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1、空间直角坐标系的空间直角坐标系的旋转变换旋转变换及其应用及其应用以欧勒角为参数欧勒角：坐标变换中，绕坐标轴旋转的三个独立角度，也称坐标系的旋转参数，分别记为 X X、 Y Y、 Z Z 。XXYYZZ空间直角坐标系的空间直角坐标系的旋转变换公式旋转变换公式一. 二维平面直角坐标系间的变换对于两个二维平面直角坐标系而言，如果只是坐标原点不同，即对于两个二维平面直角坐标系而言，如果只是坐标原点不同，即仅有平移，则有：仅有平移，则有：102102yyyxxxx2x1y2y1px0y0如果两坐标系之间不仅有平移，而且还有旋转，旋转角为如果两坐标系之间不仅有平移，而且还有旋转，旋转角为，则，则有：有：若
2、两个坐标系的尺度不一样，即存在一个尺度变化参数若两个坐标系的尺度不一样，即存在一个尺度变化参数k，则：，则：由此可见，二维平面直角坐标系的变换参数有由此可见，二维平面直角坐标系的变换参数有4 4个个 x0 0、y0 0 、和和k。当参数为已知时，按上式进行转换即可。若。当参数为已知时，按上式进行转换即可。若参数未知，则需利用两坐标系中的公共点进行计算。因每一公共参数未知，则需利用两坐标系中的公共点进行计算。因每一公共点可列立两个方程，故只需两个公共点即可解算出点可列立两个方程，故只需两个公共点即可解算出4 4个参数。个参数。cossinsincos11021102yxyyyxxxx2x1y2y
3、1px0y0cossinsincos11021102kykxyykykxxx ZYXZYXZXYO0Z0X0Y ZYX绕轴旋转顺序：XYZ?欧勒角 ZYXZYXZXYO0Z0X0Y ZYX绕轴旋转顺序：?Z0Y XZZYYXX欧勒角 1000cossin0sincos) (ZZZZZR cos0sin010sin0cos) (YYYYYR cossin0sincos0001) (XXXXXR X Y Z ZYXZYXZXYO0Z0X0Y ZYX绕轴旋转顺序：Z0Y X欧勒角 1000cossin0sincos) (ZZZZZR cos0sin010sin0cos) (YYYYYR cossin
4、0sincos0001) (XXXXXR X Y Z) (ZR) (YR) (XR Z Y XZZYYXX ZYXZYXZXYO0Z0X0Y ZYX绕轴旋转顺序：Z0Y X欧勒角) (ZR) (YR) (XR Z Y XZZYYXX ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z Y X微分旋转矩阵一般情况?ZXYOOZ X Y 轴向不同ZXYXYZ旋转参数旋转原点不同0X0Y0Z0Z0X0Y平移参数平移尺度不同m尺度比参数ss缩放尺度比sss s ) 1 ( mm s一般情况?ZXYOOZ X Y 轴向不同ZXYXYZ旋转参数旋转原点不同0X0Y0Z0Z0X0Y平移参数平移尺度不同m尺度比参数缩
5、放s ) 1 ( m s七参数 ZYX ZYX七参数 ZYX ZYX转换参数 ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z Y XZXYOOZXYZXYOZXYOZXYO旋转平移 缩放ZXY0X0Y0Z ) 1 ( s m s推导顺序示意图一、公式推导 111ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z Y X（旋转变换公式）ZXYOOZ X Y ZXY1Z1X1Y旋转 222ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z Y X000ZYX（旋转加平移综合公式）（旋转加平移综合公式）一、公式推导（平移变换公式）000ZYX 222ZYX 111ZYX 111ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z
6、 Y X（旋转变换公式） 平移ZXYOO1Z1X1Y2Z2X2Y0X0Y0Z0Z0X0YZXYO缩放?一、公式推导ZXYO2Z2X2Ys ) 1 ( m s ) 1 ( m（缩放变换公式）Z X Y O 222ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z Y X000ZYX（旋转加平移综合公式）ZYX222ZYXOZXYOZ X Y ZXY0X0Y0Zss ) 1 ( s m s（旋转加平移再加缩放综合公式）（旋转加平移再加缩放综合公式） ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z Y X000ZYX ) 1 ( m一、公式推导布尔莎模型（七参数转换模型）（七参数转换模型）六参数转换模型六参数转
7、换模型五参数转换模型五参数转换模型四参数转换模型四参数转换模型三参数转换模型三参数转换模型 ZYX ZYX 0 0 0 Z Y X Z Y X000ZYX ) 1 ( m ZYX ZYX ZYX 1 1 1 Z Y X Z Y X000ZYX ) 1 ( m 100 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Z Y X Z Y X二、公式应用 ZYX ZYX 0 0 0 Z Y X Z Y X000ZYX ) 1 ( m ZYX1、坐标转换ZXYOOZ X Y 选点要求 一定数量 点的坐标精度较高 点的位置分布均匀二、公式应用1、坐标转换2、求转换参数参数平差), 1(ni LXAViiin12公共
8、点n12 ZYX ZYX 0 0 0 Z Y X Z Y X000ZYX ) 1 ( m ZYX选点要求 一定数量 精度较高 分布均匀iZYXiZYX iZXYYXZXYZ010000100001mZYXZYX0003n为了求得为了求得7 7个转换参数，至少需要个转换参数，至少需要3 3个公共点个公共点( (每个点可列3个方程）。应用中一般采用）。应用中一般采用3 3个以上的公共点，此时可按最个以上的公共点，此时可按最小二乘法（拟合）求得各参数的最或是值。小二乘法（拟合）求得各参数的最或是值。三维坐标系间的变换需要三维坐标系间的变换需要7 7个转换参数，二维坐标系间的变个转换参数，二维坐标系间
9、的变换需要换需要4 4个转换参数。那么，一维坐标系间的变换需要几个个转换参数。那么，一维坐标系间的变换需要几个转换参数？转换参数？一维坐标系（高程系）的变换需要一维坐标系（高程系）的变换需要3 3个转换参数。个转换参数。假设假设有有3个高程点，每个点都有水准测量得到的正常高个高程点，每个点都有水准测量得到的正常高Hr，同时又有同时又有GPS测量得到的大地高测量得到的大地高H。则高程变换公式为：则高程变换公式为：很显然，有很显然，有3 3个公共点时就可求得个公共点时就可求得3 3个转换参数。超过个转换参数。超过3 3个公个公共点时，用最小二乘法解算。共点时，用最小二乘法解算。 不同大地坐标系的换算对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数da、d。不同大地坐标系的换算主要用于椭球参数相差比较明显的两种大不同大地坐标系的换算主要用于椭球参数相差比较明显的两种大地坐标系间的坐标变换，换算公式比较复杂，而实际应用相对较地坐标系间的坐标变换，换算公式比较复杂，而实际应用相对较少。有兴趣的同学请自学。少。有兴趣的同学请自学。