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1、 2.3 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1 1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；（1 1）（2 2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切；）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切；（2 2）（3 3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离）直线和圆没有公共点，直线与圆相离（3）Cldrdr 相交Cldr 相切C
2、ldr 相离2、现在，如何用直线方程和圆的方程判断它们、现在，如何用直线方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？之间的位置关系？先看以下问题，看看你能否从问题中总结来先看以下问题，看看你能否从问题中总结来已知直线已知直线 与圆与圆 ，判断它们的位置关系。判断它们的位置关系。3450 xy221xy已知圆的圆心是已知圆的圆心是O(0,0),半径是半径是r=1,圆心到直线的距离圆心到直线的距离223 04 05134dr 所以，此直线与圆相切所以，此直线与圆相切xyop已知直线已知直线 与圆与圆 ，判断它们的位置关系。判断它们的位置关系。3450 xy221xy建立方程组建立方程组2234501xy
3、xy由可知由可知3544yx ，代入中，代入中得得2235()144xx ，化简得，化简得2253090 xx35x ，方程组有唯一一个解，方程组有唯一一个解3545xy即此直线与圆只有一个公共点即此直线与圆只有一个公共点3 4()5, 5，从而直线与圆相切，从而直线与圆相切判断直线与圆的位置关系有两种方法：判断直线与圆的位置关系有两种方法： 代数法：代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断来判断如果有两组实数解时，直线与圆相交；有一如果有两组实数解时，直线与圆相交；有一组实数解时，直线与圆相切；无实数解时，直线与圆组实数解时，直线与圆相切；无
4、实数解时，直线与圆相离相离几何法：几何法：根据圆心到直线的距离根据圆心到直线的距离d与圆的半径与圆的半径r的关系的关系来判断来判断如果如果d r ，直线与圆相离，直线与圆相离 回顾我们前面提出的问题：如何用直线和回顾我们前面提出的问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？圆的方程判断它们之间的位置关系？ 解法一解法一：圆圆 可化为可化为22240 xyy. 5) 1(22 yx其圆心其圆心C的坐标为（的坐标为（0，1），半径长为），半径长为 ，点，点C （0，1）到）到直线直线 l 的距离的距离522|3 0 1 6|55510231dr 所以，直线所以，直线 l 与圆相交与圆相交分析
5、分析：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系（几何法）判断直线与圆的位置关系（几何法）； 例例1、如图，已知直线、如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的的圆圆 ，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；与圆的位置关系； 063 yx04222yyx解法二：解法二：12121230 xxyy所以，直线与圆有两个交点，直线所以，直线与圆有两个交点，直线 l 与圆与圆相交。相交。分析分析 :根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断（代数法）根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断（代数法）121,2xx2( 3)4 1 210 223
6、60240 xyxyy建立方程组代入代入，由可得 36yx 0232 xx消去y, 得12) 1(20) 1(0222mmmd例例2 设直线设直线 和圆和圆 相切，相切，求实数求实数m的值。的值。 02 ymx122 yx 解法一：已知圆的圆心为解法一：已知圆的圆心为O( 0, 0), 半径半径r =1,则则O到已知直线的距离到已知直线的距离由已知得由已知得 d=r , 即即解得解得 m=1122m3O(0,2)xyO2xy解法二：把直线方程与圆的方程联立得解法二：把直线方程与圆的方程联立得把代入中得2221ymxxy034)1 (22mxxm22164 3 (1)0mm 由直线和圆相切可得：
7、由直线和圆相切可得：233mm 22:(2):40Cxl axya例3、设有圆+(y-4) =9与直线(1)证明：无论证明：无论a为何实数，直线为何实数，直线l与圆与圆C恒相交恒相交(2)试求直线试求直线l被圆被圆C截得弦长的最大值截得弦长的最大值 22222(2,4),32441110131CraaadaaaaaarlCa 解：（1）如图设圆心到l的距离为d圆心半径又与 恒相交C(2,4)xyAB0dD22222max,122 92 8116ABaABrdaaAB(2)作直线l与圆C相交与A、B两点，CDAB,垂足为D，连结BC,令弦长为则当a=0时，另解：（另解：（1）因为）因为l：y=a
8、(x-1)+4 过定点过定点N（1，4）N与圆心与圆心C（2，4）相距为）相距为1显然显然N在圆在圆C内部，故直线内部，故直线l与圆与圆C恒相交恒相交（2） a为斜率，当为斜率，当a=0时，时，l过圆心，弦过圆心，弦AB的最大值为直径的长，等于的最大值为直径的长，等于6C(2,4)xyAB0N练习：练习：1、判断直线、判断直线4320 xy22(3)(5)36xy与圆与圆的位置关系。的位置关系。2、以、以C(1,3)为圆心，为圆心， 为半径的圆与直线为半径的圆与直线 相切，求实数相切，求实数m的值的值165370 xmy把直线方程代入圆的方程把直线方程代入圆的方程得到一元得到一元 二次方程二次方程求 出求 出 的 值 的 值00,0, ,直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离确定圆的圆心坐标和半径确定圆的圆心坐标和半径r计算圆心到直线的距离计算圆心到直线的距离d判断判断 d与圆半径与圆半径r的大小关系的大小关系 r, r, r,ddd直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交归纳小节 直线和圆的位置关系的判断方法直线和圆的位置关系的判断方法 几何方法代数方法