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1、第三章3.2立体几何中的向量方法第2课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤.知识点一向量法判断线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lm .a1b1a2b2a3b30ab0知识点二向量法判断线面垂直设直线l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量(a2，b2，c2)，则la .ak(kR)知识点三向量法判断面面垂直思考思考平面，的法向量分别为1(x1，y1，z1)，2(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面，垂直的关
2、系式是什么？答案答案x1x2y1y2z1z20.梳理梳理若平面的法向量为(a1，b1，c1)，平面的法向量为v(a2，b2，c2)，则v v0 .a1a2b1b2c1c20例例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，类型一线线垂直问题证明证明证明设AB中点为O，作OO1AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.反思与感悟反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方向向量证明向量垂直得到两直线垂直.训训练练1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，
3、BC4，AB5，AA14，求证：ACBC1.证明证明证明直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC，BC，C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，证明类型二证明线面垂直例例2如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.证明证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，且平面ABC
4、平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD.反思与感悟反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.证明训训练练2
5、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点.求证：直线PB1平面PAC.证明证明如图，以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，又PAPCP，所以PB1平面PAC.证明类型三证明面面垂直问题例例3三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面ABC，A1A ，ABAC2A1C12，D为BC的中点.证明：平面A1AD平面BCC1B1.证明证明方法一方法一 如图，以A为坐标原点，AB，
6、AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，D为BC的中点，D点坐标为(1,1,0)，又A1AADA，BC平面A1AD.设平面A1AD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2(x2，y2，z2).令y11，则x11，z10，n1(1，1,0).n1n21100，n1n2，平面A1AD平面BCC1B1.反思与感悟反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.证明训训练练3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.(1)求
7、证：平面AED平面A1FD1；证明证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1).令y11，得n1(0,1，2).同理，平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1).n1n2(0,1，2)(0,2,1)0，n1n2，平面AED平面A1FD1.(2)在直线AE上求一点M，使得A1M平面AED.解解由于点M在直线AE上，12345练习练习1.下列命题中，
8、正确命题的个数为若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则 n1n20；若n是平面的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面平行，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1 B.2 C.3 D.4解析解析中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确.2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为A.a(1,0,0)，b(3,0,0)B.a(0,1,0)，b(1,0,1)C.a(0,1，1)，b(0，1,1)D.a(1,0,0)，b(1,0,0)12345解析解析因为a(0,1,0)，b(1,0,1)，
9、所以ab0110010，所以ab，故选B.3.若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为(2,0，4)，则A.l B.lC.l D.l与斜交12345解析解析a，l.4.平面的一个法向量为m(1,2,0)，平面的一个法向量为n(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定12345解析解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直.是答案解析解析解析如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，12345空间垂直关系的解决策略规律与方法 几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90. (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m与n相交，则l.(2)若lm，m，则l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面，(1)若l，l，则. (2)若l，m，lm，则. (3)若平面与相交所成的二面角为直角，则证明两个平面的法向量互相垂直