两项连续三项连续三项 四项四项 0qqaa,2n1nn 1n1nqaa mnmnqaa daa,2n1nn d)1n(aa1n d)mn(aamn Rd 公公差差0q 公比公比类比类比若若m+n=p+t(m,n,p,t m+n=p+t(m,n,p,t N N* *),),则则a am m+a+an n=a=ap p+a+at t若若m+n=p+t(m,n,p,t m+n=p+t(m,n,p,t N N* *),),则则a am ma an n=a=a
20、p pa at t212nnnaaa221nnnaaa等等 比比 数数 列列有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1. (教材改编题)在等比数列an中，a1=1,a5=9,则a3=( )A. 3 B. -3 C. 3或-3 D. 3解析：解析：a a2 23 3=a=a1 1a a5 5=9,=9,且且a a1 1,a,a3 3,a,a5 5同号，同号，aa3 3=3.=3.故选故选A.A.2. 已知an是等比数列,a2=2,a5= ,则公比q=( )A. - B. -2 C. 2 D. 1
21、41212解析解析:q:q3 3= q= .= q= .故选故选D.D.53114,28aa 123. (2011济南山师附中模拟)在等比数列an中，a8a10=6,a4+a14=5,则 等于( )A. B. C. 或 D. - 或- 188aa232323323232五、课堂演练：五、课堂演练：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。解析：由题知，解析：由题知，a a8 8aa1010=a=a4 4aa1414=6,=6,且且a a4 4+a+a1414=5,=5,解得解得a a4 4=2,
22、a=2,a1414=3,=3,或或a a4 4=3,a=3,a1414=2,=2,或或 ，故选，故选C.C.1814842,3aaaa 18148432aaaa 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 复习内容：等比数列的定义、通项公式、性质。复习内容：等比数列的定义、通项公式、性质。本质就是复习数列项与项之间的关系本质就是复习数列项与项之间的关系从定从定义的相邻两项的关系、通项公式的第义的相邻两项的关系、通项公式的第n项与首项与首项的关系、拓展到任意两项的关系最后到三项、项的关系、拓展到任
23、意两项的关系最后到三项、四项的关系。通过本节课的复习我们可以深入四项的关系。通过本节课的复习我们可以深入的理解和掌握等比数列的实质。的理解和掌握等比数列的实质。 复习方法：主要是类比（与等差数列类比进行复习方法：主要是类比（与等差数列类比进行复习）的方法、兼顾了回顾、探究、讨论。复习）的方法、兼顾了回顾、探究、讨论。 数学方法：转化的思想、函数与方程的思想数学方法：转化的思想、函数与方程的思想 解题方法：基本量法、赋值法、归纳法、累加解题方法：基本量法、赋值法、归纳法、累加法、累乘法、性质的灵活运用。法、累乘法、性质的灵活运用。六六、总结：、总结：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的
24、创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。七、布置作业七、布置作业： 1、回顾本节课的有关内容。、回顾本节课的有关内容。 2、校本训练二十五。、校本训练二十五。 3、预习下一节课的内容：等比数列求、预习下一节课的内容：等比数列求和公式及其简单应用。和公式及其简单应用。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。变式变式5-15-1在等比数列an中，a1=1,公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m=( )A. 9 B. 10 C. 11
25、 D. 12解析：解析：a am m=a=a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5=a=a5 53 3=(a=(a1 1q q2 2) )5 5=q=q1010=a=a1111, ,故选故选C. C. 变式变式5-25-2(2011潍坊模拟)已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=2,则a1等于( )A. 1 B. C. - D. 222解析解析:a:a3 3a a9 9=2a=2a2 25 5,a,a2 26 6=2a=2a2 25 5,q,q2 2=2,q=2,q0,q= ,0,q= ,2a1= ,故选B.2222aq 有利于学习和创新的组织管理机制，创造
26、充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。关于等比数列的性质与等差数列关于等比数列的性质与等差数列的性质类似：随着复习的深入我的性质类似：随着复习的深入我们可能会碰到以下一些性质。同们可能会碰到以下一些性质。同学们可以了解一下：学们可以了解一下：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。等比数列的性质等比数列的性质有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。等比数列的性质等比数列的性质有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。等比数列的性质等比数列的性质